2.6.2 双曲线的几何性质——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.6.2 双曲线的几何性质——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 473.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-05 10:45:29 | ||
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文档简介
2.6.2 双曲线的几何性质——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练
概念练习
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A. B. C.4 D.
2.已知双曲线方程为，则( )
A.实轴长为，虚轴长为2 B.实轴长为，虚轴长为4
C.实轴长为2，虚轴长为 D.实轴长为4，虚轴长为
3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则其虚轴长为( )
A.1 B.4 C.3 D.0
4.已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线C的实轴长为( )
A.1 B.2 C.4 D.
5.已知分别为双曲线的左、右焦点，点P在C上，若，O为坐标原点，且的面积为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、能力提升
6.双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
8. （多选）已知双曲线，则下列说法正确的是( ).
A.m的取值范围是 B.双曲线C的焦点在x轴上
C.双曲线C的焦距为6 D.双曲线C的离心率e的取值范围是
9. （多选）已知双曲线，则下列关于双曲线C的结论正确的是( ).
A.实轴长为6 B.焦点坐标为，
C.离心率为 D.渐近线方程为
10. （多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为
C.
D.直线与双曲线有两个公共点
11.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且.若，则双曲线的离心率是___________.
12.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________.
13.在平面直角坐标系中,若双曲线经过点,则该双曲线的渐近线方程是___________________.
14.已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且.若为等腰三角形，求该双曲线的渐近线方程.
15.双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P的两条直线，与双曲线C分别交于A,B两点(A,B两点不与P点重合)，设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点.
答案以及解析
1.答案：A
解析：双曲线方程化为标准形式：，则有，.
由题意得，，解得.
2.答案：B
解析：双曲线方程化为标准方程为，可得，，所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4.
3.答案：B
解析：设双曲线的一个焦点为，且，一条渐近线的方程为，则，故虚轴长为.
4.答案：B
解析：因为双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为，且它的一个焦点为，所以，，可得，解得，所以双曲线C的实轴长为2.
5.答案：A
解析：在中，，由余弦定理得，
得，故的面积，
所以.
因为O是的中点，所以，
两边同时平方得
，
因为，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，故
选A.
6.答案：A
解析：由双曲线的方程为，知，，故，渐近线的方程为.
不妨设点P在第一象限，作于Q，如图，
，为OF的中点，
.
令，由得.
的面积.故选A.
7.答案：A
解析：因为所求双曲线与双曲线有相同渐近线，
所以设其方程为，
又点在双曲线上，
所以，解得，
则双曲线方程为.
故选A.
8.答案：ABC
解析：因为表示双曲线，所以，解得，故A正确；
因为，所以双曲线的焦点在x轴上，故B正确；
设双曲线的半焦距为c，则，所以，，故C正确；
双曲线的离心率，故D错误.故选ABC.
9.答案：AC
解析：根据题意可得，，所以，
所以双曲线的实轴长为，故A正确；
双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误；
双曲线的离心率，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故D错误.故选AC.
10.答案：ABD
解析：依题意得，，又知，，.
又，且，
在中，是最小的边，
，
，
整理得，即，，
，.
双曲线的离心率，A正确.
双曲线的渐近线方程为，B正确.
根据前面的分析可知，为直角三角形，且，
若，则.
又知，，
，C不正确.
直线，即，其斜率为，，
直线与双曲线有两个公共点，D正确.故选ABD.
11.答案：
解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以.因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为.
12.答案：内的任意值均可
解析：双曲线C的渐近线方程为，若直线与双曲线C无公共点，则，，，又，，填写内的任意值均可.
13.答案：
解析：由双曲线经过点，得，
解得，又，所以，
易知双曲线的焦点在x轴上，
故双曲线的渐近线方程为.
14.答案：因为P为双曲线右支上的一点，所以，又，所以，.因为为等腰三角形，所以或，即有或(舍去)，因此，所以，所以，，故渐近线方程为.
15.答案：(1).
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，
依题意得，即，
即，①
又点在双曲线C上，
所以，即，②
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为.
(2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，，
设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点.
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概念练习
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A. B. C.4 D.
2.已知双曲线方程为，则( )
A.实轴长为，虚轴长为2 B.实轴长为，虚轴长为4
C.实轴长为2，虚轴长为 D.实轴长为4，虚轴长为
3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则其虚轴长为( )
A.1 B.4 C.3 D.0
4.已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线C的实轴长为( )
A.1 B.2 C.4 D.
5.已知分别为双曲线的左、右焦点，点P在C上，若，O为坐标原点，且的面积为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、能力提升
6.双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
8. （多选）已知双曲线，则下列说法正确的是( ).
A.m的取值范围是 B.双曲线C的焦点在x轴上
C.双曲线C的焦距为6 D.双曲线C的离心率e的取值范围是
9. （多选）已知双曲线，则下列关于双曲线C的结论正确的是( ).
A.实轴长为6 B.焦点坐标为，
C.离心率为 D.渐近线方程为
10. （多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为
C.
D.直线与双曲线有两个公共点
11.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且.若，则双曲线的离心率是___________.
12.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________.
13.在平面直角坐标系中,若双曲线经过点,则该双曲线的渐近线方程是___________________.
14.已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且.若为等腰三角形，求该双曲线的渐近线方程.
15.双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P的两条直线，与双曲线C分别交于A,B两点(A,B两点不与P点重合)，设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点.
答案以及解析
1.答案：A
解析：双曲线方程化为标准形式：，则有，.
由题意得，，解得.
2.答案：B
解析：双曲线方程化为标准方程为，可得，，所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4.
3.答案：B
解析：设双曲线的一个焦点为，且，一条渐近线的方程为，则，故虚轴长为.
4.答案：B
解析：因为双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为，且它的一个焦点为，所以，，可得，解得，所以双曲线C的实轴长为2.
5.答案：A
解析：在中，，由余弦定理得，
得，故的面积，
所以.
因为O是的中点，所以，
两边同时平方得
，
因为，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，故
选A.
6.答案：A
解析：由双曲线的方程为，知，，故，渐近线的方程为.
不妨设点P在第一象限，作于Q，如图，
，为OF的中点，
.
令，由得.
的面积.故选A.
7.答案：A
解析：因为所求双曲线与双曲线有相同渐近线，
所以设其方程为，
又点在双曲线上，
所以，解得，
则双曲线方程为.
故选A.
8.答案：ABC
解析：因为表示双曲线，所以，解得，故A正确；
因为，所以双曲线的焦点在x轴上，故B正确；
设双曲线的半焦距为c，则，所以，，故C正确；
双曲线的离心率，故D错误.故选ABC.
9.答案：AC
解析：根据题意可得，，所以，
所以双曲线的实轴长为，故A正确；
双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误；
双曲线的离心率，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故D错误.故选AC.
10.答案：ABD
解析：依题意得，，又知，，.
又，且，
在中，是最小的边，
，
，
整理得，即，，
，.
双曲线的离心率，A正确.
双曲线的渐近线方程为，B正确.
根据前面的分析可知，为直角三角形，且，
若，则.
又知，，
，C不正确.
直线，即，其斜率为，，
直线与双曲线有两个公共点，D正确.故选ABD.
11.答案：
解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以.因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为.
12.答案：内的任意值均可
解析：双曲线C的渐近线方程为，若直线与双曲线C无公共点，则，，，又，，填写内的任意值均可.
13.答案：
解析：由双曲线经过点，得，
解得，又，所以，
易知双曲线的焦点在x轴上，
故双曲线的渐近线方程为.
14.答案：因为P为双曲线右支上的一点，所以，又，所以，.因为为等腰三角形，所以或，即有或(舍去)，因此，所以，所以，，故渐近线方程为.
15.答案：(1).
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，
依题意得，即，
即，①
又点在双曲线C上，
所以，即，②
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为.
(2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，，
设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点.
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