“通讯杯”高一卷数学竞赛预选赛[下学期]

“通讯杯”数学竞赛预选赛
高一卷
一 选择题（每小题仅有一个选项正确，每小题6分，共60分）。
1 已知A={x|y=x2-2x-1}，B={y|y=x2-2x+1}，C={x|x2-2x+1=0}，D={x|x2-2x+1<0}，E={(x,y)|y=x2-2x+1}，F={(x,y)|x2-2x+1=0,y∈R}，则下列结论中正确的是（ ）
A. ABCD B. DCBA C. E=F D. A=B=E
2 已知函数f(x)=x2+ax-3a-9，若对于任意实数x，恒有
f(x)≥0，则f(x)的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3 一个退休工人每年获得一份退休金，金额与他服务的年数的平方根成正比，如果多服务a年，他的退休金会比原来的多p元，如果多服务b年（b≠a），他的退休金比原来的多q元，则他每年的退休金是（用a、b、p、q表示）（ ）
A. B. C. D.
4 若f(sinx)=sin2x，则f(cos105°)=( )
A. B. C. - D. -
5 设函数，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ ）
A. （-1，1） 　 B. （-1，+∞）
C. （-∞，-2）∪（0，+∞） D. （-∞，-1）∪（1，+∞）
6 设数列{an}，，其中a、b、c均为正数，那么an与an-1的大小关系是（ ）
A. an>an-1 B. an7对于函数，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 该函数值域为[-1，1]
B. 当且仅当时，该函数取得最大值1
C. 该函数是以π为最小正周期的周期函数
D. 当且仅当时，f(x)<0
8 若0<2α<90°<β<180°,a=(sinα)cosβ，b=(cosα)sinβ，c=(cosα)cosβ则
A. a>c>b B. a>b>c C. b>a>c D. c>a>b
9 将正奇数1，3，5，7，…排成五列（如下表），按此表的格式排下列正奇数，2005所在的那列，从左边数起是（ ）
A. 第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… …
10 已知△ABC的三边长a，b，c满足关系式a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，则△ABC最大内角的度数是（ ）
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二 填空题（每小题6分，共36分）
11 设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为常数，如果f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，那么的值为 。
12 方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。若函数有唯一不动点，且x1=1000，，n=1,2,3…，则x2004= 。
13 一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎。我们遇到该国居民A、B、C。A说，“如果C是骑士，那么B是无赖。”C说，“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖。”这三个人中，谁是骑士，谁是无赖？答： 。
14 某邮局现有邮票0.6元、0.8元、1.1元的三种面值的邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票面数最少，且资费恰为7.50元，则至少要购买 邮票。
15 定义在R上的函数y=f(x)具有下列性质：①f(-x)=f(x)；②f(x+1)f(x)=1；③f(x)在[0，1]上为增函数。则对于下述命题：
（a） y=f(x)为周期函数，且最小正周期为4；
（b） y=f(x)的图象关于y同对称，且对称轴只有一条；
（c） y=f(x)在[3，4]上为减函数。
其中正确命题的序号为 。
16 已知数列{xn}满足x1=2，x2=1，x3=0，x4=-1，x5=-2，且，则{xn}是 。
① 递增数列 ② 周期数列 ③ 等比数列 ④ 等差数列
三 解答题（每大题18分，共54分）
17 已知函数f(x)=x|x-a|（a∈R）
（1）判断f(x)的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f(x)≥2a2；
（3）写出f(x)的单调区间。
18 某种商品进价80元，零售价每个100元，为了促进销售，可采取买一个这种商品赠送一个小礼品的办法。实践表明：礼品价值为一元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值每增加1元时，商品销售量增加10%，未赠礼品时销售量为m件。
（1）写出礼品价值n元时，利润yn（元）与n的函数关系式；
（2）请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润（注：利润=（零售价-商品进价-礼品价格）×销售量）。
19 设，。
（1）证明：介于a1、a2之间；
（2）a1、a2中哪一个更接近于；
（3）根据以上事实，设计出一种求近似值的方案，并说明理由。