2023年春季湘教版数学九年级下册第一章 《二次函数》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·绍兴）关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
2．（2020·绥化）将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·衢州）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
4．（2022·黄石）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022·兰州）已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·朝阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）
D．﹣1＜a＜﹣
7．（2022·鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2022·随州）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线.则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则.正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022·宜宾）已知抛物线的图象与轴交于点、，若以为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒.
12．（2022·六盘水）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ．
13．（2022·盐城）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
14．（2022·福建）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
15．（2022·徐州）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
16．（2021·包头）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当 的值最小时， 的面积为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
18．（2022·朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
19．（2022·潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
（1） [观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
（2）[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
（3）[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．
20．（2022·资阳）如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．
（1）求证：；
（2）当点E为的中点时，求的长；
（3）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
21．（2022·青海）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
图1 图2
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
22．（2022·通辽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
23．（2022·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（2022·济宁）已知抛物线与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），
∴函数有最小值为6.
故答案为：D.
【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 向左平移3个单位长度，得到 ，
再向下平移2个单位长度，得到 ，
整理得 ，
故答案为：C．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
3．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a；当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用抛物线的对称轴可用含a的代数式表示出b，可得到b的取值范围，抛物线与y轴交于负半轴，可得到c的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；利用二次函数的最值，可知当x=-1时函数值最小，可对②作出判断；利用图象经过点（1，3），可得到c=3-3a，可将方程转化为ax2+2ax-3a=0，利用因式分解法求出方程的解，根据抛物线的对称轴，即可求出抛物线与直线y=3的另一个交点为（-3，3），将x1=-3，x2=1代入可对③作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大.
故答案为：B.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式可得y=2(x-1)2+3，由于二次项系数a=2＞0，图象开口向上，对称轴直线是x=1，故在对称轴右侧函数值y随x的增大而增大，据此即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数），不符合题意；
D．∵-=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据函数图象，利用二次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的开口方向向下可知a＜0，据此判断①；根据顶点P的坐标结合对称轴方程可得b=-2a，结合a的符号可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得c＞0，据此判断②；根据点A在二次函数图象上可判断③；根据顶点P的坐标以及开口方向可判断④；at2+bt-(a+b)=at2-2at-a+2a=a(t-1)2，结合a的符号可判断⑤.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，图象开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3，0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
则②③④正确，
故答案为：C.
【分析】观察抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围，抛物线与y轴的交点位置，可以确定出c的取值范围，根据对称轴的位置：左同右异，结合a的值，可确定出b的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴为直线，可对②作出判断；利用函数与x轴交点为（﹣1，0）及其对称轴，可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，因此设y=a（x+1）（x-3），将函数解析式转化为顶点式，可得到函数的最大值，可对③作出判断；将方程变形为ax2+bx+c-a-1=0，要使方程无实数根，可知b2-4ac＜0，再由c=-3a，b=-2a，代入可求出a的取值范围，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；偶次方的非负性；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：把A（-2，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+c
，
解得，
抛物线的解析式为：，
设为轴下方的抛物线上的点，则，
设C为AB的中点，则，
以AB为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，
，即，
，
，
或，
以AB为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，
抛物线开口向上，即，
，
，即，
.
故答案为：A.
【分析】把A（-2，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+c中表示出b、c，可得y=a(x-1)2-9a，
设P（t，a(t-1)2-9a）为x轴下方的抛物线上的点，根据中点坐标公式可得C（1，0），由题意可得CP≥AB≥3，结合两点间距离公式可表示出a，根据根据偶次幂的非负性可得a的范围.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确.
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误.
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：
设y1＝ax2+bx+c，，
由图知，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据x=1对应的函数值为负可判断②；根据抛物线与x轴的交点坐标结合对称轴方程可得，当时，b>-3a，当x=2时，y=4a+2b+c=0，则b=-2a-c，根据b>-3a可判断③；设y1＝ax2+bx+c，y2=+c，结合图象可判断④.
11．【答案】1.25
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒.
故答案为：1.25.
【分析】由题意得，先将函数解析式根据公式y=ax2+bx+c=a(x+)2+化为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
12．【答案】-4
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴设抛物线的解析式为y=（x+1）2+k，
∵抛物线经过点（-3，0），
∴4+k=0
解之：k=-4，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）2-4，
∵a=1＞0，抛物线的开口向上，
∴当x=-1时y的最小值为-4.
故答案为：-4.
【分析】观察图象可知抛物线的对称轴为直线x=-1，因此设抛物线的解析式为y=（x+1）2+k，将点（-3，0），代入求出k的值，可得到函数解析式；再利用二次函数的性质，可得到该函数的最小值.
13．【答案】1≤n＜10
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：点P到y轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为1≤n＜10.
故答案为：1≤n＜10.
【分析】根据一个点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值可得-214．【答案】8
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8.
故答案为：8.
【分析】把y=0代入y=x2+2x-n中可得x2+2x-n=0，利用公式法表示出x1、x2，同理表示出x3、x4，根据AD=2BC可得AD2=4BC2，即(x1-x4)2=4(x2-x3)2，代入化简可得，然后利用换元法进行求解即可.
15．【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得其开口方向、对称轴以及顶点坐标，根据顶点坐标可得顶点到x轴的距离为4，据此不难求出m的值.
16．【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可求出 ，
抛物线 的对称轴为： ，
根据函数对称关系，点B关于 的对称点为点A，
连接AD与 交于点E，
此时 的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点C作 的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于 与梯形ACHG的面积和，
即 ，
则 S四边形ACHE- ，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出 ，最后利用面积公式求解即可。
17．【答案】（1）解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设 ，
∵ 经过点(0， )，
∴
解得∶
∴ ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数 ，当y=0时，有
∴ ，
解得∶ ， (舍去)，
∵ >6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可设y=a(x-3)2+3，将(0，)代入求出a的值，据此可得y关于x的函数表达式；
（2）令y=0，求出x的值，然后与6.70进行比较即可判断.
18．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为2050．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是2050元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）根据题意列出方程（-5x+150）（x-8）=425求解即可；
（3）根据题意先列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
19．【答案】（1）解：根据题意，得：抛物线经过点，且不经过第一象限，
画出图象，如下：
（2）解：不认同他们的说法，举例如下：
抛物线的对称轴为y轴，故小亮的说法错误，
抛物线图象经过x轴，故小莹的说法错误；
（3）解：设过点的抛物线解析式为，
，
，
，
经过，
，
根据题意，抛物线不经过第一象限，
，，
，
，
综上所述：且．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意得抛物线经过点，且不经过第一象限，即可画出图象；
（2）由题意可得出抛物线的对称轴为y轴，抛物线图象经过x轴，由此即可得出答案；
（3）设过点的抛物线解析式为，则，根据题意，抛物线不经过第一象限，可得出，，从而得出，，由此得出答案。
20．【答案】（1）证明：∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：过点E作于点N，
在平行四边形中，，
又∵是边上的高，
∴AM⊥AD，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
又∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（3）解：延长交的延长线于点G．
∵，
∴，
∴，
∵ABCD，
∴，∠EGC=∠BFE=90°，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴当时，y有最大值为．
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据高线的概念可得∠AMB=∠EFB=90°，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）过点E作EN⊥AD于点N，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据高线的概念可得∠AME=∠MAN=∠ANE=90°，根据矩形的性质可得NE=AM=4，AN=ME，利用勾股定理可得BM，根据中点的概念可得BE，然后求出DN，再根据勾股定理计算即可；
（3）延长FE交DC的延长线于点G，根据三角函数的概念表示出EF，由平行线的性质可得∠B=∠ECG，∠EGC=∠BFE=90°，证明△ABM∽△ECG，根据相似三角形的性质可得CG，然后表示出DG，根据三角形的面积公式表示出y，由二次函数的性质就可得到y的最大值以及对应的x的值.
21．【答案】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴，解得．
∴所求抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，
又，
∴．
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，则该直线的解析式为．
故当时，，即，
∴，
即．
（3）解：
设点，由题意，得，
∴，∴，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，，
∴当点P的坐标分别为，，，时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 该直线的解析式为，再求解即可；
（3）利用三角形面积公式先求出 ， 再列方程求解即可。
22．【答案】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C（0，-3），
令y=0时，x=3，
则B（3，0），
把B（3，0），C（0，-3），分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，
∵A（1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
（3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D（2，-2），
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D（2，-2）代入，得p=，
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得
解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为（，）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，则-x2+4x-3=0，解得x的值，得出OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，由点A、B、C的坐标得出OB=OC=3，AB=2，由，得出PM=，CE=1，由点B、C的坐标得出直线BC解析式，平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，联立直线与抛物线解析式即可得出点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，利用AAS证出△CDE≌△DAD，得出DE=AF，CE=DF，推出四边形OCEF是矩形，设DE=AF=n，得出n的值，从而得出点D的坐标，再利用代入法得出直线CQ解析式，联立直线与抛物线解析式，即可得出点Q的坐标。
23．【答案】（1）解：将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4；
A（﹣2，0）；C（0，4）
（2）解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）解：存在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数的最值；轴对称的应用-最短距离问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
【分析】（1）将B（4，0）代入y＝-x2＋(m-1)x＋2m 中可得m的值，进而可得抛物线的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、C的坐标；
（2）作O点关于BC的对称点O′，连接AO′交BC于点M，连接BO′，由对称性可知OM＝O′M，则AM＋OM＝AM＋O′MAO′，故当A、M、O′三点共线时，AM＋OM有最小值，根据点B、C的坐标可得OB＝OC，则∠CBO＝45°，由对称性可知∠O′BM＝45°，则O′（4，4），利用待定系数法求出直线AO′、BC的解析式， 联立求出x、y，据此可得点M的坐标；
（3）连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，设P（t，-t2＋t＋4），则G（t，-t＋4），表示出PG，根据三角形的面积公式可得S△BCP，然后表示出PF，根据平行线分线段成比例的性质可得＝，则＝，表示出，然后根据二次函数的性质进行解答.
24．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，∴∴∴．∴，∴，∵，∴当时，y随着x的增大而增大．
（2）解：由题意，得，当y＝0时，，解得：或，∵点A在点B的右侧，∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），∴n+1＝－n2+2n+3．解得：n＝2或n＝－1（舍去）．故n的值为2.
（3）证明：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），抛物线C2的对称轴是直线x＝1，
∵点E与点C关于直线x＝1对称，∴点E的坐标为（2，3）．∴点G的坐标为（1，3）．设直线BE解析式为y＝kx+b，∴解得：∴y＝x+1．当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形．又∵CE⊥DF，∴四边形CDEF为正方形．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 或， 再求出 n＝2或n＝－1（舍去） ，最后求解即可；
（3）利用待定系数法求函数解析式，再求解即可。
1 / 12023年春季湘教版数学九年级下册第一章 《二次函数》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·绍兴）关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），
∴函数有最小值为6.
故答案为：D.
【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.
2．（2020·绥化）将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 向左平移3个单位长度，得到 ，
再向下平移2个单位长度，得到 ，
整理得 ，
故答案为：C．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
3．（2022·衢州）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a；当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
4．（2022·黄石）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用抛物线的对称轴可用含a的代数式表示出b，可得到b的取值范围，抛物线与y轴交于负半轴，可得到c的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；利用二次函数的最值，可知当x=-1时函数值最小，可对②作出判断；利用图象经过点（1，3），可得到c=3-3a，可将方程转化为ax2+2ax-3a=0，利用因式分解法求出方程的解，根据抛物线的对称轴，即可求出抛物线与直线y=3的另一个交点为（-3，3），将x1=-3，x2=1代入可对③作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
5．（2022·兰州）已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大.
故答案为：B.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式可得y=2(x-1)2+3，由于二次项系数a=2＞0，图象开口向上，对称轴直线是x=1，故在对称轴右侧函数值y随x的增大而增大，据此即可得出答案.
6．（2022·朝阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）
D．﹣1＜a＜﹣
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数），不符合题意；
D．∵-=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据函数图象，利用二次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
7．（2022·鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的开口方向向下可知a＜0，据此判断①；根据顶点P的坐标结合对称轴方程可得b=-2a，结合a的符号可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得c＞0，据此判断②；根据点A在二次函数图象上可判断③；根据顶点P的坐标以及开口方向可判断④；at2+bt-(a+b)=at2-2at-a+2a=a(t-1)2，结合a的符号可判断⑤.
8．（2022·随州）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线.则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则.正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，图象开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3，0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
则②③④正确，
故答案为：C.
【分析】观察抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围，抛物线与y轴的交点位置，可以确定出c的取值范围，根据对称轴的位置：左同右异，结合a的值，可确定出b的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴为直线，可对②作出判断；利用函数与x轴交点为（﹣1，0）及其对称轴，可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，因此设y=a（x+1）（x-3），将函数解析式转化为顶点式，可得到函数的最大值，可对③作出判断；将方程变形为ax2+bx+c-a-1=0，要使方程无实数根，可知b2-4ac＜0，再由c=-3a，b=-2a，代入可求出a的取值范围，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
9．（2022·宜宾）已知抛物线的图象与轴交于点、，若以为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；偶次方的非负性；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：把A（-2，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+c
，
解得，
抛物线的解析式为：，
设为轴下方的抛物线上的点，则，
设C为AB的中点，则，
以AB为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，
，即，
，
，
或，
以AB为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，
抛物线开口向上，即，
，
，即，
.
故答案为：A.
【分析】把A（-2，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+c中表示出b、c，可得y=a(x-1)2-9a，
设P（t，a(t-1)2-9a）为x轴下方的抛物线上的点，根据中点坐标公式可得C（1，0），由题意可得CP≥AB≥3，结合两点间距离公式可表示出a，根据根据偶次幂的非负性可得a的范围.
10．（2022·内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确.
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误.
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：
设y1＝ax2+bx+c，，
由图知，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据x=1对应的函数值为负可判断②；根据抛物线与x轴的交点坐标结合对称轴方程可得，当时，b>-3a，当x=2时，y=4a+2b+c=0，则b=-2a-c，根据b>-3a可判断③；设y1＝ax2+bx+c，y2=+c，结合图象可判断④.
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒.
【答案】1.25
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒.
故答案为：1.25.
【分析】由题意得，先将函数解析式根据公式y=ax2+bx+c=a(x+)2+化为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
12．（2022·六盘水）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ．
【答案】-4
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴设抛物线的解析式为y=（x+1）2+k，
∵抛物线经过点（-3，0），
∴4+k=0
解之：k=-4，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）2-4，
∵a=1＞0，抛物线的开口向上，
∴当x=-1时y的最小值为-4.
故答案为：-4.
【分析】观察图象可知抛物线的对称轴为直线x=-1，因此设抛物线的解析式为y=（x+1）2+k，将点（-3，0），代入求出k的值，可得到函数解析式；再利用二次函数的性质，可得到该函数的最小值.
13．（2022·盐城）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
【答案】1≤n＜10
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：点P到y轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为1≤n＜10.
故答案为：1≤n＜10.
【分析】根据一个点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值可得-214．（2022·福建）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
【答案】8
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8.
故答案为：8.
【分析】把y=0代入y=x2+2x-n中可得x2+2x-n=0，利用公式法表示出x1、x2，同理表示出x3、x4，根据AD=2BC可得AD2=4BC2，即(x1-x4)2=4(x2-x3)2，代入化简可得，然后利用换元法进行求解即可.
15．（2022·徐州）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得其开口方向、对称轴以及顶点坐标，根据顶点坐标可得顶点到x轴的距离为4，据此不难求出m的值.
16．（2021·包头）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当 的值最小时， 的面积为 ．
【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可求出 ，
抛物线 的对称轴为： ，
根据函数对称关系，点B关于 的对称点为点A，
连接AD与 交于点E，
此时 的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点C作 的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于 与梯形ACHG的面积和，
即 ，
则 S四边形ACHE- ，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出 ，最后利用面积公式求解即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1）解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设 ，
∵ 经过点(0， )，
∴
解得∶
∴ ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数 ，当y=0时，有
∴ ，
解得∶ ， (舍去)，
∵ >6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可设y=a(x-3)2+3，将(0，)代入求出a的值，据此可得y关于x的函数表达式；
（2）令y=0，求出x的值，然后与6.70进行比较即可判断.
18．（2022·朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为2050．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是2050元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）根据题意列出方程（-5x+150）（x-8）=425求解即可；
（3）根据题意先列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
19．（2022·潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
（1） [观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
（2）[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
（3）[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．
【答案】（1）解：根据题意，得：抛物线经过点，且不经过第一象限，
画出图象，如下：
（2）解：不认同他们的说法，举例如下：
抛物线的对称轴为y轴，故小亮的说法错误，
抛物线图象经过x轴，故小莹的说法错误；
（3）解：设过点的抛物线解析式为，
，
，
，
经过，
，
根据题意，抛物线不经过第一象限，
，，
，
，
综上所述：且．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意得抛物线经过点，且不经过第一象限，即可画出图象；
（2）由题意可得出抛物线的对称轴为y轴，抛物线图象经过x轴，由此即可得出答案；
（3）设过点的抛物线解析式为，则，根据题意，抛物线不经过第一象限，可得出，，从而得出，，由此得出答案。
20．（2022·资阳）如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．
（1）求证：；
（2）当点E为的中点时，求的长；
（3）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）证明：∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：过点E作于点N，
在平行四边形中，，
又∵是边上的高，
∴AM⊥AD，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
又∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（3）解：延长交的延长线于点G．
∵，
∴，
∴，
∵ABCD，
∴，∠EGC=∠BFE=90°，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴当时，y有最大值为．
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据高线的概念可得∠AMB=∠EFB=90°，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）过点E作EN⊥AD于点N，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据高线的概念可得∠AME=∠MAN=∠ANE=90°，根据矩形的性质可得NE=AM=4，AN=ME，利用勾股定理可得BM，根据中点的概念可得BE，然后求出DN，再根据勾股定理计算即可；
（3）延长FE交DC的延长线于点G，根据三角函数的概念表示出EF，由平行线的性质可得∠B=∠ECG，∠EGC=∠BFE=90°，证明△ABM∽△ECG，根据相似三角形的性质可得CG，然后表示出DG，根据三角形的面积公式表示出y，由二次函数的性质就可得到y的最大值以及对应的x的值.
21．（2022·青海）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
图1 图2
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
【答案】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴，解得．
∴所求抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，
又，
∴．
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，则该直线的解析式为．
故当时，，即，
∴，
即．
（3）解：
设点，由题意，得，
∴，∴，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，，
∴当点P的坐标分别为，，，时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 该直线的解析式为，再求解即可；
（3）利用三角形面积公式先求出 ， 再列方程求解即可。
22．（2022·通辽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C（0，-3），
令y=0时，x=3，
则B（3，0），
把B（3，0），C（0，-3），分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，
∵A（1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
（3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D（2，-2），
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D（2，-2）代入，得p=，
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得
解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为（，）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，则-x2+4x-3=0，解得x的值，得出OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，由点A、B、C的坐标得出OB=OC=3，AB=2，由，得出PM=，CE=1，由点B、C的坐标得出直线BC解析式，平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，联立直线与抛物线解析式即可得出点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，利用AAS证出△CDE≌△DAD，得出DE=AF，CE=DF，推出四边形OCEF是矩形，设DE=AF=n，得出n的值，从而得出点D的坐标，再利用代入法得出直线CQ解析式，联立直线与抛物线解析式，即可得出点Q的坐标。
23．（2022·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4；
A（﹣2，0）；C（0，4）
（2）解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）解：存在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数的最值；轴对称的应用-最短距离问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
【分析】（1）将B（4，0）代入y＝-x2＋(m-1)x＋2m 中可得m的值，进而可得抛物线的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、C的坐标；
（2）作O点关于BC的对称点O′，连接AO′交BC于点M，连接BO′，由对称性可知OM＝O′M，则AM＋OM＝AM＋O′MAO′，故当A、M、O′三点共线时，AM＋OM有最小值，根据点B、C的坐标可得OB＝OC，则∠CBO＝45°，由对称性可知∠O′BM＝45°，则O′（4，4），利用待定系数法求出直线AO′、BC的解析式， 联立求出x、y，据此可得点M的坐标；
（3）连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，设P（t，-t2＋t＋4），则G（t，-t＋4），表示出PG，根据三角形的面积公式可得S△BCP，然后表示出PF，根据平行线分线段成比例的性质可得＝，则＝，表示出，然后根据二次函数的性质进行解答.
24．（2022·济宁）已知抛物线与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，∴∴∴．∴，∴，∵，∴当时，y随着x的增大而增大．
（2）解：由题意，得，当y＝0时，，解得：或，∵点A在点B的右侧，∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），∴n+1＝－n2+2n+3．解得：n＝2或n＝－1（舍去）．故n的值为2.
（3）证明：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），抛物线C2的对称轴是直线x＝1，
∵点E与点C关于直线x＝1对称，∴点E的坐标为（2，3）．∴点G的坐标为（1，3）．设直线BE解析式为y＝kx+b，∴解得：∴y＝x+1．当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形．又∵CE⊥DF，∴四边形CDEF为正方形．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 或， 再求出 n＝2或n＝－1（舍去） ，最后求解即可；
（3）利用待定系数法求函数解析式，再求解即可。
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