人教B版高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合测试（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-06 08:27:31 | ||
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文档简介
《空间向量与立体几何》综合测试
一、单选题
1.已知是空间的一个基底,若,则（ ）
A.是空间的一个基底
B.是空间的一个基底
C.是空间的一个基底
D.与中的任何一个都不能构成空间的一个基底
2.若为空间不同的四点,则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020辽宁铁岭高中测试)已知向量,向量,且满足向量,则等于（ ）
A.1
B.
C.2
D.
4.已知向量,向量,分别是直线的方向向量.若,则（ ）.
A.
B.
C.
D.
5.已知向量是一组单位正交向量,,则（ ）
A.7
B.
C.28
D.11
6.(2020丹东一中月考)已知二面角的大小为,为异面直线,且,则所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.(2020山东东营一中模拟)已知向量.若三个向量共面,则实数等于（ ）
A.
B.
C.
D.
8.(2020盐城一中月考)定义.若向量,,向量为单位向量,则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.已知点是平行四边形所在的平面外一点,如果.下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.是平面的一个法向量
D.
10.已知为正方体,下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C.向量与向量的夹角是
D.正方体的体积为
11.如图,在正方体中,点是棱的中点是线段上的一个动点.以下四个命题正确的为（ ）
A.异面直线与夹角为定值
B.异面直线与所成的角是定值
C.三棱锥的体积是定值
D.直线与平面所成的角是定值
12.(2019浙江高考改编)设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点）.记直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,则大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13.(2020山东日照实验高中模拟)如图,在长方体中,,点是与的交点,则点的坐标是_____.
14.(2020天津七校高二期末)在正四面体中,棱长为2,且是棱的中点,则的值为_____.
15.（2020沈阳一中月考）在长方体中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离为_____.
16.(2020泰安19中期中）如图,正三棱柱的各棱长都是分别是的中点,则的长是_____与平面夹角的余弦值为_____.
四、解答题
17.(2020东北育才中学月考）已知空间三点,,设.若与垂直,求满足的关系式.
18.（2020郑州模块统考)如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱,底面是正方形,,且.
（1）设,试用表示;
（2）已知为四棱柱的中心,求的长.
19.(2020浙江丽水高二期末)如图已知,两两垂直,为的中点,点在上,.
（1）求的长;
（2）若点在线段上,设,当时,求实数的值.
20.（2020昆明五月模拟）如图,三棱柱中,.
（1）证明:;
（2）若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
21.(2020北京四中模拟)如图,已知平面为等边三角形.
（1）若平面平面,求的长度;
（2）求直线与平面所成角的取值范围
22.（2020辽宁省实验中学模拟）在四棱锥中,底面,底面是正方形,点是棱上异于点的点.
（1）求证:;
（2）若二面角的大小为,试确定点的位置.
《空间向量与立体几何》综合测试答案
一、单选题
1.已知是空间的一个基底,若,则（ ）
A.是空间的一个基底
B.是空间的一个基底
C.是空间的一个基底
D.与中的任何一个都不能构成空间的一个基底
答案：C
解析:假设，其中，即, ,这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一个基底，故选C.
2.若为空间不同的四点,则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析:A中,原式,不一定为中,原式中,原式中式故进A.
3.(2020辽宁铁岭高中测试)已知向量,向量,且满足向量,则等于（ ）
A.1
B.
C.2
D.
答案：D
解折：由题意可得，，从而可得故选D.
4.已知向量,向量,分别是直线的方向向量.若,则（ ）.
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析:由题意可知，，所以，解得.故选D.
5.已知向量是一组单位正交向量,,则（ ）
A.7
B.
C.28
D.11
答案：C
解析:因为，所以.
6.(2020丹东一中月考)已知二面角的大小为,为异面直线,且,则所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：设的方向向量分别为.由知分别是平面的法向量.因为,所以或.因为两异面直线所成的角的范围为，所以异面直线所成的角为.
7.(2020山东东营一中模拟)已知向量.若三个向量共面,则实数等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由题意,得,所以解得故选D.
8.(2020盐城一中月考)定义.若向量,,向量为单位向量,则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:因为,设,所以.又,所以,所以.故选B.
二、多选题
9.已知点是平行四边形所在的平面外一点,如果.下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.是平面的一个法向量
D.
答案：ABC
解析：对于,所以,即正确;对于,所以,即,正确;对于,由,且,得出是平面的一个法向量,正确;对于,由是平面的法向量,得出,则错误.故选ABC.
10.已知为正方体,下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C.向量与向量的夹角是
D.正方体的体积为
答案：AB
解析：由向量的加法得到:,因为,所以,所以正确;因为,所以,故正确;因为是等边三角形,所以,又,所以异面直线与所成的角为,但是向量与向量的夹角是,故不正确;因为,所以,故.,因此不正确.故选AB.
11.如图,在正方体中,点是棱的中点是线段上的一个动点.以下四个命题正确的为（ ）
A.异面直线与夹角为定值
B.异面直线与所成的角是定值
C.三棱锥的体积是定值
D.直线与平面所成的角是定值
答案：BC
解析：以点为坐标原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得,,设,可得,,可得,故异面直线与所成的角是定值,故正确.
三棱锥的底面的面积为定值,且,点是线段上的一个动点,可得点到底面的距离为定值,故三棱锥的体积是定值,即三棱锥的体积为定值,故正确;易得,可得平面的一个法向量为,可得不为定值,故错误.
12.(2019浙江高考改编)设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点）.记直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,则大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：AC
解析：过作直线,过作底面的垂线，为垂足，过作⊥于，过⊥于，连接，，，.由题意可知，二面角的大小与二面角的大小相等，结合空间角的定义知,在与中,由得,所以均为锐角).故正确,错误;在与中,由得,所以均为锐角).故正确;由于不存在的可能,故错误.
三、填空题
13.(2020山东日照实验高中模拟)如图,在长方体中,,点是与的交点,则点的坐标是_____.
13.
答案：
解析：由题意易得,点是线段的中点,所以点.
14.(2020天津七校高二期末)在正四面体中,棱长为2,且是棱的中点,则的值为_____.
答案：
解析：由题意,设,建立空间的一个基底,在正四面体中,,
所以
.
15.（2020沈阳一中月考）在长方体中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离为_____.
答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
则.
设平面的法向量为,
则即
令,得.
所以到平面的距离.
16.(2020泰安19中期中）如图,正三棱柱的各棱长都是分别是的中点,则的长是_____与平面夹角的余弦值为_____.
答案：
解析：取的中点,连接.以为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,所以，,则,国.因为平面的一个法向量为,设与平面的夹角为,则,故.
四、解答题
17.(2020东北育才中学月考）已知空间三点,,设.若与垂直,求满足的关系式.
答案：见解析
解析：由于,则.由于与垂直,则,即有
,即,化简可得.故满足的关系式为.
18.（2020郑州模块统考)如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱,底面是正方形,,且.
（1）设,试用表示;
（2）已知为四棱柱的中心,求的长.
答案：见解析
解析：（1）由,得,所以.
（2）为四棱柱的中心,即为线段的中点.由已知条件得,,
由（1）得,则
.
所以的长为,所以的长为.
19.(2020浙江丽水高二期末)如图已知,两两垂直,为的中点,点在上,.
（1）求的长;
（2）若点在线段上,设,当时,求实数的值.
答案：见解析
解析：（1）以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
则,,故
（2）设,
由题意得,即,
所以解得
所以.
因为,所以,
所以,所以.
20.（2020昆明五月模拟）如图,三棱柱中,.
（1）证明:;
（2）若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
答案：见解析
解析：如图,取的中点,连接,因为,所以.由于,故为等边三角形,所以.
因为,所以平面.
又平面,故.
（2）由知.
又平面平面,交线为,所以平面.故两两相互垂直.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系设,则由题设知,.
则.
设是平面的一个法向量,
则即可取.
故.
所以与平面所成角的正弦值为.
21.(2020北京四中模拟)如图,已知平面为等边三角形.
（1）若平面平面,求的长度;
（2）求直线与平面所成角的取值范围
答案：见解析
解析：设,取中点,连接.
以为坐标原点,射线的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,.
所以.
易知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为,
则即
令,则,可得.
又,所以,解得,
所以的长度为2.
（2）由（1）可知平面的一个法向量,.
设直线与平面所成的角为,
则,
所以,所以.
即直线与平面所成角的取值范围为.
22.（2020辽宁省实验中学模拟）在四棱锥中,底面,底面是正方形,点是棱上异于点的点.
（1）求证:;
（2）若二面角的大小为,试确定点的位置.
答案：见解析
解析：（1）如图,建立空间直角坐标系.
设,则.
因为点是棱上异于点的点,,
所以可设,则,且.
所以,
所以.所以.
（2）由（1）可知,显然是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为.
因为,
所以即所以令,则,所以.
因为二面角的大小为,
所以.
因为,所以,
即点是棱上满足的点.
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一、单选题
1.已知是空间的一个基底,若,则（ ）
A.是空间的一个基底
B.是空间的一个基底
C.是空间的一个基底
D.与中的任何一个都不能构成空间的一个基底
2.若为空间不同的四点,则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020辽宁铁岭高中测试)已知向量,向量,且满足向量,则等于（ ）
A.1
B.
C.2
D.
4.已知向量,向量,分别是直线的方向向量.若,则（ ）.
A.
B.
C.
D.
5.已知向量是一组单位正交向量,,则（ ）
A.7
B.
C.28
D.11
6.(2020丹东一中月考)已知二面角的大小为,为异面直线,且,则所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.(2020山东东营一中模拟)已知向量.若三个向量共面,则实数等于（ ）
A.
B.
C.
D.
8.(2020盐城一中月考)定义.若向量,,向量为单位向量,则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.已知点是平行四边形所在的平面外一点,如果.下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.是平面的一个法向量
D.
10.已知为正方体,下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C.向量与向量的夹角是
D.正方体的体积为
11.如图,在正方体中,点是棱的中点是线段上的一个动点.以下四个命题正确的为（ ）
A.异面直线与夹角为定值
B.异面直线与所成的角是定值
C.三棱锥的体积是定值
D.直线与平面所成的角是定值
12.(2019浙江高考改编)设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点）.记直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,则大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13.(2020山东日照实验高中模拟)如图,在长方体中,,点是与的交点,则点的坐标是_____.
14.(2020天津七校高二期末)在正四面体中,棱长为2,且是棱的中点,则的值为_____.
15.（2020沈阳一中月考）在长方体中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离为_____.
16.(2020泰安19中期中）如图,正三棱柱的各棱长都是分别是的中点,则的长是_____与平面夹角的余弦值为_____.
四、解答题
17.(2020东北育才中学月考）已知空间三点,,设.若与垂直,求满足的关系式.
18.（2020郑州模块统考)如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱,底面是正方形,,且.
（1）设,试用表示;
（2）已知为四棱柱的中心,求的长.
19.(2020浙江丽水高二期末)如图已知,两两垂直,为的中点,点在上,.
（1）求的长;
（2）若点在线段上,设,当时,求实数的值.
20.（2020昆明五月模拟）如图,三棱柱中,.
（1）证明:;
（2）若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
21.(2020北京四中模拟)如图,已知平面为等边三角形.
（1）若平面平面,求的长度;
（2）求直线与平面所成角的取值范围
22.（2020辽宁省实验中学模拟）在四棱锥中,底面,底面是正方形,点是棱上异于点的点.
（1）求证:;
（2）若二面角的大小为,试确定点的位置.
《空间向量与立体几何》综合测试答案
一、单选题
1.已知是空间的一个基底,若,则（ ）
A.是空间的一个基底
B.是空间的一个基底
C.是空间的一个基底
D.与中的任何一个都不能构成空间的一个基底
答案：C
解析:假设，其中，即, ,这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一个基底，故选C.
2.若为空间不同的四点,则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析:A中,原式,不一定为中,原式中,原式中式故进A.
3.(2020辽宁铁岭高中测试)已知向量,向量,且满足向量,则等于（ ）
A.1
B.
C.2
D.
答案：D
解折：由题意可得，，从而可得故选D.
4.已知向量,向量,分别是直线的方向向量.若,则（ ）.
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析:由题意可知，，所以，解得.故选D.
5.已知向量是一组单位正交向量,,则（ ）
A.7
B.
C.28
D.11
答案：C
解析:因为，所以.
6.(2020丹东一中月考)已知二面角的大小为,为异面直线,且,则所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：设的方向向量分别为.由知分别是平面的法向量.因为,所以或.因为两异面直线所成的角的范围为，所以异面直线所成的角为.
7.(2020山东东营一中模拟)已知向量.若三个向量共面,则实数等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由题意,得,所以解得故选D.
8.(2020盐城一中月考)定义.若向量,,向量为单位向量,则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:因为,设,所以.又,所以,所以.故选B.
二、多选题
9.已知点是平行四边形所在的平面外一点,如果.下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.是平面的一个法向量
D.
答案：ABC
解析：对于,所以,即正确;对于,所以,即,正确;对于,由,且,得出是平面的一个法向量,正确;对于,由是平面的法向量,得出,则错误.故选ABC.
10.已知为正方体,下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C.向量与向量的夹角是
D.正方体的体积为
答案：AB
解析：由向量的加法得到:,因为,所以,所以正确;因为,所以,故正确;因为是等边三角形,所以,又,所以异面直线与所成的角为,但是向量与向量的夹角是,故不正确;因为,所以,故.,因此不正确.故选AB.
11.如图,在正方体中,点是棱的中点是线段上的一个动点.以下四个命题正确的为（ ）
A.异面直线与夹角为定值
B.异面直线与所成的角是定值
C.三棱锥的体积是定值
D.直线与平面所成的角是定值
答案：BC
解析：以点为坐标原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得,,设,可得,,可得,故异面直线与所成的角是定值,故正确.
三棱锥的底面的面积为定值,且,点是线段上的一个动点,可得点到底面的距离为定值,故三棱锥的体积是定值,即三棱锥的体积为定值,故正确;易得,可得平面的一个法向量为,可得不为定值,故错误.
12.(2019浙江高考改编)设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点）.记直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,则大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：AC
解析：过作直线,过作底面的垂线，为垂足，过作⊥于，过⊥于，连接，，，.由题意可知，二面角的大小与二面角的大小相等，结合空间角的定义知,在与中,由得,所以均为锐角).故正确,错误;在与中,由得,所以均为锐角).故正确;由于不存在的可能,故错误.
三、填空题
13.(2020山东日照实验高中模拟)如图,在长方体中,,点是与的交点,则点的坐标是_____.
13.
答案：
解析：由题意易得,点是线段的中点,所以点.
14.(2020天津七校高二期末)在正四面体中,棱长为2,且是棱的中点,则的值为_____.
答案：
解析：由题意,设,建立空间的一个基底,在正四面体中,,
所以
.
15.（2020沈阳一中月考）在长方体中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离为_____.
答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
则.
设平面的法向量为,
则即
令,得.
所以到平面的距离.
16.(2020泰安19中期中）如图,正三棱柱的各棱长都是分别是的中点,则的长是_____与平面夹角的余弦值为_____.
答案：
解析：取的中点,连接.以为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,所以，,则,国.因为平面的一个法向量为,设与平面的夹角为,则,故.
四、解答题
17.(2020东北育才中学月考）已知空间三点,,设.若与垂直,求满足的关系式.
答案：见解析
解析：由于,则.由于与垂直,则,即有
,即,化简可得.故满足的关系式为.
18.（2020郑州模块统考)如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱,底面是正方形,,且.
（1）设,试用表示;
（2）已知为四棱柱的中心,求的长.
答案：见解析
解析：（1）由,得,所以.
（2）为四棱柱的中心,即为线段的中点.由已知条件得,,
由（1）得,则
.
所以的长为,所以的长为.
19.(2020浙江丽水高二期末)如图已知,两两垂直,为的中点,点在上,.
（1）求的长;
（2）若点在线段上,设,当时,求实数的值.
答案：见解析
解析：（1）以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
则,,故
（2）设,
由题意得,即,
所以解得
所以.
因为,所以,
所以,所以.
20.（2020昆明五月模拟）如图,三棱柱中,.
（1）证明:;
（2）若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
答案：见解析
解析：如图,取的中点,连接,因为,所以.由于,故为等边三角形,所以.
因为,所以平面.
又平面,故.
（2）由知.
又平面平面,交线为,所以平面.故两两相互垂直.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系设,则由题设知,.
则.
设是平面的一个法向量,
则即可取.
故.
所以与平面所成角的正弦值为.
21.(2020北京四中模拟)如图,已知平面为等边三角形.
（1）若平面平面,求的长度;
（2）求直线与平面所成角的取值范围
答案：见解析
解析：设,取中点,连接.
以为坐标原点,射线的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,.
所以.
易知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为,
则即
令,则,可得.
又,所以,解得,
所以的长度为2.
（2）由（1）可知平面的一个法向量,.
设直线与平面所成的角为,
则,
所以,所以.
即直线与平面所成角的取值范围为.
22.（2020辽宁省实验中学模拟）在四棱锥中,底面,底面是正方形,点是棱上异于点的点.
（1）求证:;
（2）若二面角的大小为,试确定点的位置.
答案：见解析
解析：（1）如图,建立空间直角坐标系.
设,则.
因为点是棱上异于点的点,,
所以可设,则,且.
所以,
所以.所以.
（2）由（1）可知,显然是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为.
因为,
所以即所以令,则,所以.
因为二面角的大小为,
所以.
因为,所以,
即点是棱上满足的点.
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