安徽省蚌埠二中2006-2007学年第一学期期末学科竞赛高一数学试题[上学期]

蚌埠二中2006-2007学年第一学期期末学科竞赛
高 一 数 学 试 题
（本试卷满分150分，用时120分钟）
一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）
1、若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为 （ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知的小数部分为a，则的小数部分为 （ ）
A、的小数部分 B、的小数部分
C、的小数部分 D、以上都不正确
3、过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直
线共有 （ ）
A、0条 B、1条 C、4条 D、无数多条
4、已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有 （ ）
A、67个　　　　 B、68个　　　　 C、69个　　　　　 D、70个
5、已知P 为直线y = x + 1 上的一点,M、N 分别为圆C1: ( x - 4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : x2 + ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则| PM| -| PN| 的最大值为 （ ）
A、 4 B、 5 C、 6 D、 7
6、在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2
个点，则n的最小值是 （ ）
A、17 B、16 C、11 D、10
二、填空题（本题共8个小题，每小题5分，满分40分）
7、已知函数，设，，，其中0么x、y、z的大小顺序为_________。
8、已知实数x、y满足，则_____．
9、用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，则等于
10、若关于x的方程有正数解，则实数a的取值范围为__________。
11、已知集合A={(x，y)| x2+y22xcos+2(1+sin)(1y)=0，∈R}，B={(x，y)| y=kx+3，k∈R}．若A∩B为单元素集，则k=______.
12、对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1（n∈N＋）时，规定[x]＝n，则不等式
的解集为　　　　　.
13、在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝，有一个点D使得AD平分BC并且
∠ADB是直角，比值能写成的形式，这里m,n是互质的正整数，则m＋n＝　.
14、对任意实数x、y．定义运算x*y 为：x*y=ax+by+cxy 其中a、b、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x*d=x，则d=____________．
三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分8 0分，解答应写出文字说明，演算步骤
或证明过程）
15、设a＞0，函数 f : (0，＋∞) → R满足f（a）＝1．如果对任意正实数x，y 有
， ①
求证： f（x）为常数．
16、如图,四边形内接于圆,是的中点,,,,是线段和的交点,求证:.
17、已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）对任意的正数、，求证：．
18、8个人参加一次聚会.
(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证：可以从中找出4个人两两认识；
(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识
参考答案：
一、选择题（本题共6个小题，每小题6分满分36分）
1、若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为（ D ）
A. B. C. D.
2、已知的小数部分为a，则的小数部分为
A、的小数部分 B、的小数部分
C、的小数部分 D、以上都不正确
3、过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直
线共有(C )
(A)0条 (B)1条 (C)4条 (D)无数多条
4、已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有（ ）
（A）67个　　　　（B）68个　　　　（C）69个　　　　　（D）70个
5、已知P 为直线y = x + 1 上的一点,M、N 分别为圆C1: ( x - 4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : x2 + ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则| PM| -| PN| 的最大值为 （ C ）
A、 4 B、 5 C、 6 D、 7
5、设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（ ）
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．既有最大值又有最小值，两者不等 D．是一个与面QPS无关的常数
5、设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。
6、在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[ ]
A.17 B.16 C.11 D.10
解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，4>2(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.
如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是.
借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.
故n的最小值是11，所以选(C).
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）
7、已知函数，设，，，其中0么x、y、z的大小顺序为____ x>y>z _____。
8、已知实数x、y满足，则_____．
9、用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，则等于
10、若关于x的方程有正数解，则实数a的取值范围为__(－2，0]__。
11、已知集合A={(x，y)| x2+y22xcos+2(1+sin)(1y)=0，∈R}，B={(x，y)| y=kx+3，k∈R}．若A∩B为单元素集，则k=______.
12、对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1（n∈N＋）时，规定[x]＝n，则不等式
的解集为　　　　　
12、解得，故　所以
13、在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝，有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角，比值能写成的形式，这里m,n是互质的正整数，则
m＋n＝　　　　
13、设BC中点为E，AD＝，由中线公式得AE＝
　　故，
　　＝　　所以m＋n＝27＋38＝65
14、对任意实数x、y．定义运算x*y 为：x*y=ax+by+cxy 其中a、b、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x*d=x，则d=____________．
【题说】1985 年全国联赛一试题 2(4)．原题为填空题．
【解】由所设条件，有
1*2=a+2b+2c=3(1)
2*3=2a+3b+6c=4(2)
x*d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x(3)
由(3)得
a+cd=1(4)
bd=0(5)
因d≠0，故由(5)式得b=0．再解方程(1)及(2)，得a=5，c=-1，最
后由(4)式得d=4．
三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分8 0分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15、设a＞0，函数 f : (0，＋∞) → R满足f（a）＝1．如果对任意正实数x，y 有
， ①
求证： f（x）为常数．
（朱华伟提供）
证：
在①中令x＝y＝1，得
f2（1）＋f2（a）＝2 f（1），
（f（1）－1）2＝0，　∴　f（1）＝1。
在①中令y＝1，得
f（x）f（1）＋f（）f（a）＝2 f（x），
f（x）＝f（），x＞0。 ②
在①中取y＝，得
f（x）f（）＋f（）f（x）＝2 f（a），
f（x）f（）＝1。 ③
由②，③得：f2（x）＝1，x＞0。
在①中取x＝y＝，得
f2（）＋f2（）＝2 f（t），
∴　 f（t）＞0。
故f（x）＝1，x＞0。
14.(20分)如图,四边形内接于圆,是的中点,,,,是线段和的交点,求证:.
证:作⊥,⊥(为垂足)
则.设PG∩＝k,因共圆,.
故∥⊥是的中点.(因△为等腰三角形),为平行四边形,(因P、E、K、F为四边形各边中点)..(对角线互相平分).
17、已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）对任意的正数、，求证：．
（13）【解】（Ⅰ）由书籍，根据韦达容不得有，
，
，
∴ 　　　　………………………………………5分
（Ⅱ）已知函数，∴
而且对，，于是，
∴函数在上是增函数　　　……………………………………………10分
注意到对于任意的正数、
，
即，同理．　　　　………………………15分
∴，，
．
于是，
∴．
而，
∴．　　　……………………………………20分
16、8个人参加一次聚会.
(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证：可以从中找出4个人两两认识；
(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识
（苏 淳提供）
解法1：
(1) 用8个点表示8个人，相识二人之间连一线段。按图论语言，这些点称为图的顶点，线段称为图的边。
按照题意，该图的每个5点子图中均有一个三角形，而每个三角形属于＝＝10个不同的5点子图。我们知道，这些三角形共有
3＝3×56＝168
条边，其中每条边至多被重复计算了10次。这样一来，即知：每个顶点至少连出
条边。所以存在一个顶点A，由它至少连出5条边。
假设由顶点A有边连向B，C，D，E，F这5个顶点，而由题意在这5个点中又存在一个三角形，不妨设为△BCD。于是A，B，C，D这4个点中的任何二点之间均有连线，所以它们所代表的4个人两两认识。
(2) 如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为:
在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.
解法2：
(1)分情形讨论.
情形(i)如果存在3个人两两互不认识. 那么其余5个人必然两两都认识. 因若不然, 假如他们之中有二人互不认识, 则在他们与原来的3个人一起构成的5人组中就找不出3个人两两认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立.
情形(ii)在剩下的情形中, 任何3人中, 都有某两个人相互认识.
(a)如果8个人中有1个人A至多认识3个人, 那么他至少不认识4个人. 显然这4个人中的任何二人都彼此认识. 因若不然, 这两个人与A一起构成的3人组中就没有二人互相认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立.
(b)如果存在1个人A至少认识5个人. 那么这5个人中有3个人两两彼此认识, 他们又都认识A, 所以他们与A一起即为所求之4人.
情形(iii)只需再考虑每个人都恰好有4个熟人, 并且任何3人中都有两人相互认识的情形.
任取其中一人A. 假如A的4个熟人两两认识, 那么他们即为所求. 否则, 其中就有B,C二人互不认识. 易知, 此时A有3个不认识的人F,G.,H, 而这3个人中的任何两人都与A构成3人组, 所以F,G.,H中的任何两人都相互认识. 如果B,C之一与F,G.,H中的每个人都彼此认识,那么此人与F,G.,H一起构成所求的4人组. 否则, B,C二人分别不认识F,G.,H中的一个人. 易知, B和C不可能不认识他们中的同一个人, 否则该人与B,C所成的3人组中任何二人均互不认识, 导致矛盾. 这就表明, B和C分别不认识F,G.,H中的两个不同的人, 不妨设B不认识F, 而C不认识G. 现在把B,F,A,G,C依次排在一个圆周上, 于是任何两个相邻放置的人都互不认识. 然而他们中的任何三个人中都一定有在圆周上相邻的两个人, 从而在他们之中找不到3个人两两认识, 导致矛盾, 所以这种情况不可能存在.
综合上述, 在一切可能的情况下, 都能找出4个人两两都彼此认识.
(2) 如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为:
在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.
D
B
C
A
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