人教B版高中数学必修第一册2.1.2《一元二次方程的解集及根与系数的关系》 课件（共28张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第一册2.1.2《一元二次方程的解集及根与系数的关系》 课件（共28张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 835.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-05 13:28:12 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
2.1 等式
2.1.2 一元二次方程新的解集及根与系数的关系
第二章 等式与不等式
学习目标
梳理一元二次方程根与系数的关系，会用根与系数的关系解决一元二次方程问题。
学习目标
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
一元二次方程的有关概念 数学抽象 水平1 水平2 1.理解一元二次方程相关概念。 2.掌握一元二次方程的根的判断方法，会解一元次方程，会用韦达定理求两根的关系式的值。 【考查内容】高考对于一元次方程常与二次函数，一元二次不等式结合考查，是高考的重点知识之一，常以选择题、填空题的形式出现，在解答题中也有考查。
【考查题型】选择题、填空题或解答题
【分值情况】5~12分
一元二次方 程根的判别式 逻辑推理 水平1 水平2
一元二次方程根与系数的关系 数学运算 水平1 水平2
当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝________________，
x2＝________________，且x1＋x2＝______，x1x2＝______.
知识点一 一元二次方程根与系数的关系
(一)教材梳理填空
一、自学教材·注重基础
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
1．关于x的方程x2－4x＋7＝0的根是 ( )
A．x1＝2＋，x2＝2－
B．x1＝－2＋，x2＝－2－
C．无实数根
D．x1＝2＋，x2＝2－
C
知识点一 一元二次方程根与系数的关系
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
知识点一 一元二次方程根与系数的关系
2．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 ( )
A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0
C．x2＋2x＋4＝0 D．x2－x－3＝0
D
3．若关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－k＋2＝0没有实数根，则k的取值范围是__________．
(－∞，2)
题型一 用配方法解一元二次方程
例1、用配方法解下列方程：
(1)3x2－6x＋2＝0；
(2) .
解析
二、提升新知·注重综合
(1)两边同除以3，得x2－2x＋＝0，
移项， 得x2－2x＝，
配方，得x2－2x＋(－1)2＝－ ＋(－1)2，
即(x－1)2＝ ，∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－，
∴方程的解集为.
题型一 用配方法解一元二次方程
例1、用配方法解下列方程：
(1)3x2－6x＋2＝0；
(2) .
解析
二、提升新知·注重综合
(2)方程两边同除以，
得，
移项，得,
配方，得，
即，
,∴方程的解集为.
方法总结
二、提升新知·注重综合
①“化”：将原方程化为一般形式，并将二次项系数化为1；
②“移”：将常数项移到方程右边；
③“配”：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，此时，方程左边为一个完全平方式，右边为一个常数；
④“解”：若右边是非负数，则直接开平方求解；若右边是一个负数，则此方程无实数解．
题型一 用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型一 用配方法解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程2x2－6x＋1＝0时，此方程配方后可化为 （ ）
A. B．
C. D．
A
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型一 用配方法解一元二次方程
2．用配方法解下列方程：
(1)2x2＋3x＋1＝0；
(2)5x2＋3x－1＝0.
解析：(1)方程两边同除以2，得，
移项得，
配方得，
即，
，方程的解集为.
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型一 用配方法解一元二次方程
2．用配方法解下列方程：
(1)2x2＋3x＋1＝0；
(2)5x2＋3x－1＝0.
解析：(2)方程两边同除以5，得，
移项得，
配方得，
即，
，方程的解集为.
二、提升新知·注重综合
题型二 利用公式法解一元二次方程
例2、用公式法解下列方法：
(1)x2－4x＋10＝0；
(2)(x＋2)2＝2x＋1.
解析
（1） ，
，
，
.
方程的解集为．
(2)原方程可化为x2＋2x＋3＝0.
∵a＝1，b＝2，c＝3，
∴b2－4ac＝22－4×1×3＝－8<0，
∴此方程无实数根．
方法总结
二、提升新知·注重综合
用公式法解一元二次方程一定要先化为一般形式，并准确找出a、b、c的值，计算b2－4ac的值，判断方程根的情况，若方程有实数根，再代入求根公式求出方程的根．
题型二 利用公式法解一元二次方程
变式训练
二、提升新知·注重综合
1．一元二次方程2x2－x＋1＝0根的情况是 ( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
题型二 利用公式法解一元二次方程
C
2．用公式法解下列方程：
(1)x2－4x＋2＝0； (2)2x(x－3)＝－4x＋5； (3)3y2＋5(2y＋3)＝0.
解析：(1)∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×2＝8，
∴，
∴x1＝2＋，x2＝2－，
∴方程的解集为{2＋，2－}．
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型二 利用公式法解一元二次方程
2．用公式法解下列方程：
(1)x2－4x＋2＝0； (2)2x(x－3)＝－4x＋5； (3)3y2＋5(2y＋3)＝0.
解析：(2)整理，得2x2－2x－5＝0.
∵b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－5)＝44，
∴，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴方程的解集为.
(3)整理，得3y2＋10y＋15＝0，
∵b2－4ac＝102－4×3×15＝－80<0，∴原方程无实数根．
例3、(1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求的值；
(2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
①求k的取值范围；
②若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
题型三 一元二次方程根与系数的关系
(1)由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3，
.
解析
二、提升新知·注重综合
例3、(1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求的值；
(2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
①求k的取值范围；
②若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
题型三 一元二次方程根与系数的关系
(2)①∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根，
∴Δ≥0，
即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，
解得k≤，即k的取值范围为.
解析
二、提升新知·注重综合
例3、(1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求的值；
(2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
①求k的取值范围；
②若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
题型三 一元二次方程根与系数的关系
②由题知，x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.
∵11，∴2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
∵k≤，∴k＝－1.
解析
二、提升新知·注重综合
方法总结
二、提升新知·注重综合
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
[提醒] 利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数关系的应用前提条件，即Δ≥0.
题型三 一元二次方程根与系数的关系
变式训练
二、提升新知·注重综合
1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为 ( )
A．5 B．－1 C．2 D．－5
题型三 一元二次方程根与系数的关系
B
解析：设另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.
变式训练
2．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
二、提升新知·注重综合
题型三 一元二次方程根与系数的关系
解析：(1)根据题意，得
Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，
解得m≥－，
∴m的最小整数值为－2.
变式训练
2．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
二、提升新知·注重综合
题型三 一元二次方程根与系数的关系
解析：(2)根据题意，得
x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2.
∵(x1－x2)2＋m2＝21，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21.
整理得m2＋4m－12＝0，
解得m1＝2，m2＝－6.
∵m≥ －，∴m的值为2.
当堂练习
1．用配方法解方程时，下列配方错误的是 ( )
A．x2＋6x－7＝0化为(x＋3)2＝0
B．x2－5x－4＝0化为
C．x2＋2x－99＝0化为(x＋1)2＝100
D．3x2－4x－2＝0化为
一、基础经典题
三、训练素养·注重应用、创新
A
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
2．一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是 ( )
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
解析：整理，得x2－4x＋2＝0，配方得(x－2)2＝2，解得x1＝2＋>3，x2＝2－>0.
D
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则＋的值是 ( )
A. B. C. D.
C
解析：由题知，，
.
4．若一元二次方程4x2＋12x－1 147＝0的两根为a，b，且a>b，则3a＋b的值为______．
解析：配方得(2x＋3)2＝1 156，
解得或，即，
∴3a＋b＝28.
28
当堂练习
5．(1)如果－5是方程5x2＋bx－10＝0的一个根，求方程的另一个根及b的值；
(2)如果2＋是方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
解析：(1)设x为方程的另一个根，
则
当b＝23时，Δ>0成立，∴
二、创新应用题
三、训练素养·注重应用、创新
当堂练习
5．(1)如果－5是方程5x2＋bx－10＝0的一个根，求方程的另一个根及b的值；
(2)如果2＋是方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
解析：(2)设y为方程的另一个根，则
当c＝1时，Δ>0成立，
二、创新应用题
三、训练素养·注重应用、创新
2.1 等式
2.1.2 一元二次方程新的解集及根与系数的关系
第二章 等式与不等式
学习目标
梳理一元二次方程根与系数的关系，会用根与系数的关系解决一元二次方程问题。
学习目标
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
一元二次方程的有关概念 数学抽象 水平1 水平2 1.理解一元二次方程相关概念。 2.掌握一元二次方程的根的判断方法，会解一元次方程，会用韦达定理求两根的关系式的值。 【考查内容】高考对于一元次方程常与二次函数，一元二次不等式结合考查，是高考的重点知识之一，常以选择题、填空题的形式出现，在解答题中也有考查。
【考查题型】选择题、填空题或解答题
【分值情况】5~12分
一元二次方 程根的判别式 逻辑推理 水平1 水平2
一元二次方程根与系数的关系 数学运算 水平1 水平2
当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝________________，
x2＝________________，且x1＋x2＝______，x1x2＝______.
知识点一 一元二次方程根与系数的关系
(一)教材梳理填空
一、自学教材·注重基础
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
1．关于x的方程x2－4x＋7＝0的根是 ( )
A．x1＝2＋，x2＝2－
B．x1＝－2＋，x2＝－2－
C．无实数根
D．x1＝2＋，x2＝2－
C
知识点一 一元二次方程根与系数的关系
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
知识点一 一元二次方程根与系数的关系
2．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 ( )
A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0
C．x2＋2x＋4＝0 D．x2－x－3＝0
D
3．若关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－k＋2＝0没有实数根，则k的取值范围是__________．
(－∞，2)
题型一 用配方法解一元二次方程
例1、用配方法解下列方程：
(1)3x2－6x＋2＝0；
(2) .
解析
二、提升新知·注重综合
(1)两边同除以3，得x2－2x＋＝0，
移项， 得x2－2x＝，
配方，得x2－2x＋(－1)2＝－ ＋(－1)2，
即(x－1)2＝ ，∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－，
∴方程的解集为.
题型一 用配方法解一元二次方程
例1、用配方法解下列方程：
(1)3x2－6x＋2＝0；
(2) .
解析
二、提升新知·注重综合
(2)方程两边同除以，
得，
移项，得,
配方，得，
即，
,∴方程的解集为.
方法总结
二、提升新知·注重综合
①“化”：将原方程化为一般形式，并将二次项系数化为1；
②“移”：将常数项移到方程右边；
③“配”：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，此时，方程左边为一个完全平方式，右边为一个常数；
④“解”：若右边是非负数，则直接开平方求解；若右边是一个负数，则此方程无实数解．
题型一 用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型一 用配方法解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程2x2－6x＋1＝0时，此方程配方后可化为 （ ）
A. B．
C. D．
A
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型一 用配方法解一元二次方程
2．用配方法解下列方程：
(1)2x2＋3x＋1＝0；
(2)5x2＋3x－1＝0.
解析：(1)方程两边同除以2，得，
移项得，
配方得，
即，
，方程的解集为.
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型一 用配方法解一元二次方程
2．用配方法解下列方程：
(1)2x2＋3x＋1＝0；
(2)5x2＋3x－1＝0.
解析：(2)方程两边同除以5，得，
移项得，
配方得，
即，
，方程的解集为.
二、提升新知·注重综合
题型二 利用公式法解一元二次方程
例2、用公式法解下列方法：
(1)x2－4x＋10＝0；
(2)(x＋2)2＝2x＋1.
解析
（1） ，
，
，
.
方程的解集为．
(2)原方程可化为x2＋2x＋3＝0.
∵a＝1，b＝2，c＝3，
∴b2－4ac＝22－4×1×3＝－8<0，
∴此方程无实数根．
方法总结
二、提升新知·注重综合
用公式法解一元二次方程一定要先化为一般形式，并准确找出a、b、c的值，计算b2－4ac的值，判断方程根的情况，若方程有实数根，再代入求根公式求出方程的根．
题型二 利用公式法解一元二次方程
变式训练
二、提升新知·注重综合
1．一元二次方程2x2－x＋1＝0根的情况是 ( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
题型二 利用公式法解一元二次方程
C
2．用公式法解下列方程：
(1)x2－4x＋2＝0； (2)2x(x－3)＝－4x＋5； (3)3y2＋5(2y＋3)＝0.
解析：(1)∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×2＝8，
∴，
∴x1＝2＋，x2＝2－，
∴方程的解集为{2＋，2－}．
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型二 利用公式法解一元二次方程
2．用公式法解下列方程：
(1)x2－4x＋2＝0； (2)2x(x－3)＝－4x＋5； (3)3y2＋5(2y＋3)＝0.
解析：(2)整理，得2x2－2x－5＝0.
∵b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－5)＝44，
∴，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴方程的解集为.
(3)整理，得3y2＋10y＋15＝0，
∵b2－4ac＝102－4×3×15＝－80<0，∴原方程无实数根．
例3、(1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求的值；
(2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
①求k的取值范围；
②若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
题型三 一元二次方程根与系数的关系
(1)由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3，
.
解析
二、提升新知·注重综合
例3、(1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求的值；
(2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
①求k的取值范围；
②若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
题型三 一元二次方程根与系数的关系
(2)①∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根，
∴Δ≥0，
即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，
解得k≤，即k的取值范围为.
解析
二、提升新知·注重综合
例3、(1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求的值；
(2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
①求k的取值范围；
②若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
题型三 一元二次方程根与系数的关系
②由题知，x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.
∵11，∴2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
∵k≤，∴k＝－1.
解析
二、提升新知·注重综合
方法总结
二、提升新知·注重综合
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
[提醒] 利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数关系的应用前提条件，即Δ≥0.
题型三 一元二次方程根与系数的关系
变式训练
二、提升新知·注重综合
1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为 ( )
A．5 B．－1 C．2 D．－5
题型三 一元二次方程根与系数的关系
B
解析：设另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.
变式训练
2．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
二、提升新知·注重综合
题型三 一元二次方程根与系数的关系
解析：(1)根据题意，得
Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，
解得m≥－，
∴m的最小整数值为－2.
变式训练
2．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
二、提升新知·注重综合
题型三 一元二次方程根与系数的关系
解析：(2)根据题意，得
x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2.
∵(x1－x2)2＋m2＝21，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21.
整理得m2＋4m－12＝0，
解得m1＝2，m2＝－6.
∵m≥ －，∴m的值为2.
当堂练习
1．用配方法解方程时，下列配方错误的是 ( )
A．x2＋6x－7＝0化为(x＋3)2＝0
B．x2－5x－4＝0化为
C．x2＋2x－99＝0化为(x＋1)2＝100
D．3x2－4x－2＝0化为
一、基础经典题
三、训练素养·注重应用、创新
A
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
2．一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是 ( )
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
解析：整理，得x2－4x＋2＝0，配方得(x－2)2＝2，解得x1＝2＋>3，x2＝2－>0.
D
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则＋的值是 ( )
A. B. C. D.
C
解析：由题知，，
.
4．若一元二次方程4x2＋12x－1 147＝0的两根为a，b，且a>b，则3a＋b的值为______．
解析：配方得(2x＋3)2＝1 156，
解得或，即，
∴3a＋b＝28.
28
当堂练习
5．(1)如果－5是方程5x2＋bx－10＝0的一个根，求方程的另一个根及b的值；
(2)如果2＋是方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
解析：(1)设x为方程的另一个根，
则
当b＝23时，Δ>0成立，∴
二、创新应用题
三、训练素养·注重应用、创新
当堂练习
5．(1)如果－5是方程5x2＋bx－10＝0的一个根，求方程的另一个根及b的值；
(2)如果2＋是方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
解析：(2)设y为方程的另一个根，则
当c＝1时，Δ>0成立，
二、创新应用题
三、训练素养·注重应用、创新