2022-2023 学年第一学期期中考试
高三数学试卷
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
班级 姓名 座号
一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小
题 5 分，共 40 分）
1．已知集合 A {x∣x(x 2) 0}，B {x∣ 1 x 2}，则( RA)∪ B =（ ）
A．[ 1, 2] B． ( 1, 2]
C． ( 1, ) D． ( ,2)
2．在数列 an 中， an 1 2an，且 a2 1，则 an （ ）
A．2n 2 B． ( 2)n 2 C． 2n 1 D． ( 2)n 1
1
3．已知在矩形 ABCD中， AE AB，线段 AC ,BD交于点O，则
3 EO
（ ）
1 1 1 1 1 1
A． AB AD B． AB AD
1 1
C． AB AD D． AB AD
2 6 6 3 3 6 6 2
4．已知 ABC的内角 A,B,C
1
所对的边分别为 a,b,c，若 sinA ,b 2sinB ，则a （ ）
3
2 3 1
A． 3 B． C．6 D．2 6
1 1
5．设 a ln 2，b 22 ， c 33，则 a，b，c的大小关系为（ ）
A．a b c B．b a c C．a c b D． c a b
6．已知 sin α
5π 2
，则 cos
π 2α
6 3
（ ）
3
A 5
1 5 1
． B． C． D．
3 9 3 9
7．若 a 0，b 0，且 a b ab，则 2a b的最小值为（ ）
A．3 2 2 B． 2 2 2 C．6 D．3 2 2
1
8．函数 f x sin πx ，则 y=f x 的图象在 2，4 内的零点之和为（ ）
x 1
A．2 B．4 C．6 D．8
高三数学试卷 第 1 页（共 4 页）
二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得 5 分，部分答对得 2 分，有错误
选项的得 0 分）
9．如果平面向量 a (2,0)，b (1,1)，那么下列结论中正确的是（ ）
a
A = 2 b
． B．a b 2 2 C ． (a b ) b D． a//b
10．在公比 q为整数的等比数列 an 中，Sn是数列 an 的前 n项和，若 a2a3 32，a2 a3 12，
则下列说法正确的是（ ）
A． q = 2 B．数列 Sn 是等比数列
C．S8 510 D．数列 lg an 是公差为 2的等差数列
11π
11．已知函数 f x sin x （ 0， π ）， f x f
2
恒成立，且 f x 的最
12
小正周期为π，则（ ）
f x sin 2x π A．
3
B． f x π 的图象关于点 ,0 对称
6
C．将 f x 5π的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图象关于 y轴对称
6
D f x ． 在 0, π
3
上单调递增
a,b,c 2 c12．已知正实数 满足 a ab 4b2 c 0，当 取最小值时，下列说法正确的是（ ）ab
A．a 4b B． c 6b2
a 3C． b c的最大值为 D． a b 3 c的最大值为
4 8
三、填空题（每题 5 分，共 20 分，把正确答案填写在答题卡相应位置上）
13．求值 3sin
5 cos 5 =______
12 12
14．已知向量 a，b夹角为 45 ，且 a 1， 2a b 10 ；则 b ______．
g x = 2
x+1 1,x>a
15．写出一个满足函数 , a2 在 上单调递增的 值_____________.
x +2x,x a
高三数学试卷 第 2 页（共 4 页）
16．已知公差不为 0的等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a4， S5， S7 5，0 ，则 Sn的最小
值为__________．
四、解答题（要求写出必要的过程，第 17 题 10 分，第 18~22 题各 12 分，共 70 分.）
17．在△ABC中，b 3c， a 6 .
(1)若 A
π
，求 c的值;
6
(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.① 3 cos B cosC ；② cos B sinC；
③B 2C .
1
18．已知数列{an}前 n项和为 S *n，满足 a1 ，且 3Sn 1 Sn 1(n N )．3
(1)求数列 an 通项公式；
(2)求 Sn .
19．已知函数 f (x)=a b，其中 a= 2cosx, 3sin2x ，b=(cosx,1)， x R．
(1)求函数 y=f (x)的单调递减区间．
(2)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， f (A)= 1，a= 7，且向量m=(3,sinB)
n 与 =(2,sinC)共线，求边长 b和 c的值．
高三数学试卷 第 3 页（共 4 页）
20．已知公差不为 0的等差数列{an}中， a1 1， a4是 a2和 a8的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在 ak 与ak 1(k 1,2, )之间插入 2k ，使它们和原数列
的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前 n项和为Tn，求T20的值.
21．已知集合M = x x 2 5x+4 0 f x 2x2，函数 ax 8．
(1)求关于 x 2的不等式 f x a 8的解集；
(2)若命题“存在 x0 M ，使得 f x0 0 ”为假命题，求实数 a的取值范围．
22．设函数 f (x) x 2 (14m 8mn 8)x m 2 ，其中m >1， n N ．
(1)若 f (x)为偶函数，求 n的值；
(2)若对于每个 n N ， f (x)存在零点，求m的取值范围．
高三数学试卷 第 4 页（共 4 页）福州市三校2022-2023学年高三上学期期中联考
数学参考答案及评分标准
1．B
2．B
∵，∴，．是公比为的等比数列，
∴．
故选：B．
3．D
依题意得，结合图形有：.
故选：D
4．A
由正弦定理，整理得
故选：A．
5．A
，而，所以；
又，
令，
而函数在上递增
故选：A
6．D
.
故选：D
7．A
因为，，且，
所以，
所以，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
故选：A.
8．B
由可得，
则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，
又函数与函数的图象都关于点对称，
作出函数与函数的大致图象，
由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．
故选：B.
9．AC
由平面向量，知：
在中，，，∴，故正确；
在中，，故错误；
在中，，∴，∴，故正确；
在中，∵，∴与不平行，故错误.
故选：A.
10．AC
∵在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，，，
解得，，∴，或者，，∴，不符合题意，舍去，故A正确，
，则，
常数，
∴数列不是等比数列，故B不正确；
，故C正确；
∵，∴，，
∴数列不是公差为2的等差数列，故D错误，
故选：AC
11．ABD
∵，∴．依题意得，
∴，且，∴，
即，则A正确；
令，即，当时，对称中心为，
则B正确；
将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象不关于y轴对称，则C错误；
∵，∴，所以在上单调递增，则D正确．
故选：ABD.
12．BD
对于A，由，则，当且仅当时，等号成立，故A错误，
对于B，当取最小值时，，则，故B正确；
对于C、D，，当且仅当，，，等号成立，故，故C错误，D正确.
故选：BD.
13．.
．
故答案为：.
14．
∵，
∴==10，
代入数据可得4×1+4×1××+=10，
化简可得+﹣6=0，
解得=，或﹣3（负数舍去）
故答案为
15．
因为，
当时在定义域上单调递增，
当时，
画出，的图象如下所示：
要使函数在上单调递增，
由图可知当时均可满足函数在上单调递增；
故答案为：（答案不唯一）
16．
当时，，所以，又，所以，
所以，，故，
令，则，
所以的最小值为．
当，，不合题意．
综上所述：，，，的最小值为．
故答案为：．
17．（1）
由题意得，
即，得，-------4
（2）
选条件①，由正弦定理得，-----5
而，化简得，-----6
而，则，，---8
故，由勾股定理得，解得，------9
，-------10
选条件②，，而，则，------7
故，由勾股定理得，解得，------9
，------10
选条件③，由正弦定理得，
而，则，得，，-----7
故，，，由勾股定理得，解得，----9
，-----10
18．（1）
解：因为①
所以当时，得②------2
则①-②得：-----3
即，即-------4
又当时，，所以，其中
所以，则-------6
故数列是以为首项，为公比的等比数列-----7
所以.------8
（2）解：由（1）可得.---------12
19．（1）-------1
，-----------3
由题意有，-----4
解得------5
所以单调递减区间为；-------6
（2）
，-------7
，-------8
，---------9
与向量共线，
，--------10
.--------12
20．（1）
设数列的公差为，因为是和的等比中项，
则且-----3
则或（舍）-----4
则，
即通项公式-------6
（2）
因为与（，2，…）之间插入，
所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以------------12
21．（1）因为，且，
所以即，--------2
因为的实数根为或，
当时，此时，所以不等式的解集为；---------3
当时，此时，所以不等式的解集为或；-------4
当时，此时，所以不等式的解集为或；-------5
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；----------6
（2）
因为，-----------7
所以命题“存在，使得”的否定为命题“任意，使得”是真命题，---------8
所以可整理成，
令，则，--------9
因为，
当且仅当即时，取等号，----------11
则，故实数的取值范围---------12
22．（1）为偶函数，
，-------1
．-----------2
，
，
，--------3
即．
又，
．-----------5
（2）
由题意，得．-----6
当时，，
，
又，
．-------7
当时，或．-------8
①当时，
，
只能取2，舍去--------9
②当时，
，---------10
从开始讨论：令，由于单调递减，故只需．
综上所述，的取值范围是------------12
