人教B版高中数学选择性必修第一册课时作业1.2.5空间中的距离（含解析）

课时分层作业(八)　空间中的距离
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．4
2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　)
A． B．
C． D．
3．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)
A．1　　　B．　　　C．　　　D．
4．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A．a　　　B．a C．a　　　D．a
5．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
二、填空题
6．已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．
7．已知棱长为1的正方体ABCD EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为________．
8．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
三、解答题
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D．
(1)求BP的长；
(2)求点P到平面EC1D的距离．
10．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上且不与点A，B重合，直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为O．
(1)若M为AB的中点，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)若CE⊥MF，求AM的长度，并求此时点O到平面CDEF的距离．
11．如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
12．(多选题)如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长度为(　　)
A．a B．a
C．2a D．2a
13．(一题两空)如图所示，在已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为________，二面角A BE C的余弦值为________．
14．如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
15．如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
课时分层作业(八)　空间中的距离答案
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．4
B　[过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则||＝3，||＝2，||＝5．又＝＋＋，所以||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即||＝2．]
2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　)
A． B．
C． D．
A　[＝(－2,0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝eq \r(\o(|\o(PA,\s\up7(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up7(→))·n,|n|)))))＝＝．]
3．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)
A．1　　　B．　　　C．　　　D．
B　[建立如图所示的坐标系A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,4,0)，E(2,2,0)，则＝(－2,0,2)，＝(0，－4,2)，＝(－2，－2,2)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令y＝1，则z＝2，x＝2，
∴n＝(2,1,2)，∴d＝＝＝．]
4．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A．a　　　B．a C．a　　　D．a
D　[由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两
平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a,0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝＝＝a．]
5．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
B　[如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得
E，
F，
故＝，
＝(a,0,0)，＝(0，a，a)．
设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，
由
令z＝1，得n＝(0，－1,1)．
∵·n＝·(0，－1,1)＝0，
∴⊥n，故EF∥平面ABC1D1．
又＝，
∴·n＝·(0，－1,1)＝a，
∴d＝＝a．]
二、填空题
6．已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．
2　[设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则||2＝·＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2．]
7．已知棱长为1的正方体ABCD EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为________．
　[建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1,0,0)＋(0,1,0)＋(0,0,1)＝．
＝(1,0,0)，·＝，
所以P点到AB的距离为d＝＝＝．]
8．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
　[建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B(0,1,0)，B1(0，1,1)，C1(0,0,1)，则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则有
解得n＝，则所求距离为＝＝．]
三、解答题
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D．
(1)求BP的长；
(2)求点P到平面EC1D的距离．
[解]　(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
B(1,0,1)，D(0,2,1)，F(1，1,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,0)，
设P(a，b,1)，＝λ，λ∈[0,1]，＝(0,1,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,2,0)，
则＝(a－1，b,0)＝(－λ，2λ，0)，
∴P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)，
设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，－1,1)，
∵PF∥平面EC1D，
∴·n＝λ－1＋2λ＝0，
解得λ＝，
∴P，
∴BP的长||＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－1))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＋1－12)＝．
(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1,1)，＝，
∴点P到平面EC1D的距离：
d＝＝＝．
10．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上且不与点A，B重合，直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为O．
(1)若M为AB的中点，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)若CE⊥MF，求AM的长度，并求此时点O到平面CDEF的距离．
[解]　(1)延长FM交EA的延长线于O，
∵M为AB中点，AE∥BF，∴M为OF中点，
又AB∥EF，∴A为OE中点，
连接DF交CE于N，则DO∥MN，
又DO 平面EMC，MN 平面EMC，
∴DO∥平面EMC．
(2)取AE中点H，
由题意可知，EF⊥平面DEA，EF⊥平面CFB，
∴∠DEA＝∠CFB＝60°，
∴△DEA与△CFB是全等的正三角形，
以H为原点建立空间坐标系如图，
设AM＝t，则D(0,0，)，M(1，t,0)，E(－1，0,0)，C(0,4，)，F(－1,4,0)，
∴＝(－1，－4，－)，＝(－2,4－t,0)，
∵CE⊥MF，∴·＝2－16＋4t＝0，
解得t＝
∴AM的长度为．
过O作OT⊥DE于T，则由EF⊥平面DEA，得OT⊥平面CDEF，即OT为点O到平面CDEF的距离．
∵＝，∴＝，
∴OA＝14，OE＝16，
∴OT＝OEsin＝16×＝8．
∴点O到平面CDEF的距离为8．
11．如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．
根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，
则PQ＝
＝
＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,5)μ))＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(5,9)))＋\f(4,9))，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值．]
12．(多选题)如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长度为(　　)
A．a B．a
C．2a D．2a
AC　[∵CF⊥平面B1DF，∴CF⊥DF．
在矩形ACC1A1中，设AF＝m．
CD2＝DF2＋CF2＝CC＋DC＝10a2，①
CF2＝4a2＋m2，DF2＝(3a－m)2＋a2，②
联立①②得m＝a或m＝2a，则AF的长度为a或2a．]
13．(一题两空)如图所示，在已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为________，二面角A BE C的余弦值为________．
　　[如图，以D为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，
过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝，∴B(1,2，0)，
∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由
得
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．
∵＝(0,0,2)，
∴AB1到平面ABE的距离d＝＝＝．
又B1(1,2，2)，∴＝(0,0,2)，＝(1，，0)．
设平面BCE的一个法向量为n＝(x′，y′，z′)易得x′＝－y′，z′＝0，取n′＝(，－1,0)，n′与n所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝．]
14．如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
　[由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则
即
∴取n＝(1,0,1)．
又＝(2,0,0)，AD∥平面PBC，
∴所求距离为＝．]
15．如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
[解]　法一：证明：(1)连接B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，
∴ME∥B1C，且ME＝B1C．
又N为A1D的中点，
∴ND＝A1D，
由题设知A1B1DC，
∴B1CA1D，∴MEND，
∴四边形MNDE是平行四边形，所以MN∥ED，
又MN 平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE．
(2)过C作C1E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE＝1，CC1＝4，
∴C1E＝，故CH＝，
∴点C到平面C1DE的距离为．
法二：证明：(1)∵直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，
E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，
DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
M(1，，2)，N(1,0,2)，D(0,0,0)，E(0，，0)，C1(－1，，4)，＝(0，－，0)，＝(－1，，4)，＝(0，，0)，
设平面C1DE的法向量n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝(4,0,1)，
∵·n＝0，MN 平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE．
(2)C(－1，，0)，＝(－1，，0)，
平面C1DE的法向量n＝(4,0,1)，
∴点C到平面C1DE的距离
d＝＝＝．
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