2.4 曲线与方程——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练（含解析）

2.4 曲线与方程——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练
概念练习
1.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A. B.或 C. D.以上都不对
2.“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，过动点P引圆A的切线，切点为T.若，则动点P的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知，P是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.若动圆与圆和都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A.双曲线的一支 B.圆 C.抛物线 D.双曲线
二、能力提升
6.若动点P到点的距离等于它到直线的距离，则动点P的轨迹为（ ）
A.直线 B.圆 C.抛物线 D.射线
7.方程表示的图形是( )
A.直线
B.直线
C.点
D.直线和直线
8. （多选）已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是( )
A.点M的轨迹是圆 B.的最小值为6
C.使为整数的直线l共有9条 D.使为整数的直线l共有16条
9. （多选）在平面直角坐标系中，曲线C上任意一点P与两个定点和连线的斜率之和恒等于2，则关于曲线C的结论正确的是( )
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
10. （多选）下列结论正确的是( )
A.过点且垂直于x轴的直线的方程为 B.到x轴距离为3的直线方程为 C.到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为 D.的顶点,,,D为BC的中点,则中线AD所在直线的方程为
11.若从圆上任意一点P向y轴作垂线段，则线段中点M的轨迹方程为_______________.
12.一动圆过定点，且与定圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是_________________.
13.已知线段AB的长等于10，两端点A,B分别在x轴，y轴上移动，若点M在线段AB上，且，则点M的轨迹方程是________________.
14.已知点，，若动点P满足，求动点P的轨迹C的方程.
15.已知动圆过定点,且在y轴上截得的弦的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点,设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点,若x轴是的角平分线,证明:直线l过定点.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由得，，该曲线表示的是圆在y轴及右侧的部分，如图所示，表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线.由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，结合图形知b的取值范围是，或.故选B.
2.答案：A
解析：由得，即，
所以曲线表示圆心为，半径为2的圆的上半部分，
作出曲线与直线如图所示，
当直线与曲线相切且时，得，得；
当直线过点时，，此时，直线与曲线有两个公共点；
当直线过点时，.
数形结合可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，b的取值范围是.
所以“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件.
故选A.
3.答案：C
解析：设，由圆的切线的性质知，.因为，所以，即，整理得，故选C.
4.答案：A
解析：由题意,可知圆的标准方程为,圆心为,半径为6.线段的垂直平分线交于点,点的轨迹是以为焦点的椭圆,其轨迹方程为.故选A.
5.答案：A
解析：设动圆的圆心为P，半径为r，圆和的圆心分别为，，半径分别为1和2，
则由已知得，，因此，且，
由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.
6.答案：A
解析：由于点恰好在直线上，所以P点的轨迹是过F点，且与直线垂直的直线.
7.答案：D
解析：方程可化为，即，故或，即方程表示的图形是直线和直线.
8.答案：ABD
解析：因为直线l恒过点，且点M为线段PQ的中点，所以，则易得点M的轨迹是圆，故A选项正确.易知圆心O到直线l的距离的最大值为，故的最小值为，最大值为，故B选项正确.由最短弦与最长弦有唯一性，长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使为整数的直线l有（条），所以C选项错误，D选项正确.
9.答案：BC
解析：设，依题意有，整理，得，于是曲线C的方程为，容易判断曲线C不是轴对称图形，而是中心对称图形，原点是它的对称中心，因此A选项错误，C选项正确；又因为，所以曲线C上所有的点都在圆外，故B选项正确；易得点在曲线C上，但其横坐标的绝对值不大于2，故D选项错误.
10.答案：ACD
解析:易知A正确.到x轴距离为3的直线方程还有一个为，B错误.到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为，即，C正确.易知中线AD所在直线的方程为，D正确.
11.答案：
解析：设点M的坐标为，点P的坐标为，则，.因为在圆上，所以.将，代入方程，得.所以点M的轨迹方程是.
12.答案：
解析：圆B的方程化为标准形式为，易知其半径为6.
如图，设动圆圆心M的坐标为，与定圆B的切点为C.
由图知，定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆心的距离，即，又，所以，因为，所以，所以由椭圆的定义知，M的轨迹是以，为焦点，线段AB的中点为中心的椭圆.设椭圆的方程为，则，，，所以所求圆心M的轨迹方程是.
13.答案：
解析：设,,,因为,所以，即.因为，所以，所以则代入，可得，即.
14.答案：设，则，，.
由题意可得，
化简得，
即，动点P的轨迹C的方程为.
解析：
15.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设动圆圆心为，由题意，知，
当不在y轴上时，过作于点H，
则H是的中点，所以.
又，
所以，
化简得.
当在y轴上时，与原点O重合，点的坐标也满足方程，
所以动圆圆心的轨迹C的方程为.
（2）由题意，设直线l的方程为，
，其中.
将代入中，得，
其中.
由根与系数的关系，得①，
②，
因为x轴是的角平分线，所以，
即，
即，
化简得③，
将①②代入③，得，
所以，此时，
所以直线l的方程为，
故直线l过定点.
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