人教B版高中数学选择性必修第一册 2.1 坐标法 课时作业（含答案）

课时分层作业(九)　坐标法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为(　　)
A．2　　　B．－3　　　C．5　　　D．3或－5
2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5　　 　 B．－1　　 　
C．1　　　 D．－5
3．已知A(－3,5)，B(2,15)，则|AB|＝(　　)
A．5 B．5
C．5 D．5
4．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝(　　)
A．2 B．4
C． D．
5．已知A(x,5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为(　　)
A．4 B．
C． D．
二、填空题
6．在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________．
7．若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________．
8．在△ABC中，设A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．
三、解答题
9．已知A(1,2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？
10．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．
11．(多选题)已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，则第四个顶点D的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(4,6)
C．(－6,0) D．(2，－2)
12．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
13．已知三角形的三个顶点A(7,8)，B(10,4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．
14．(一题两空)已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则AB边上的中线长CM＝________，△ABC的面积为________．
15．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所示．试用坐标法证明：|AE|＝|CD|．
课时分层作业(九)　坐标法答案
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为(　　)
A．2　　　B．－3　　　C．5　　　D．3或－5
D　[设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．]
2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5　　 　 B．－1　　 　
C．1　　　 D．－5
D　[易知x＝－3，y＝－2．∴x＋y＝－5．]
3．已知A(－3,5)，B(2,15)，则|AB|＝(　　)
A．5 B．5
C．5 D．5
D　[|AB|＝＝＝5．]
4．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝(　　)
A．2 B．4
C． D．
A　[由题意知，设D(x，y)，∴
∴∴D(1,7)．
∴|CD|＝＝2，故选A．]
5．已知A(x,5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为(　　)
A．4 B．
C． D．
D　[由题意知点C是线段AB的中点，
则∴∴|OP|2＝17，∴|OP|＝．]
二、填空题
6．在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________．
11　[∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，
∴x＝11．]
7．若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________．
(3．4,0)　[设点M的坐标为(x,0)，
由题意知|x|＝，
即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3．4，
故所求点M的坐标为(3．4,0)．]
8．在△ABC中，设A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．
(2，－7)或(－3，－5)　[设C(a，b)，则AC的中点为，BC的中点为，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则]
三、解答题
9．已知A(1,2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？
[解]　假设在x轴上能找到点P(x,0)，使∠APB为直角，由勾股定理可得
|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，
即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25，
化简得x2－5x＝0，
解得x＝0或x＝5．
所以在x轴上存在点P(0,0)或P(5,0)，使∠APB为直角．
10．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．
[证明]　取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，
在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，
|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，
所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．
11．(多选题)已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，则第四个顶点D的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(4,6)
C．(－6,0) D．(2，－2)
ABC　[(1)构成 ABCD，(以AC为对角线)，设D1(x1，y1)，AC的中点坐标为，其也为BD1的中点坐标，
∴＝，＝，
∴x1＝2，y1＝2，即D1(2,2)，(2)以BC为对角线构成 ACD2B，同理得D2(4,6)，(3)以AB为对角线构成 ACBD3，同理得D3(－6,0)．]
12．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[若点C在x轴上，
设C(x,0)，由∠ACB＝90°，
得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2．
若点C在y轴上，
设C(0，y)，同理可求得y＝0或y＝4，
综上，满足条件的点C有3个．故选C．]
13．已知三角形的三个顶点A(7,8)，B(10,4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．
　[设BC边的中点M的坐标为(x，y)，则即M的坐标为(6,0)，
所以|AM|＝＝．]
14．(一题两空)已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则AB边上的中线长CM＝________，△ABC的面积为________．
2　4　[∵AB的中点M的坐标为(x，y)，则即M的坐标为(2,2)，
∴|CM|＝＝2，
又|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，|BC|＝＝．
∵M(2,2)为AB的中点，|CM|＝2，
∴S△ABC＝|CM|·|AB|＝×2×2＝4．]
15．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所示．试用坐标法证明：|AE|＝|CD|．
[证明]如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系．
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(－a,0)，C(c,0)，E，D，于是由距离公式，得|AE|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－－a))\o()＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c－0))\o())＝，
同理|CD|＝，所以|AE|＝|CD|．
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