4.2.3对数函数的性质与图象——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练（含答案）

4.2.3对数函数的性质与图象——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练
一、概念练习
1.若，，，则( )
A. B. C. D.
2.若已知，，则函数与函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
3.若，，，，则大小关系正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.已知,,,则( )
A. B. C. D.
二、能力提升
6.已知函数在单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.的单减区间为（ ）
A. B. C. D.
8. （多选）选出下列正确的不等式( )
A. B. C. D.
9. （多选）已知函数a，b，c，d是互不相同的正数，且，则的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
10. （多选）函数的图像一定过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.函数且的图象恒过的定点是_____________.
12.函数的单调递增区间为__________.
13.已知函数，则的解集为____________.
14.已知函数，，令，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围.
15.已知函数.
(1)当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围.
(2)是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：本题考查通过指数、对数函数比较大小.，.
2.答案：D
解析：本题考查指数、对数函数的图象与性质.由，则，由，得，，，，则函数是增函数，函数是减函数，选项D是满足题意的图象.
3.答案：B
解析：取特殊值，
令，，
则，
，
，
则，即，
可排除A、C、D选项，故答案为B.
4.答案：D
解析：分，两种情形讨论.
当时，与均为增函数，但递增较快，排除C；当时，为增函数，为减函数，排除A，由于递增较慢，排除B，选D.
5.答案：A
解析：,,,.故选A.
6.答案：D
解析：由 ，解得 或 ，
故函数 的定义域为.
又函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
函数 在 上单调递增，
故选 :D.
7.答案：D
解析：由，解得或，
当时，为减函数，而的底数为，所以为函数的增区间，
当时，为增函数，而的底数为，所以为函数的减区间.
故选：D.
8.答案：ACD
解析：由于为增函数，则，故A正确，
由于为减函数，则，故B不正确，
由于为增函数，则，故C正确，
由于为减函数，则，故D正确.
故选：ACD.
9.答案：CD
解析：画出函数的图像，的含义是平行于x轴的直线与函数的图像有4个交点.
如图所示，不妨记四个交点的横坐标分别为a，b，c，d，且，
由，得，且，
所以，即，
所以，从而得出.
由，结合图像可以得出，且.
所以，将此式看成关于c的函数，
因为，所以.故选CD.
10.答案：BCD
解析：的大致图像如图所示，所以一定过第二、三、四象限.故选BCD.
11.答案：
解析：因为函数图象恒过定点，所以令函数中，得，所以，所以函数图象恒过定点.
12.答案：
解析：由可得或，
所以的定义域为，
设，则是由和复合而成，
因为对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为，
故答案为：.
13.答案：
解析：由题意，函数是定义在R上的奇函数，且，在R上单调递增，，即，即，解得.
14.答案：，
解析：，
，
又，，
即.
15.答案：（1）
（2）不存在，理由见解析
解析： (1)因为且，设，则为减函数，
当时，的最小值为，当时，恒有意义，
即当时，恒成立，所以.所以.又且，
所以a的取值范围是.
(2)，因为，且，所以函数为减函数.
因为在区间上为减函数，所以为增函数，
所以，时，最小值为，
最大值为
所以，即.
故不存在这样的实数a，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1.
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