3.1.1 基本计数原理——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练（含答案）

3.1.1 基本计数原理——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练
一、概念练习
1.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示.某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为( )
A. B. C. D.
2.为促进中学生综合素质全面发展，某校开设了5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有( ).
A.60种 B.120种 C.125种 D.243种
3.5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为( )
A. B. C. D.
4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为( )
A.64 B.56 C.53 D.51
5.已知从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条，若要从其中面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则不同的走法最多时应( )
A.从东面上山 B.从西面上山 C.从南面上山 D.从北面上山
二、能力提升
6.某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有( )
A.12 B.13 C.14 D.15
7.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )
A.8 B.9 C.12 D.24
8. （多选）某校实行选科走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级，该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政洽3班
A.此人有4种不同的选课方式 B.此人有5种不同的选课方式
C.自习课不可能安排在第2节 D.自习课可安排在4节课中的任一节
9. （多选）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，则下列选项中恰有8种不同站法的是( )
A.甲、乙都不与老师相邻 B.甲、乙都与老师相邻
C.甲与老师不相邻，乙与老师相邻 D.甲、乙相邻
10.有A,B,C三个城市，每天上午从A城去B城有5班汽车，2班火车，都能在12:00前到达B城，下午从B城去C城有3班汽车，2班轮船.某人上午从A城出发去B城，要求12:00前到达，下午从B城去C城，则不同的走法有__________种.
11.某公司招聘5名员工.分给下属的甲、乙两个部门.其中2名英语翻译人员不能分给同一部门.另3名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是________.
12.如果一个三位正整数如“”满足且，则称这个三位数为“凸数”（如120,343,275等），那么所有三位数中“凸数”的个数为_________.
13.某栏目组在一节目中拿出两个信箱，信箱中放着观众的来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封.现由主持人不放回地抽取来信，若先从两箱中抽取一封确定来信者为幸运之星，再从两箱中各抽取一封确定来信者为幸运观众，则有__________种不同的结果.
14.从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相加，列出所有的取法，并求出不同的相加结果的个数.
15.有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意，此人从小区A前往小区H的所有最短路径包含的事件有，，，，，，共6个.记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点有，，，，共4个，所以，即他经过市中心O的概率为.
2.答案：C
解析：由题意知，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，所以每个人有5种选择，则不同的报名方式共有(种)，故选C.
3.答案：D
解析：每1项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺3项冠军，获得冠军的可能的种数是.故选D.
4.答案：C
解析：由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0，
从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式，
其中，，，，，重复了4次，
所以得到不同对数值的个数为.
故选：C
5.答案：D
解析：从东面上山，不同的走法共有（种）；从西面上山，不同的走法共有（种）；从南面上山，不同的走法共有（种）；从北面上山，不同的走法共有（种）.所以应从北面上山.故选D.
6.答案：C
解析：由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：
第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：
第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团，有2种安排方法，所以有种安排方法；
第二步，从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团，共2种选法.
故此时共有种安排方法；
第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：
第一步，将会英语的另外2人安排到需要会英语的旅游团，有2种安排方法；
第二步，从会日语的3人（包括甲）中选出1人安排到需要会日语的旅游团，有3种选法.
故此时共有种选法.
综上，不同的安排方法种数为.
故选：C.
7.答案：B
解析：设四个班分别是A、B、C、D，对应的数学老师分别是a、b、c、d.
让a老师先选，可从B、C、D班中选一个，有3种选法，
不妨假设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.
由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法.
故选：B.
8.答案：BD
解析：由于生物在B层班级，所以只能选第2或第3节，故分两类：
若生物选第2节，则地理可安排在第1,3节，有2种选法，其他任意选即可，故有种（此种情况自习课可出现在第1、3、4节中的某节）；
若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选在第2节，故有1种.根据分类加法计数原理可得，共有种不同的选课方式.由以上分析可知，自习课可安排在4节课中的任一节.
9.答案：CD
解析：对于A，甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，丙、丁在老师相邻两边，有2种站法，所以有种站法，不符合；
对于B，同A一样，有4种站法，不符合；
对于C，甲站两端，有2种站法，乙与老师相邻，有2种站法，丙、丁站剩下位置，有2种站法，所以有种站法，C符合；
对于D，甲、乙要么都在老师左边，要么都在老师右边，且甲、乙还可以相互交换，有种站法，丙、丁站剩下两个位置，有2种站法，所以共有种站法，D符合.
10.答案：35
解析：由题意，知从A城到B城的走法有（种）；从B城到C城的走法有（种）.故不同的走法有（种）.
11.答案：12
解析：由题意可得,
①甲部门要2个电脑编程人员,则有3种情况;2名英语翻译人员的分配方法有2种，根据分步乘法计数原理,分配方案共有 (种).
②甲部门要1个电脑编程人员,则有3种情况;2名英语翻译人员的分配
方法有2种.根据分步乘法计数原理,分配方案共有 (种).
由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有 (种).
12.答案：240
解析：若，则“凸数”为120与121，共（个）；
若，则“凸数”有（个）；
若，则“凸数”有（个）；
若，则“凸数”有（个）；
若，则“凸数”有（个）；
若，则“凸数”有（个）；
若，则“凸数”有（个）；
若，则“凸数”有（个）.
所以所有三位数中“凸数”的个数为.
13.答案：28800
解析：分两类：①当幸运之星在甲箱中抽取时，不同的结果有（种）；②当幸运之星在乙箱中抽取时,不同的结果有（种）.
所以不同的结果共有（种）.
14.答案：由于加法满足交换律，所以本题与顺序无关，是组合问题.现用数对表示每一种取法，并且与是同一种取法.
从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有,,,,,,,,,.
不同的相加结果有3,4,5,7,8,9,10,11,12,15，共10个.
15.答案：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成种不同的信号；每次升3面旗可组成种不同的信号.根据分类加法计数原理，共可组成种不同的信号.
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