人教B版高中数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元综合测评（含解析）

单元综合测评
一．单选题
1.（2020·抚顺十中月考）已知是空间的一个基底,若,,则（ )
A.是空间的一个基底
B.是空间的一个基底
C.是空间的一个基底
D. 与中的任何一个都不能构成空间的一个基底
2.若为空间不同的四点,则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C .
D.
3.（2020·辽宁铁岭高中测试）已知向量,向量,且满足向量,则等于（ ）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
4.（2020·呼铁一中模拟）已知向量,向量分别是直线的方向向量.若,则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2020·北京永定路中学检测）已知向量,,是一组单位正交向量, ,,则=（ ）
A.7
B.-20
C.28
D.11
6.（2020·丹东一中月考）已知二面角的大小为, 为异面直线,且,,则所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.(2020·山东东营一中模拟）已知向量,.若三个向量共面,则实数等于（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2020·盐城一中月考）定义.若向量,向量为单位向量,则的取值范围是（ ）
A.[0,6]
B.[6,12]
C.[0,6）
D.(-1,5)
二、多选题
9.已知点是平行四边形所在的平面外一点,如果,.下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 是平面的一个法向量
D.
10.已知为正方体,下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C.向量与向量的夹角是60°
D.正方体的体积为
11.（2020·东北师大附中等校高三联考）如图,在正方体中,点是棱的中点,点是线段上的一个动点.以下四个命题正确的为（ ）
A.异面直线与夹角为60°
B.异面直线与所成的角是定值
C.三棱锥的体积是定值
D.直线与平面所成的角是定值
12.（2019·浙江高考改编）设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等, 是棱上的点（不含端点）.记直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,则大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13.（2020·山东日照实验高中模拟）如图,在长方体中, ,点是与的交点,则点的坐标是______.
14.（2020·天津七校高二期末）在正四面体中,棱长为2,且是棱的中点,则的值为_______.
15.（2020·沈阳一中月考）在长方体中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离为_______.
16.（2020·泰安19中期中）如图,正三棱柱的各棱长都是2, 分别是,的中点,则的长是______; 与平面夹角的余弦值为________.
四、解答题
17.（2020·东北育才中学月考）已知空间三点,,设.若与垂直,求满足的关系式.
18.（2020·郑州模块统考）如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱,底面是正方形, ,,且=60°.
（1）设,,,试用表示；
（2）已知0为四棱柱的中心,求的长.
19.（2020·浙江丽水高二期末）如图已知两两垂直, ,为的中点,点在上,
（1）求的长；
（2）若点在线段上,设,当时,求实数的值.
20.（2020·昆明五月模拟）如图,三棱柱中, ,,=60°.
（1）证明：；
（2）若平面⊥平面,,求直线与平面所成角的正弦值.
21.（2020·北京四中模拟）如图,已知平面,,,为等边三角形.
（1）若平面平面,求的长度；
（2）求直线与平面所成角的取值范围.
22.（2020·辽宁省实验中学模拟）如图,在四棱锥中, 底面,,底面是正方形,点是棱上异于点的点.
（1）求证：；
（2）若二面角的大小为60°,试确定点的位置.
参考答案
1.
答案：C
解析：假设,其中,即,得,这与是空间的一个基底矛盾,故是空间的一个基底,故选C.
2.
答案：A
解析： A中,原式,不一定为;B中,原式; C中,原式；D中,原式.故选A
3.
答案：D
解析：由题意可得,,从而可得.故选D
4.
答案：D
解析：由题意可知,,所以,解得,.故选D.
5.
答案：C
解析：因为,所以.
6.
答案：B
解析：设的方向向量分别为.
由知分别是平面a,B的法向量.
因为,
所以或.
因为两异面直线所成的角的范围为,
所以异面直线所成的角为.
7.
答案：D
解析：由题意,得,所以
解得,故选D.
8.
答案：B
解析：本题在新定义的背景下考查空间向量的概念、数量积及坐标运算.因为,,设,所以. 又,所以,所以.故选B.
9.
答案：ABC
解析：对于A,,所以,即,A正确；对于B,,所以,即, B正确；对于C,由,且,得出是平面的一个法向量,C正确；对于D,由是平面的法向量,得出,则D错误.故选ABC
10.
答案：AB
解析：由向量的加法得到：,因为,所以,所以A正确；因为,,所以,故B正确；因为是等边三角形,所以=60°,又,所以异面直线与所成的角为60°,但是向量与向量的夹角是120°,故C不正确；因为,所以,故,因此D不正确.故选AB.
11.
答案：BC
解析：以点为坐标原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得 , ,设,可得, ,可得,故异面直线与所成的角是定值,故B正确.
三棱锥的底面的面积为定值,且,点是线段上的一个动点,可得点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值,即三棱锥的体积为定值,故C正确；易得,,,可得平面的一个法向量为,可得不为定值,故D错误.
12.
答案：AC
解析：过作直线,过作底面的垂线,为垂足,过作于,过于,连接.由题意可知,二面角
的大小与二面角的大小相等,结合空间角的定义知,在与中,由得,所以（均为锐角）.故A正确,B错误；在与中,由得,所以（均为锐角）.故C正确；由于不存在的可能,故D错误.
13.
答案：
解析：由题意易得,点是线段的中点,所以点
14.
答案：
解析：由题意,设,建立空间的一个基底,在正四面体中,,,
所以
15.
答案：
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
则.
设平面的法向量为,
则即
令,得.所以到平面的距离
16.
答案：
解析： 取的中点,连接.以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,,所以,,则,
故.因为平面的一个法向量为,设与平面的夹角为,则,故 .
17.
答案：见解析
解析：由于,则,,.由于与垂直,
则,
即有,
即,
化简可得.故满足的关系式为
18.
答案：见解析
解析：（1）由,得,所以.
（2）为四棱柱的中心,即为线段的中点.由已知条件得
由（1）得,则
所以的长为,所以的长为.
19.
答案：见解析
解析：（1）以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
则,,,故.
（2）设,由题意得,即
所以解得
所以,
因为,所以,
所以,所以.
20.
答案：见解析
解析：（1）如图,取的中点,连接.
因为,所以.
由于,=60°,故为等边三角形,所以.
因为,所以平面.
又平面,故
（2）由（1）知,.
又平面平面,交线为,所以平面
故两两相互垂直.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则由题设知,则设是平面的一个法向量,
则即可取
故
所以与平面所成角的正弦值为.
21.
答案：见解析
解析：（1）设,取中点,连接.
以为坐标原点,射线的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,.
所以
易知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为,
则即
令,则,可得
又,所以,解得,
所以的长度为2.
（2）由（1）可知平面的一个法向量
.
设直线与平面所成的角为,
则
所以,所以
即直线与平面所成角的取值范围为.
22.
答案：见解析
解析：（1）如图,建立空间直角坐标系.
设,则.
因为点是棱上异于点的点,
所以可设,则,且.
所以
所以.所以
（2）由（1）可知,显然是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为.
因为
所以即所以令则,
所以.因为二面角的大小为60°
所以
因为,所以
即点是棱上满足的点.
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