人教B版高中数学选择性必修第一册 1.2.5《空间中的距离》名师 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
二面角
二面角及其平面角的概念
二面角的度量
二面角的求法
定义法
向量法
三垂线定理法
射影面积法
复习引入
人教B版同步教材名师课件
空间中的距离
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解空间中的各种距离的概念 数学抽象
掌握各种空间中的距离的转化方法 数学建模
会用向量方法求空间中的距离 数学运算
学习目标
学习目标：
1.理解空间中的各种距离的概念.
2.掌握各种空间中的距离的转化方法.
学科核心素养：
经历空间中的距离的转化求解过程,使学生体会转化思想的应用,帮助学生积累基本的解题经验,发展学生的数学运算、数学建模、直观想象与逻辑推理核心素养.
空间两点之间的距离
探究新知
根据两向量数量积的性质和坐标运算,利用公式
或（其中）可将两点距离问题转化为求向量模长问题.
例1、如图所示,已知是平行六面体,
, ,求的长.
典例讲解
由已知可得不共面,而且, ,,
从而 , , .
又因为 ,
所以
.
因此 ,即所求长为 .
解析
求空间两点距离的方法
方法归纳
1.如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD,ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM＝BN＝a(0(1)求MN的长．
(2)a为何值时,MN的长最小？
变式训练
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1)．
因为CM＝BN＝a(0所以,,
所以
所以.
解析
1.如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD,ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM＝BN＝a(0(1)求MN的长．
(2)a为何值时,MN的长最小？
变式训练
(2)由(1)知,
所以,当时,.
即当时,MN的长最小,最小值为.
解析
点到直线的距离
探究新知
设直线方向向量为,点与直线距离为,则
例2、如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A′B′C′D′,AB＝1,BC＝2,
AA′＝3,求点B到直线A′C的距离.
典例讲解
因为AB＝1,BC＝2,AA′＝3,所以A′(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),所以直线的方向向量(1,2,-3).又=(0,2,0),
所以在上的射影长为.
所以点B到直线A′C的距离
d＝＝ ＝.
解析
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量;
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长;
(4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
方法归纳
2.已知正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到EF的距离.
变式训练
以D点为原点,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示,
||＝ ＝ ,· ,
在上的射影长为＝.
所以点A到EF的距离d＝ ＝ ＝ .
解析
设,则则
.
点到平面的距离
探究新知
设为平面外一点,为内任意一点,为平面的法向量,则点到平面的距离为：
提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度
相互平行的直线与平面之间的距离
探究新知
当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离.
如果直线与平面平行, 是平面的一个法向量, 分别是上和内的点,则直线与平面之间的距离为
相互平行的平面与平面之间的距离
探究新知
当平面与平面平行时,一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.
如果平面与平面平行, 是平面的一个法向量, 和分别是平面和平面内的点,则平面和平面之间的距离为
思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？
探究新知
例3、如图所示,已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,
SA＝BC＝2,AB＝4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,求点A到平面SND的距离．
典例讲解
建立如图所示的空间直角坐标系,则
设平面SND的法向量为.
,, ,
∴点A到平面SND的距离为.
解析
例4 、如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD＝1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.
则
设平面,垂足为,则
所以
同理,
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
解析
典例讲解
例4 、如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD＝1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解析
又x＋y＋z＝1,所以可解得x＝y＝,z＝.所以＝(2,2,3).
所以||＝.因此,点D到平面PEF的距离为.
(2)连接AC,设⊥平面PEF,垂足为H′,则∥ ,设则＝ ＋ ,3λ).
所以,即.所以＝(2,2,3), ||＝
又//平面,所以到平面的距离为.
典例讲解
求点到平面的距离的四步骤
方法归纳
直线与平面间的距离
方法归纳
求直线与平面间的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以求解最为简单为准则,求直线到平面的距离的题目不多,因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解,但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
3.四棱锥P -ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD＝DA=2,
F,E分别为AD,PC的中点.
(1)求证：DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.
(1)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
又平面,所以DE∥平面PFB.
解析
则
=(-1,0,2), =(1,2,0), =(0,1,1),所以.
变式训练
3.四棱锥P -ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD＝DA=2,
F,E分别为AD,PC的中点.
(1)求证：DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.
解析
(2)因为DE∥平面PFB,所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离.设平面PFB的一个法向量
则取x＝2,则y＝－1,z＝1,所以(2,－1,1).
又＝(－1,0,0),所以点D到平面PFB的距离d＝＝＝ .
所以点E到平面PFB的距离为.
变式训练
(1)空间中的距离有：点与点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线与线的距离、线与面的距离、面与面的距离.
(2)空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距,其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解,而点面距则可由平面的法向量来求解.
空间距离的种类
素养提炼
线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.
点面距的求解步骤：
(1)求出该平面的一个法向量;
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.
点面距、线面距、面面距的求解方法
素养提炼
即如图,点到平面的距离为：

素养提炼
点面距、线面距、面面距的求解方法
① 表示向量在向量方向上投影的绝对值,也是其投影的大小,因此,点到平面α的距离也可以表示成或.
②由于可以视为平面的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值,即.
素养提炼
点面距、线面距、面面距的求解方法
A
1.在四面体P－ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是平面ABC内一点,且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6,则点M到顶点P的距离是(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
以P为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),由题意,得.
当堂练习
解析
C
2．设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离等于(　　)
A. B. C. D.
∵M点坐标为,∴
当堂练习
解析
D
3．已知平面α的一个法向量,点在α内,则到α的距离为(　　)
A．10 B．3 C. D.
,
当堂练习
解析
4．若正四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面边长为1, AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为_________.
当堂练习
解析
由AB1与平面ABCD所成的角是60°,AB＝1.
∴BB1＝.即点A1到平面ABCD的距离为.
如图,A1C1∥平面ABCD,
所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离,
归纳小结
空间中的距离
空间中两点之间的距离
点到直线的距离
相互平行的直线与平面之间的距离
相互平行的平面与平面之间的距离
点到平面的距离
作 业
课本P58页练习第1,4,5题
P58页练习第3,5题