6.3.1平面向量的基本定理 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
平面向量基本定理及坐标表示
（第一课时）
平面向量基本定理
一、引 入
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线,
P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一
点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？
O
A
B
C
P
N
M
O
A
B
C
M
N
O
A
B
C
M
N
思考2：在上图中，设 =e1， =e2， =a,
则向量 分别与e1，e2的关系如何？
从而向量a与e1，e2的关系如何？
O
A
B
C
M
N
O
A
B
C
M
N
思考3：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且
e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？
是否唯一？
思考4：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1
＋λ2e2表示吗？
e1
a
e2
a
a=λ1e1+0e2
a=0e1+λ2e2
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考5：上述定理称为平面向量基本定理，不共
线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底.那么同一平面内可以作基底的
向量有多少组？不同基底对应向量a的表示
式是否相同？
平面向量基本定理
1、基底不唯一，关键是不共线.
3、基底给定时，分解形式唯一.
2、由定理可将任一向量 在给出基底 的条件下进行分解.
注意
例1 如图，在平行四边形ABCD中， =a， =b,
E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且
BC=3BF,以a,b为基底分别表示向量 和 .
A
B
E
D
C
F
M
课堂典例
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两
个非零向量a和b，作 a， b,如图.
为了反映这两个向量的位置关系,称∠AOB
为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的
取值范围应如何约定为宜？
b
a
a
b
A
B
O
[0°，180°]
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量
a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量
能否作为平面内所有向量的一组基底？
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向
量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、
j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i
的夹角是30°，且|a|=4,以向量i、j为基
底，向量a如何表示？
B
A
P
i
O
a
j
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y
轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本
定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴
上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,上式叫做
向量的坐标表示.
那么x、y的几何
意义如何？
x
y
a
x
y
O
j
i
思考5：相等向量的坐标必然相等,作向量 a,
则 (x，y)，此时点A的坐标是什么？
A
A(x,y)
a
i
x
y
O
j
例4 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
2
4
5
2
a
b
c
d
－4
－2
－5
－2
x
y
O
b=(-2,3)
c=(-2,-3)
a=(2,3)
d=(2,-3)
例5. 已知非零向量 不共线.
课堂小结
1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数
乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应
关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点
平移到坐标原点,则平移后向量的终点坐标就是
向量的坐标.