【高一数学上学期期末备考专题大全】
专题5 三角函数
期末考试真题强化训练（新高考湖北卷）
一、单选题
1．（2021·湖北·沙市中学高一期末）（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北省直辖县级单位·高一期末）若角顶点在原点，始边在的正半轴上，终边上一点的坐标为，则角为（ ）角．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021·湖北·荆州中学高一期末）已知函数，若，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
4．（2022·湖北黄石·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖北十堰·高一期末）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖北鄂州·高一期末）已知角是第四象限角，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·湖北十堰·高一期末）要得到函数的图象﹐只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
9．（2021·湖北·高一期末）把函数的图像向左平移个单位可以得到函数的图像，若是偶函数，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．（2022·湖北襄阳·高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·湖北·应城市第一高级中学高一期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧田面积（弦矢矢矢）.其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差.如图，现有圆心角为的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为，按照上述公式计算，所得弧田面积是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·湖北·荆州中学高一期末）达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知函数在上有且只有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·湖北·荆州中学高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为0 B．的最大值为2
C． D．在上有解
15．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．（2021·湖北恩施·高一期末）下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·湖北鄂州·高一期末）下列函数中周期为的函数有（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021·湖北·沙市中学高一期末）的部分图象如图所示．则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2021·湖北鄂州·高一期末）设函数，已知在有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）
A．在有且仅有2个零点
B．在单调递增
C．的取值范围是
D．将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数
20．（2021·湖北·高一期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·湖北·高一期末）若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，则下列关于的说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．图象的一个对称中心坐标为
C．的值域为
D．图象的一条对称轴方程为
22．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（ ）
A． B．点是的图象的一个对称中心
C．在上的值域为 D．的图象在上有四条对称轴
23．（2021·湖北·荆州中学高一期末）函数是常数，的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．
D．若，则的最小值为
24．（2021·湖北·高一期末）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．与的定义域都是
B．为偶函数且也为偶函数
C．的值域为的值域为
D．与最小正周期为
25．（2021·湖北省直辖县级单位·高一期末）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数在区间上单调递增
C．该函数图象的一个对称中心为
D．该函数的解析式是
26．（2021·湖北荆州·高一期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的单调递增区间为
D．的图象关于点对称
27．（2022·湖北恩施·高一期末）为了得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后所得图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后所得图象向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，纵坐标不变，然后所有点的横坐标缩短到原来的
D．向右平移个单位长度，纵坐标不变，然后所有点的横坐标缩短到原来的
28．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）声音是由物体振动产生的声波，每一个音都是由纯音合成的.其中纯音的数学模型是函数（，），已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确（ ）
A．
B．
C．将函数的图象向左平移个单位长度后，与纯音的数学模型函数的图象重合
D．将函数的图象向右平移个单位长度后，与纯音的数学模型函数的图象重合
29．（2022·湖北武汉·高一期末）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P第一次到达最高点需要10秒
B．当水轮转动35秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
30．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）如图所示，点是函数的图像与轴的交点，点在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．的单调增区间为
D．，均有
31．（2022·湖北襄阳·高一期末）设函数．已知在上有且仅有3个零点，则下列四个说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．在上单调递增
C．在上存在，，满足
D．在上有且仅有1个最大值
三、填空题
32．（2021·湖北恩施·高一期末）已知，则__________．
33．（2021·湖北·荆州中学高一期末）已知，则___________.
34．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知，则________．
35．（2021·湖北湖北·高一期末）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，与纯音的数学模型函数的图象重合，则__________．
36．（2021·湖北·高一期末）已知函数，，的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称.若对于任意的.存在.使得，则实数m的取值范围为___________.
37．（2021·湖北省直辖县级单位·高一期末）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中，，较小的锐角．若，正方形的面积为100，则________，________．
四、解答题
38．（2021·湖北鄂州·高一期末）已知函数，从下面三个条件中任选一个条件，求出的值，并解答后面的问题.
①已知函数f(x)＝2sin(x＋)·sin(x－)＋2的最小值为，最大值为；
②已知，且，当取到最小值时对应的，；
③已知函数，满足.
（1）选择条件________，确定的值；
（2）求函数的单调递增区间和对称中心.
39．（2021·湖北鄂州·高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求时，函数的解析式；
（2）已知f(－α)＝，f(＋β)＝－，α∈(，)，β∈(0，)，求的值.
40．（2021·湖北湖北·高一期末）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值．
41．（2021·湖北鄂州·高一期末）如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S.
（1）求关于的函数解析式；
（2）求的最大值.
42．（2021·湖北·高一期末）①角的终边上有一点；②角的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为；③为锐角且.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.
问题：已知角的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴上，___________.求的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.
43．（2021·湖北·沙市中学高一期末）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
①函数．
②函数；
③函数对任意都有成立；
已知_______（填所选条件序号），函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间和对称中心 对称轴．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
44．（2021·湖北省直辖县级单位·高一期末）已知函数．
（1）求函数的最值及相应的的值；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．
45．（2021·湖北·高一期末）已知函数(，，)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x轴的一个交点的坐标分别为，.
（1）求的解析式；
（2）设M，N为函数的图象与的图象的两个交点(点M在点N左侧)，且，求t的值.
46．（2021·湖北荆州·高一期末）已知函数．
（1）若，求的单调递减区间；
（2）若，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在区间上的最值．
47．（2021·湖北·高一期末）已知函数，且其图象上相邻最高点 最低点间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若已知，求的值.
48．（2021·湖北·高一期末）已知函数，其中常数.
（1）若在单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求的零点及图象离原点O最近的对称中心.
49．（2021·湖北十堰·高一期末）已知函数.
（1）常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.
50．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期末）已知．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若，求的值；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围．
51．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
52．（2022·湖北武汉·高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
53．（2022·湖北咸宁·高一期末）已知函数，，．
(1)当，时，
①求的单调递增区间
②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．
(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.
54．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数.
(1)当时，求在的值域；
(2)若至少存在三个，使得，求最小正周期的取值范围；
(3)若在上单调递增，且存在，使得，求的取值范围.
55．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知函数的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点坐标为.
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到的图象，写出函数在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数在区间上的值域.【高一数学上学期期末备考专题大全】
专题5 三角函数
期末考试真题强化训练（新高考湖北卷）
一、单选题
1．（2021·湖北·沙市中学高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用诱导公式，化简求值.
【详解】.
故选：D
2．（2021·湖北省直辖县级单位·高一期末）若角顶点在原点，始边在的正半轴上，终边上一点的坐标为，则角为（ ）角．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】通过诱导公式化简即可.
【详解】由诱导公式得：
，
所以在第二象限，所以角为第二象限角.
故选：B.
3．（2021·湖北·荆州中学高一期末）已知函数，若，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】D
【解析】由可得，令代入函数解析式并利用三角函数诱导公式进行化简求值.
【详解】，
.
故选：D
4．（2022·湖北黄石·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.
【详解】因为，
所以,
故选：A.
5．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将两边平方，即可求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角差的正弦公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
即，即，所以，
又，
即，
因为，所以，
所以，即，
所以，所以，
所以
；
故选：D
6．（2022·湖北十堰·高一期末）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由二倍角的余弦结合解出的范围解出，再利用诱导公式即可求解
【详解】由，得．
因为，所以，
所以，所以
所以．
故选：A
7．（2021·湖北鄂州·高一期末）已知角是第四象限角，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
【详解】由，
得，即，
∵角是第四象限角，
∴，
∴．
故选：A．
8．（2021·湖北十堰·高一期末）要得到函数的图象﹐只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】先将化为，进而按照平移的方法得到答案.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象﹐只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：D.
9．（2021·湖北·高一期末）把函数的图像向左平移个单位可以得到函数的图像，若是偶函数，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】先得到平移后的解析式，然后根据函数为偶函数得到，根据的范围，得到可取的值，得到的值.
【详解】由题意，得.
是偶函数，
，
.
当时，；
当时，，
故选：D.
10．（2022·湖北襄阳·高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简，再平移，由函数的图象关于直线对称有，进而得到的最小值.
【详解】解法一：
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．故选:A．
解法二
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称．
因为，所以，
即，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．
故选：A．
11．（2021·湖北·应城市第一高级中学高一期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧田面积（弦矢矢矢）.其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差.如图，现有圆心角为的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为，按照上述公式计算，所得弧田面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据，得到，再由弦与半径构成的三角形面积为，由求得AB，OC，代入公式求解.
【详解】由题意，，则，可得，
解得：，
又因为弦与半径构成的三角形面积为，
解得，
所以，所以弧田面积.
故选：A
12．（2021·湖北·荆州中学高一期末）达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．
【详解】解：依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知函数在上有且只有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先化简函数的解析式，然后利用的范围求出的范围，根据题意列不等式求解.
【详解】，因为，得，因为函数在有且只有四个零点，则，解得.
故选：C.
【点睛】关于三角函数中求解的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即的范围，然后根据题意，分析范围所在的区间，列不等式求解，即可求出.
14．（2021·湖北·荆州中学高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为0 B．的最大值为2
C． D．在上有解
【答案】C
【解析】可得，得出是以为周期的函数，故只需考虑即可.
【详解】，
是以为周期的函数，
当时，，
则，，
根据函数的周期性可得的最小值为1，最大值为，故AB错误，
在上无解，故D错误，
，故C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出是以为周期的函数，故只需考虑即可.
15．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出图像，利用正弦函数的对称性求出，再结合的范围即可求解.
【详解】
不妨设，画出的图像，即与有3个交点，由图像可知，关于对称，即，令，解得，所以，故，.
故选：A.
二、多选题
16．（2021·湖北恩施·高一期末）下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据偶函数的定义判断即可；
【详解】解：对于A：定义域为，，所以为偶函数，
对于B：定义域为，，故不是偶函数，
对于C：定义域为，，所以为偶函数，
对于D：定义域为，，故为偶函数；
故选：ACD
17．（2021·湖北鄂州·高一期末）下列函数中周期为的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用三角函数的性质直接判断AC，利用周期函数的定义，以及三角函数恒等变形判断BD.
【详解】A.的周期为，故A不正确；
B.，所以周期不是，故B不正确；
C.的周期是，故C正确；
D.，函数的周期，故D正确.
故选：CD
18．（2021·湖北·沙市中学高一期末）的部分图象如图所示．则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】可根据最值求出，根据周期求出，根据取最值时的值求出，从而得到解析式.
【详解】由图象知，最大值为2，故.
的周期为，故
，
为，B正确
又，C正确
对于A. ，故不对
对于D. ，故不对
故选：BC
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
19．（2021·湖北鄂州·高一期末）设函数，已知在有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）
A．在有且仅有2个零点
B．在单调递增
C．的取值范围是
D．将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数
【答案】BC
【分析】首先利用图象直接判断A选项；再利用函数在有且仅有5个零点，求得的范围，并利用整体代入的方法判断B选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D.
【详解】A.如图，上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是在上的3个零点；
B.时， 若函数在有且仅有5个零点，
则，得，当时，，此时函数单调递增，故BC正确；
D. 函数的图象先右移个单位后得到，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到，故D不正确；
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的取值范围，首先根据函数在区间有5个零点，首先求的范围，再分析的图象，求得的范围.
20．（2021·湖北·高一期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】将，展开化简，分解因式可得或.由辅助角公式可说明不成立，
故有.由此可判断BCD
【详解】由可得，
即，
即，
所以或，
由可知不可能成立，故，即，所以，且，故.故选：BCD.
【点睛】本题可利用两角和与差的正余弦公式，将已知式展开，分解因式，可到两种情况的解.利用辅助角公式可判断其中有一种情况不成立.故可得.根据正切为1，可求得的解.
21．（2021·湖北·高一期末）若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，则下列关于的说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．图象的一个对称中心坐标为
C．的值域为
D．图象的一条对称轴方程为
【答案】ACD
【解析】由已知得到，根据周期定义可判断A；代入函数解析式验证是否成立可判断B；由正弦函数的值域可判断C；代入可判断D.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到，故函数的最小正周期，所以A错误；
因为，所以的图象关于点对称，所以B正确；
由得的值域为，所以C错误；
，函数取得的不是最值，故不是对称轴，所以D错误.
故选：ACD.
【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用已知条件求出的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题.
22．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（ ）
A． B．点是的图象的一个对称中心
C．在上的值域为 D．的图象在上有四条对称轴
【答案】BD
【解析】根据题意，求得平移后的解析式，根据其为偶函数，可求得的表达式，根据的范围，即可求得的值，即可判断A的正误；根据的解析式，代入，即可判断B的正误；根据x的范围，即可求得的范围，结合正弦型函数的图象，即可判断C的正误；令，即可求得对称轴的表达式，对k赋值，即可求得的对称轴，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：将函数的图象向左平移个单位所得的解析式为：，
由题意得：其图象对应的函数为偶函数，
则，，解得，
因为，令，得，故A错误．
所以；
对于B：因为，所以，
所以点是的图象的一个对称中心，故B正确；
对于C：因为，所以，
所以当时，即时，有最大值2，
当时，即时，有最小值，故C错误；
对于D：令，解得，
因为时，令，解得
令，解得，
令，解得，
令，解得，
所以的图象在上有四条对称轴，故D正确.
故选：BD
【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质，并灵活应用，在求解值域时，通过换元法令，将其转化为研究的性质，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
23．（2021·湖北·荆州中学高一期末）函数是常数，的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．
D．若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】由图求出，再代入求出，得解析式为，然后利用三角函数的性质代入对选项逐一判断即可.
【详解】由图可知，，，所以，则，所以，可得，所以，得，，可得
，可知函数为增函数；根据所以；若，可得或，所以可知时，的最小值为.
故选：BCD.
【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令或，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
24．（2021·湖北·高一期末）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．与的定义域都是
B．为偶函数且也为偶函数
C．的值域为的值域为
D．与最小正周期为
【答案】BC
【解析】利用的性质逐项研究题设中两个函数相应的性质后可得正确的选项.
【详解】对于A，与的定义域都是，故A错误.
对于B，，
故为偶函数且也为偶函数，故B正确.
对于C，因为，故，同理，
故的值域为的值域为，故C正确.
对于D，，
故的最小正周期不是，故D错误.
故选：BC.
25．（2021·湖北省直辖县级单位·高一期末）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数在区间上单调递增
C．该函数图象的一个对称中心为
D．该函数的解析式是
【答案】ACD
【解析】根据图象可得函数的周期，根据图象的所过的三点可求函数解析式，从而可判断各项的正误.
【详解】由函数的局部图象可得周期，故A正确.
又.
若，则，故，故，
当时，，故，
因为，故，故.
若，则，故，故，
当时，，故，
因为，此时无解.
故，D正确.
当时，，
因为，
故在上为不单调，
故在为不单调，故B错.
令，故，故对称中心的坐标为，
取，则有对称中心，故C正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：根据正弦型函数的图象求函数的解析式，可采用“两看一算”的基本方法，“两看”指看周期和振幅，“一算”指利用最高点或最低点计算初相位.正弦型函数的单调性、对称性的讨论，注意利用整体法来处理.
26．（2021·湖北荆州·高一期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的单调递增区间为
D．的图象关于点对称
【答案】CD
【分析】先利用正弦、余弦的二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用三角函数的周期公式可判断A；利用正弦函数对称性、单调性、对称中心，可判断BCD．
【详解】
，
所以的最小正周期为，
令，解得，所以的图象关于直线对称，
令，解得，所以的单调递增区间为，
令，解得，所以的图象关于点对称，
故选：CD.
【点睛】方法点睛：在解决的性质：单调性、对称轴、对称中心，常运用整体代换法得以解决.
27．（2022·湖北恩施·高一期末）为了得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后所得图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后所得图象向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，纵坐标不变，然后所有点的横坐标缩短到原来的
D．向右平移个单位长度，纵坐标不变，然后所有点的横坐标缩短到原来的
【答案】AC
【分析】化为同名函数后，根据图象变换判断．
【详解】因为，所以将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
或者将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，然后所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象.
故选：AC．
28．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）声音是由物体振动产生的声波，每一个音都是由纯音合成的.其中纯音的数学模型是函数（，），已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确（ ）
A．
B．
C．将函数的图象向左平移个单位长度后，与纯音的数学模型函数的图象重合
D．将函数的图象向右平移个单位长度后，与纯音的数学模型函数的图象重合
【答案】AD
【分析】由五点法求出三角函数的解析式可判断A，B；再由三角函数的平移变化判断C，D.
【详解】由图知：，又因为，
所以，故A正确.
所以，
又因为，则，故B不正确.
所以，，
将函数的图象向左平移个单位长度则，所以C不正确.
将函数的图象向右平移个单位长度后则
，故D正确.
故选：AD.
29．（2022·湖北武汉·高一期末）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P第一次到达最高点需要10秒
B．当水轮转动35秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
【答案】AC
【分析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为,根据题意，求出的值，对照四个选项一一验证.
【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为
，
由题意得：解得：
∴.
故D错误；
对于A.令h=6，即，即
解得：t=10，故A对；
对于B令t =35，代入，解得：h=4，故B错误；
对于C. 令t =25，代入，解得：h= -2，故C对.
故选：AC
30．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）如图所示，点是函数的图像与轴的交点，点在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．的单调增区间为
D．，均有
【答案】ABD
【分析】根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可.
【详解】因为当的面积最大时，，在最高点，
所以此时在中，，
所以，，即，，
因为函数经过，则，即，又因为，所以取.
所以函数表达式为.
对于A，，故A正确；
对于B，，取得函数最小值，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，令，解得，所以的单调增区间为，故C错误；
对于D，由C选项分析以及题意可知函数图像在区间上为轴上方单调递增部分，结合图像可知，此部分图像上凸，满足，均有，故D正确
故选：ABD
31．（2022·湖北襄阳·高一期末）设函数．已知在上有且仅有3个零点，则下列四个说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．在上单调递增
C．在上存在，，满足
D．在上有且仅有1个最大值
【答案】AC
【分析】利用正弦函数的性质及条件可得，即，然后结合三角函数的图象和性质逐项判断即得.
【详解】∵在上有且仅有3个零点，
由，得，
∴，即，故A正确；
由，此时，，所以在上不单调递增，故B错误；
由上知在能取到最大值和最小值，所以存在，，满足，故C正确；
由上可知，时，，由，可得，所以在上可能有2个最大值，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
32．（2021·湖北恩施·高一期末）已知，则__________．
【答案】
【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】，因此，.
故答案为：.
33．（2021·湖北·荆州中学高一期末）已知，则___________.
【答案】
【解析】根据题中条件，由二倍角的余弦公式，即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
34．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知，则________．
【答案】
【解析】由已知的等式变形后求出的值，然后利用同角三角函数间的基本关系把所求式子中的分母的“1”变形为，然后再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到关于的关系式，将的值代入即可求出值.
【详解】∵，
∴，即，
则
.
故答案为：.
35．（2021·湖北湖北·高一期末）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，与纯音的数学模型函数的图象重合，则__________．
【答案】
【分析】先由图像求出函数的解析式，得出，再根据函数图像的平移结合条件可得，根据的范围可得答案.
【详解】由图可知，，所以，又图象过，
所以，因为，所以．
所以，
则
函数的图象向右平移个单位后，可得
由题意，所以
所以，又，所以．
故答案为：．
36．（2021·湖北·高一期末）已知函数，，的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称.若对于任意的.存在.使得，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【解析】根据的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，求得 ，再根据对于任意的.存在.使得，由求解.
【详解】因为的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，
所以 ，，
所以，因为，
所以，
所以，
当时，，
所以，
所以，
在上递减，
所以，
因为对于任意的.存在.使得，
所以，即，
解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
37．（2021·湖北省直辖县级单位·高一期末）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中，，较小的锐角．若，正方形的面积为100，则________，________．
【答案】
【解析】由已知可得，进而求出、，利用二倍角公式可求得答案.
【详解】由已知得， ，又，
解得，，所以，，
，
因为，所以，所以，
.
故答案为：①；②.
【点睛】本题考查了解三角形、二倍角求三角函数值的问题，关键点是求出，进而求出、，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
四、解答题
38．（2021·湖北鄂州·高一期末）已知函数，从下面三个条件中任选一个条件，求出的值，并解答后面的问题.
①已知函数f(x)＝2sin(x＋)·sin(x－)＋2的最小值为，最大值为；
②已知，且，当取到最小值时对应的，；
③已知函数，满足.
（1）选择条件________，确定的值；
（2）求函数的单调递增区间和对称中心.
【答案】（1）；（2）递增区间为，对称中心为.
【分析】（1）选择条件①，利用两角和与差的公式，二倍角公式和辅助角公式整理函数，利用最值即求得参数；选择条件②，妙用“1”代入，使用基本不等式，计算取等号条件，即求得参数；根据分式函数对称中心和已知条件对照，即求得参数；
（2）先利用参数得，再利用整体代入法求函数单调增区间和对称中心即可.
【详解】解：（1）选择条件①，，
故
，
当时，；
当时，.
故；
选择条件②，，，则，当且仅当时，等号成立，即代入，得；
选择条件③，函数的定义域，值域为，即该分式函数对称中心为，又得对称中心为，
故；
（2）由（1）知，
得，要使递增，只需递减，
故令，
解得，
所以递增区间为，
令，解得：，，
所以的对称中心为.
【点睛】方法点睛：
求三角函数性质问题时，通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式，再利用整体代入法求解单调性、对称性等性质.
39．（2021·湖北鄂州·高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求时，函数的解析式；
（2）已知f(－α)＝，f(＋β)＝－，α∈(，)，β∈(0，)，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据偶函数定义求解析式；
（2）代入已知条件，确定角的范围，由平方关系求得，，然后结合诱导公式、两角差的正弦公式计算．
【详解】解：（1）设，则，
故，
又是定义在上的偶函数，
当时，.
（2），，
，，，
，化简得，则.
，化简得，则.
．
【点睛】关键点点睛：本题考查由奇偶性求解析式，考查两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等．解题关键是确定已知角和未知角的关键，以确定选用的公式．在用平方关系求值时需确定角的范围，从而确定函数值的正负．
40．（2021·湖北湖北·高一期末）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解；
（2）代入（1）中函数解析式，得，计算（需确定的范围），由半角公式求得．
【详解】（1），
由，得，
所以单调递增区间为．
（2）由得，即，
，
41．（2021·湖北鄂州·高一期末）如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S.
（1）求关于的函数解析式；
（2）求的最大值.
【答案】（1），；（2）5.
【分析】（1）先根据题意计算在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算的长度，计算长方形QGCH的面积再化简即得结果；
（2）先换元，确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果.
【详解】解：⑴，则在竖直方向上的投影的长度为，在水平方向上的投影长度为，
故，，
，，
整理得：，；
（2），，
令，即，平方可得，
当时，可求得.
，，
根据二次函数对称性可知，当时，.
【点睛】方法点睛：
求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可.
42．（2021·湖北·高一期末）①角的终边上有一点；②角的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为；③为锐角且.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.
问题：已知角的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴上，___________.求的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.
【答案】答案见解析
【解析】选条件①，则根据三角函数定义得，，进而根据二倍角公式得，，再结合余弦的和角公式求解即可；
选条件②，由三角函数单位圆的定义得，，进而根据二倍角公式得，，再结合余弦的和角公式求解即可；
选条件③，由二倍角公式得，并结合题意得，故，，再结合余弦的和角公式求解即可；
【详解】解：方案一：选条件①.
由题意可知，.
所以，.
所以
.
方案二：选条件②.
因为角的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为，
所以，.
所以，.
所以
.
方案三：选条件③.
，
结合为锐角，解得，
所以，.
所以
.
【点睛】本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是基础题.
43．（2021·湖北·沙市中学高一期末）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
①函数．
②函数；
③函数对任意都有成立；
已知_______（填所选条件序号），函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间和对称中心 对称轴．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】条件性选择见解析，（1）；（2）单调递增区间为；
对称中心的坐标为；对称轴为直线，.
【解析】选择条件①：，再根据相邻两对称轴之间距离为，可得从而求出；
选择条件②：，相邻两对称轴之间距离为，可得，从而求出；
选择条件③：相邻两对称轴之间距离为，求出，对任意都有成立，则的图象关于对称，可求出，从而得出；
（1）由于选择哪种情况，都有，代入可得答案.
（2）分别根据正弦函数的单调递增区间、对称中心、对称轴可得答案.
【详解】选择条件①：依题意，，
即有：，
化简得：，
即有：，
又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，
从而 ；
选择条件②：依题意，，
即有：，
又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，
从而；
选择条件③：依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，
对任意都有成立，
则的图象关于对称，则，，由知，
从而；
（1）由于选择哪种情况，都有，所以.
（2），
单调递增区间为，
解得，
从而的单调增区间为
又由，所以，
得的对称中心的坐标为，
的对称轴为直线，即
，.
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数解析式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
44．（2021·湖北省直辖县级单位·高一期末）已知函数．
（1）求函数的最值及相应的的值；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．
【答案】（1）当时，，当时，；（2）．
【解析】（1）化简得，再求三角函数的最值得解；
（2）先求出函数的单调增区间为，可得在单调递增，即得解.
【详解】（1）∵，
当时，，，
当时，，．
（2）因为，
则，
解得，
令，得，可得在单调递增，
若上单调递增，
则，
所以的取值范围是．
【点睛】关键点睛：解答第二问的关键求出函数在单调递增，即得到.
45．（2021·湖北·高一期末）已知函数(，，)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x轴的一个交点的坐标分别为，.
（1）求的解析式；
（2）设M，N为函数的图象与的图象的两个交点(点M在点N左侧)，且，求t的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由周期求出，取点求出，进而得出的解析式；
（2）设，，解方程，得出，再由求出t的值.
【详解】解：（1）由题意易知，周期，所以，所以.
将最高点代入中可得
得，即.
又因为，所以，所以.
（2）设，，则
所以
所以，所以，即
所以.
【点睛】方法点睛：由图象求函数的解析式时，有如下步骤：
1、由最值得出的值；
2、由周期结合得出；
3、取点求出.
46．（2021·湖北荆州·高一期末）已知函数．
（1）若，求的单调递减区间；
（2）若，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在区间上的最值．
【答案】（1）；（2）最小值；最大值2．
【解析】（1）若，，令可求；
（2）若，，则，则根据的取值范围可求.
【详解】解：，
（1）∵，
∴，
由，得．
∴函数的单调减区间为．
（2）当时，可知，
将的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为．
当，时，，
当，即时，取最小值；
当时，即时，取最大值2．
【点睛】本题考查利用三角函数的恒等变化求三角函数的性质，解题的关键是正确利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为正弦型函数.
47．（2021·湖北·高一期末）已知函数，且其图象上相邻最高点 最低点间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用周期和最值表示最高点和最低点两点间距离，求；（2）由（1）可知，利用平方变形求以及，再代入原式化简求值.
【详解】（1），周期是，最大值为1，
设图象的最高点为，最低点，则,
，解得：，
；
（2），两边平方后得，
，
【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是函数变形为，第二个关键是表示最高点和最低点间的距离，第三个关键是会应用，，以及的关系变形.
48．（2021·湖北·高一期末）已知函数，其中常数.
（1）若在单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求的零点及图象离原点O最近的对称中心.
【答案】（1）；（2）零点为或，其中，离原点最近的对称中心为.
【解析】（1）利用函数图象在轴附近的对称轴可得关于的不等式组，其解为的取值范围；
（2）利用图象变换可得的解析式，利用整体法可求其零点及离原点最近的对称中心.
【详解】（1）令，其中，故，
令得；令得，
因为在单调递增，故，故.
（2），故，
令，故，
故或，其中，
故或，其中.
故的零点为或，其中.
令，故，
当时，；当时，；
因为，故离原点最近的对称中心为.
【点睛】方法点睛：（1）利用图象的左右平移求解析式时，注意仅对自变量本身做变化，与自变量前面的系数无关；
（2）正弦型函数的对称中心、对称轴方程等性质的讨论，注意利用整体法来处理.
49．（2021·湖北十堰·高一期末）已知函数.
（1）常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式化简，即可得到，根据正弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再由函数在区间的单调性，得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得，令，则将函数化为，利用辅助角公式及正弦函数的性质求出的取值范围，最后根据二次函数的性质分类讨论计算可得；
【详解】解：（1）因为
所以
即
则
由，
得.
故函数的单调递增区间为.
因为函数在区间上是增函数，
所以
易得
即
则
解得
故的取值范围为.
（2）由（1）可得
所以
设
则，
由，得.
则
当，即时，在处，
解得(舍去).
当，即时，在处，
解得(舍去)
当，即时，在处，，
解得
综上，实数的值为或.
50．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期末）已知．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若，求的值；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围．
【答案】（1）函数的单调递减区间为[]（k∈Z）;（2）;（3）或.
【分析】(1)由正余弦二倍角公式和正弦两角和公式对原式进行化简;然后利用正弦型函数的单调性求解;
(2)利用余弦二倍角公式化简,然后由诱导公式得,代入计算即可;
(3)由图像平移得函数,然后结合数形结合的思想将所求问题转化成函数与图像有一个交点来求解参数的取值范围.
【详解】(1)由于，
令（k∈Z）,整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
(2)由题意,则,即,
由,则
(3)由函数的图象向右平移个单位得到的图象,
由于,所以,则函数在上有唯一零点，即得函数与图像在上只有一个交点,所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点,则由或,解得或,
即当或时,函数在上有唯一零点.
【点睛】本题是一道综合性的试题,考查了正余弦二倍角公式的应用,考查了三角函数和差公式的应用,考查了图像平移以及利用图像解决函数零点的问题,属于中档题.
51．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简，再利用正弦函数的单调性即可得出答案.
（2）函数在区间上有且仅有两个零点转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，即可求实数k的取值范围.
（1）
，
令，所以，
所以函数的单调递增区间为：
（2）
函数在区间上有且仅有两个零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，由，当时，，设，则，且，
若要使曲线与直线区间上有且仅有两个交点，
则.
52．（2022·湖北武汉·高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为米
【分析】对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.
对于小问2，令，解出即得答案.
对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，
写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.
(1)
由题意，（其中）
摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，得，
又函数周期为分钟，所以，
又，
所以，又，所以，
所以.
(2)
，
所以，整理，因为，所以，
所以,解得（分钟）.
(3)
经过分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差
当或时，即或分钟时，取最大值为米.
53．（2022·湖北咸宁·高一期末）已知函数，，．
(1)当，时，
①求的单调递增区间
②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．
(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；
②由①求出函数在上的单调区间，解方程可得或，再根据正弦函数的性质即可得出答案；
（2）根据正弦函数的对称性与正弦函数的零点，列出方程组，再结合正弦函数的单调性及周期性求得的范围，再根据正弦函数的单调性检验即可得出答案.
(1)
解：①
，
令，，
解得，，
故的单调递增区间为；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，，
令，
故当时，有个不同的实数根，
由，可得或，
因为有个不同的实数根，
所以有个不同的实数根，且，
故的取值范围为；
(2)
解：由题意可得，，
因为为的零点，直线为图象的对称轴，
所以，，，，
得，，所以，
因为，，所以，即为正奇数，
因为在上单调，则，
即，解得，
当时，，，
因为，所以，此时，
当时，，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
即在上不单调，不满足题意；
当时，，，
因为，所以，此时，
当时，，
此时在上单调递减，符合题意．
故的最大值为．
【点睛】本题考查正弦函数的单调性问题，三角函数的零点问题，三角函数对称性的应用，以及与三角恒等变换的综合应用，属于拔高题．
54．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数.
(1)当时，求在的值域；
(2)若至少存在三个，使得，求最小正周期的取值范围；
(3)若在上单调递增，且存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，求出的范围，根据三角函数的性质，可得答案；
（2）由题意，设f(x)最小正周期为T，则可得T满足的不等式，由此求得T的范围．
（3）由题意在上单调递增，列出相应不等式组，可得，再根据存在，使得能成立，列出不等式，即可求得ω的范围．
(1)
当时，，
由知，
,∴的值域为.
(2)
∵对于函数，
至少存在三个，使得，
设最小正周期为，
∴，即，∴，
∴的最小正周期的取值范围为.
(3)
若在上单调递增， ,
∴， ,∴,
当时，，又，故，
当时, , 不存在，同理k取其它整数时，不存在，
故
∵存在，使得，
即能成立，
即能成立.
∵，∴需，
∴.，
而，故
综上可得，.
55．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知函数的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点坐标为.
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到的图象，写出函数在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为：，值域为
【分析】(1)由条件确定最大值，周期求，，再代特殊点求，由此可得函数的解析式；(2)由三角函数图象变换结论求函数的解析式，再结合余弦函数的性质求的单调区间和值域.
(1)
依题意可知：，解得：，又的图像的一个最低点为，
，又
(2)
将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象，
将函数的图象向下平移2个单位长度可得的图象，
所以，
由可得，
所以函数在区间()上为增函数，又
函数在区间上的单调递增区间为：
又，
所以函数在区间上的值域为
