人教B版高中数学必修第一册《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》教学设计二

《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》教学设计
教学设计
一、阅读引导，核心总结
1.阅读教材，问题导入.
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.根据题中的描述可画出示意图如下，其中点代表北门，处是木，点代表南门，而且=20，=14，______________.
如果设正方形的边长为，则有
，
.
根据可知，从而，因此
，整理得.你会解这个方程吗？
提示：由，得，
所以或（舍去）.
2.归纳总结，核心必记.
（1）一元二次方程的解集：
①当时，方程的解集为；
②当时，方程的解集为；
③当时，方程的解集为.
（2）若的两根为，，则，.
（3）若的两根为，，那么，.
设计意图：由于本部分知识在初中已经有所学习，所以在这里就直接给出结论了，既让学生复习了初中所学知识，又为后面的内容深化打下了坚实的基础.
二、知识深化
1.一元二次方程的解集.
探究方程的解集的求法，完成下列思考.
思考1：该方程是否是一元二次方程？
提示：不是，但是用换元法令，原方程可化为，是一个关于的一元二次方程.
思考2：方程的解是否都符合题意？
提示：不是.由换元的过程知，只能保留非负根.
思考3：最后写解集时需要注意什么问题？
提示：应根据的值，求出的值，写在解集中.
设计意图：通过本题让学生明确：一元二次方程的形式是多种多样的，即使未知数的次数不是2次，也可以通过换元的方法将其变成一元二次方程，只是要注意换元过程中的未知数的定义域是否发生了改变.
2.一元二次方程根与系数的关系.
回答下列问题：
思考1：设和是一元二次方程的两个根，则吗？提示：不等于.两根之和是-5.
思考2：设和是一元二次方程的两个根，则吗？
提示：不等于.将方程化为一般式，常数项是-1，所以.
思考3：设和是一元二次方程的两个根，则吗？
提示：等于.
教师提醒学生注意：在使用根与系数的关系时，必须先把方程化为一般形式，否则得出的结果一般是错误的.
三、例题剖析
例1 求方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
想一想1：一元二次方程的解集中，元素的个数有几种情况？
想一想2：判别式是如何计算的？
想一想3：判别式与解集是如何对应的？
解：（1），所以方程有两个根，分别为，，所以方程的解集是.
（2）方程化为，则，所以方程有两个相等的根，即，所以方程的解集是.
（3）方程化为，则，所以方程无根，所以方程的解集是.
练习：教材第50页练习A第1题.
归纳总结 求一元二次方程的解集的一般步骤：
①把方程化为一般形式，确定，，的值，计算；
②判断的符号，并求出方程的根；
③根据根的大小，写出解集.
例2 已知一元二次方程的两根分别是，，请利用根与系数的关系求：（1）；（2）.
想一想1：由根与系数的关系可以得出什么结论？
想一想2：要求的两个式子如何用两根之和、两根之积表示出来？
解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，.
（1）.
（2）.
练习：教材第51页练习B第2题.
归纳总结 运用根与系数的关系时应注意：
①方程要化成一般式；
②根的判别式；
③注意二次项系数、一次项系数以及常数项的符号.
例3 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）若两个实数根的平方和等于15，求实数的值.
想一想1：如何探求方程有两个不相等的实数根？
想一想2：如何用两根之和、两根之积去表示两根的平方和？
解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
.
（2）设此方程的两个实数根分别为，，
则，.
两个实数根的平方和等于15，
，
解得：，.
变式思考：
（1）如何求该方程的解集？
（2）如何求？
四、巩固提升
教材第56页习题2-1A第3，5题.
五、课堂总结
通过今天的学习，你有什么收获？
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2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、阅读引导，核心总结 1.材料问题 2.总结：1.一元二次方程的解集： （1）当时，方程的解集为：； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为. （2）若的两根为，，则，. （3）如果方程的两根为，，那么，. 二、知识深化 1.一元二次方程的解集 2.一元二次方程根与系数的关系 三、例题剖析 例1 例2 例3 四、巩固提升 五、课堂总结
教学研讨
本教学设计注重开发学生的思维能力，给出了一些教材以外的例题.学生虽然理解得不错，但掌握起来有困难.教师在今后的教学中应注意加强化繁为简的教学方法，也就是在课堂45分钟内的内容准备一定要充分、简单，使学生有成就感.还应注意锻炼学生的动手能力，课堂上要有充足的练习时间.