4.3.1等比数列的概念（第二课时）-2022-2023学年高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)(共21张PPT)

(共21张PPT)
第四章 数列
4.3.1等比数列的概念
第二课时
课程标准
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；
3.能在具体问题的情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题；
4.体会等比数列与指数函数的关系。
复习回顾
回顾1 等比数列的定义与递推公式是怎样的？
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)．
等比数列的递推关系：
或
回顾2 等比数列的通项公式是什么？
首项为,公比为的等比数列的通项公式为
（n∈N﹡, q≠0）
课前导入
实际
概念
递推
通项
前n项和
一
二
三
教学目标
了解并掌握双曲线的几何性质：对称性，范围，顶点，渐近线，离心率等
理解离心率的大小对双曲线开口大小的影响
能利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：等比数列的应用
例题讲解
例4.用 10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
l
解(1)：设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，
∴
所以，12个月后的利息为(元).
新知讲解
解(2)：设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则是一个是等比数列，首项，公比为，于是
因此，以季度复利计算，存4个季度后的利息为元.
解不等式，得.
所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例题讲解
例5.已知数列的首项.
(1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
(2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.
l
解(1)：由，，得的通项公式为.
设，则.
又
所以，是以为首项，9为公比的等比数列.
新知讲解
解(2)：由，，得.
两边取以3为底的对数，得
所以，
又
所以，是以为首项，为公差的等差数列.
合作探究
思考1：已知且，如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？
思考2：等比数列中，已知，试证明
l
新知讲解
证明：∵设各项均为正的等比数列的首项为，公比为，则
.
所以，是以为首项，为公差的等差数列.
新知讲解
证明：∵设等比数列的首项为，公比为，则
，
，
而，∴.
而，∴.
若是等比数列，公比为，正整数满足，
则.特别地，当时，
新知讲解
例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格的数量能否控制在100个以内？
l
解：从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.
由题意，知
其中
新知讲解
解：则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
.
由计算工具计算
1 2 3 4 5 6 7
105.5 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可.
新知讲解
由，
得
所以，当时，递减.
又，所以，当时，.
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
例题小结
1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.
2.通过归纳得到结论，再用数列知识求解.
新知探究
探究一：等比数列的性质
新知讲解
等比数列的性质
1.若数列，是项数相同的等比数列，则也是等比数列.特别地，若是等比数列，是不等于0的常数，则也是等比数列.
2.在等比数列中，若，则.
3.等比数列是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末两项的积.
概念生成
4.在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为.
5.在等比数列中，当成等差数列时，成等比数列.
注：在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
验证方式：特殊值！
课堂小结
（1）等比数列的应用
（2）等比数列的性质