7.1.2弧度制 课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册(共17张PPT)

(共17张PPT)
7.1.2弧度制
情境导入
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量也可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢.
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制.
新知探索
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度.
我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角.
我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角.
当=r时， =1rad
当=2r时， =2rad
当=3r时， =3rad
所以
新知探索
根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么
其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
新知探索
思考1：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算.如何换算呢？
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以
反过来有，
新知探索
角度制与弧度制的换算：
练习
例1.把下列角度与弧度进行互化.
(1)110°；(2)-32°；(3)；(4)；(5) 11°15
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)11°15
新知探索
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 2
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
S={β|β=α+2k ，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}
{α| 2k ＜α＜ 2k + ，k∈Z}
{α| 2k + ＜α＜ 2k + ，k∈Z}
{α| 2k + ＜α＜ 2k + ，k∈Z}
{α| 2k + ＜α＜ 2k + 2 ，k∈Z}
练习
例2.已知角
(1)将改写成的形式，并指出是第几象限角；
(2)在内找出与终边相同的角.
解：(1)∵
又∴角与终边相同，是第三象限的角.
(2)∵与终边相同的角
令令 ，令
题型二：用弧度制表示角有关的角
例析
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)(2)(3)
其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
证明：由公式可得：.下面证明(2)(3).
半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是：
.
将代入上式，即得
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
例析
扇形的弧长和面积公式：
设扇形的半径为弧长为为其圆心角，则:
弧长公式
扇形面积公式
新知探索
辨析3：判断正误：
(1)扇形的半径为1㎝，圆心角为30°，则扇形的弧长
(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍.
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍.
答案：×，√，×.
辨析4：半径为4，圆心角为的扇形的弧长为_____.
答案：.
练习
例5.已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
解：设扇形的弧长为
∵圆心角72°
∴扇形弧长
于是，扇形的面积
练习
例6.已知扇形的周长为10，面积为，求扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为半径为，据题意有：解得，
当时，此时，舍去.
当时，此时，.
综上所述，扇形圆心角的弧度数为.
题型三：扇形的弧长与面积公式
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)1弧度角的概念；
(2)角度制与弧度制的换算；
(3)扇形的弧长和面积公式.
作业：
(1)整理本节课的笔记，PPT放家长群里；
(2)课课练第137-138页，第11-12不做
(3)天天练第48练1-11题，12题不做