2023年春季湘教版数学九年级下册第一章 《二次函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·郴州）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5
D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，∴抛物线开口向上，故选项A错误；
顶点坐标为（1，5），故选项B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故选项C错误；
当 时，y随x的增大而增大，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，当a>0时，图象开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），当x=h时，函数取得最小值k；当x>h时，y随x的增大而增大，据此判断.
2．（2022·菏泽）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x0，可知b＜0，
所以反比例函数y的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
3．（2022·烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据对称轴、开口方向与y的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，再由对称轴可知 a=b，将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，可得4a﹣2b+c＝0，再由二次函数最小值小于0，从而判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，即可得出答案。
4．（2022·广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）.其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象及题意得：a＜0，c＞0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），
∴，
∴，即，
∴abc＜0，3b-2c=3×（-4a）-2×（-5a）=-2a＞0，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误；
∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴，故（4）错误；
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为，
∴当x=m时，（m为常数），则有，
∴，即为，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故答案为：C.
【分析】由图象及题意得a<0，c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），则b=-4a>0，a-b+c=0，推出c=-5a，据此判断（1）（3）；由图象可知当x=-2时，则4a-2b+c<0，据此判断（2）；根据二次函数的性质可得离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，据此判断（4）；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2b+c，据此判断（5）.
5．（2022·杭州）已知二次函数y=x2+ax+b(a，b为常数)．命题①：该函数的图象经过点(1，0)；命题②：该函数的图象经过点(3，0)；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④；该函数的图象的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；真命题与假命题
【解析】【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x=1，
则x==1，
解得a=-2，
∵函数的图象经过（3，0）
，∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
令y=0，得x2-2x-3=0
解得x1=-1，x2=3，
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④正确，命题①错误，
故答案为：A.
【分析】假设抛物线的对称轴为直线x=1（假设命题④是真命题），由抛物线的对称轴为x=可解得a值，进而确定b指，从而可得抛物线的解析式，再由二次函数图象与性质可判断命题①②③真假.从而可解.
6．（2022·四川）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据题意画出图象的草图如下：
A、∵抛物线经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，∴当x>0时，y随x的增大而增大，∴a>0，正确，不符合题意；
B、当x=0时，y=c=-3，当x=1时，y=a+b+c=0，∴a+b=-c=3，正确，不符合题意；
C、若抛物线经过点 （-1，0） ，由抛物线y=ax2 +bx+c (a≠0) 经过点（1，0），可得对称轴x==0，但对称轴在y轴的左侧，则抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）左侧，错误，符合题意；
D、由图象可知，抛物线y=ax2 +bx+c (a≠0)与直线y=-1有两个交点，也即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题意，画出y＝ax2＋bx＋c（a 0）图象的草图，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）的图象和性质，分别分析判断，即可解答.
7．（2021·贵州）如图，抛物线 与 轴只有一个公共点A（1，0），与 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM.
由题意可知，AM=OB，
∵
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵ ， ，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM，利用A、B坐标及平移的性质，可得OA=1，OB=AM=2， ，可证四边形ABOM为平行四边形，由抛物线的对称性，可得图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，由计算即得.
8．（2022·齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴
∴故①符合题意；
∵函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为4，
∴函数的顶点坐标为（-1，4）
当x=-1时，
∴
∴，
∵二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴<<2
∴<4+a<2
∴，故②符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴，故③符合题意；
∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程有两个不相等的实数根，
∴
∴，故④不符合题意；
由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤不符合题意．
所以，正确的结论是①②③，共3个，
故答案为：B
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质逐项判断即可。
9．（2021·雅安）定义： ，若函数 ，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】令 ，
当 时，即 时， ，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当 时， ，
∴ （ ），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时， ；
当 时，即 时， ，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当 时， 或 ，
∴ （ 或 ），
∵ 的对称轴为x=1，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时， =3，
∴当 时，y<3；
当 ，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时， =0；
∴当 时，y<0；
综上， 的最大值为3.
故答案为：C.
【分析】分两种情况：①当 时，可得y=x+1，利用一次函数的性质求出最大值；②当 时，可得，根据二次函数的性质求出其最大值，最后两种比较即可.
10．（2022·济南）抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设（m-1，1）为A点，（m+1，1）为B点，
即点A（m-1，1）与B（m+1，1）关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质，对每个选项一一判断即可。
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 m .
【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，
∴-0.2x2+x+2.25=3.05，
整理，解得：x1=1，x2=4，
∴H（4，0），
∴OH=4m.
故答案为：4.
【分析】由篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，得出-0.2x2+x+2.25=3.05，解得x1=1，x2=4，从而得出点H的坐标为（4，0），即可得出OH=4m.
12．（2022·长春）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：
【分析】根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再根据二次函数的性质求出a的值即可。
13．（2022·黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 .
【答案】（1，-3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即.
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）.
【分析】将二次函数函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质，可得到旋转后的抛物线的解析式；再利用二次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的抛物线的解析式.
14．（2021·成都）在平面直角坐标系 中，若抛物线 与x轴只有一个交点，则 .
【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线 与x轴只有一个交点，
∴方程 =0根的判别式△=0，即22-4k=0，
解得：k=1，
故答案为：1
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的方程，解方程可求解.
15．（2021·长春）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；正方形的性质
【解析】【解答】解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x，4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】先求出抛物线解析式为 ，再求出 ，最后计算求解即可。
16．（2021·济宁）如图，二次函数 的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线 ，下面结论：
① ；
② ；
③ ；
④方程 必有一个根大于 且小于0．
其中正确的是 （只填序号）．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①符合题意；
∵- =1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②符合题意；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④符合题意；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③不符合题意；
故答案为：①②④．
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·北部湾）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示.
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大 求出最大利润.
【答案】（1）解：设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得
，
解得
∴ 函数的解析式为y= -5x+500，
当y=0时，-5x+500=0，
解得x=100，
结合图象，自变量取值范围是50＜x＜100
（2）解：设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得：
W=（x-50）(-5x+500)
= ，
∵-5＜0，
∴ w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125，
故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大；最大利润是3125元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（80，100）、（60，200）代入求出k、b的值，据此可得函数关系式，令y=0，求出x的值，据此可得x的范围；
（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据(售价-成本)×销售量可得W与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
18．（2022·广东）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ， ，点P为线段 上的动点，过P作 交 于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 ，
顶点式为： ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ，
由 解得： ，
∵P在线段AB上，
∴ ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出，再结合P在线段AB上，求出-6＜n＜2，然后利用割补法可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
19．（2022·龙东）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出，再设，利用“的面积是面积的4倍”可得，再求出m的值，即可得到点P的坐标。
20．（2022·泰州）如图，二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点B(3，1).
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当随x的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】（1）解：二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）
（3）解：由题意作图如下：
当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图象知，当随x的增大而增大且时，；
【分析】（1）将B（3，1）分别代入y1=x2+mx+1、y2=中进行计算可得m、k的值，据此可得二次函数以及反比例函数的解析式；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴，然后根据图象，找出二次函数图象在对称轴右侧、且在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）画出示意图，易得A（0，1），根据△ACE与△BDE的面积相等可得CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，令反比例函数解析式中的x=，求出y的值，据此可得点E的坐标.
21．（2022·贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b.
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，( 1，e)，( 3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当 2≤m≤1时，n的取值范围是 1≤n≤1，求二次函数的表达式.
【答案】（1）解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)
（2）解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，
又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，
∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，
当a<0时，画出草图如图：
∴e=f> c>d；
当a>0时，画出草图如图：
∴e=f< c（3）解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，
当a<0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x+.
当a>0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x-.
综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标；
（2）由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x=-2，结合AB的值可得A(-5，0)，B(1，0)，画出a>0、a<0对应的图象，据此进行比较；
（3）根据a<0、a>0判断出二次函数在 2≤m≤1上的增减性，得到最大值与最小值， 然后结合n的范围可得关于a、b的方程组，求出a、b的值，进而可得二次函数的表达式.
22．（2022·丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）.
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.
【答案】（1）解：①把(3，1)代入y=a(x-2)2-1，解得a=2，
∴y=2(x-2)2-1
②由①可得y=2(x-2)2-1，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，-1).
∵x2-x1=3，y1=y2，
∴MN∥x轴，
∴根据图象的对称性得
∴
∴
∴顶点到MN的距离为 .
（2）解：①如图1，
若点M，N在对称轴异侧，
∴
由(1)得 .
∴
最大值： ，最小值：-1，
∴
∴
∵在 范围内有： ，
∴ .
②如图2，
若点M，N在对称轴异侧， ，由(1)得 .
∴
最大值： ，最小值： ，.
∵
∴
∵在 范围内有 ，
∴
综上所述， .
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
② 由y1＝y2， 判断出M， N关于抛物线的对称轴对称，结合x2-x1=3，根据对称性建立方程求解，从而求出点M的纵坐标，即可得出结论；
( 2 )分两种情况讨论，①若点M，N在对称轴异侧， y1≥y2； ②若点M，N在对称轴异侧，y123．（2022·丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）解：∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）解：如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，
∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH//x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）解：∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出 直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 再求出 0＜m＜6， 最后求解即可；
（3）利用相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可；
（4）分类讨论，结合函数图象，计算求解即可。
24．（2022·枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴ ，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）解：如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGPG AE3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）（m）2，
0，
∴当m时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
（3）解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，
顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），
如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；
（4）解：设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m或，∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 △AOE是等腰直角三角形， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 M（2，2）， 再结合函数图象求解即可；
（4）分类讨论，列方程求解即可。
1 / 12023年春季湘教版数学九年级下册第一章 《二次函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·郴州）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5
D．当 时，y随x的增大而增大
2．（2022·菏泽）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
4．（2022·广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）.其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（2022·杭州）已知二次函数y=x2+ax+b(a，b为常数)．命题①：该函数的图象经过点(1，0)；命题②：该函数的图象经过点(3，0)；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④；该函数的图象的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
6．（2022·四川）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
7．（2021·贵州）如图，抛物线 与 轴只有一个公共点A（1，0），与 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022·齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2021·雅安）定义： ，若函数 ，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
10．（2022·济南）抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 m .
12．（2022·长春）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
13．（2022·黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 .
14．（2021·成都）在平面直角坐标系 中，若抛物线 与x轴只有一个交点，则 .
15．（2021·长春）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
16．（2021·济宁）如图，二次函数 的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线 ，下面结论：
① ；
② ；
③ ；
④方程 必有一个根大于 且小于0．
其中正确的是 （只填序号）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·北部湾）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示.
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大 求出最大利润.
18．（2022·广东）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ， ，点P为线段 上的动点，过P作 交 于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
19．（2022·龙东）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
20．（2022·泰州）如图，二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点B(3，1).
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当随x的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
21．（2022·贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b.
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，( 1，e)，( 3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当 2≤m≤1时，n的取值范围是 1≤n≤1，求二次函数的表达式.
22．（2022·丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）.
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.
23．（2022·丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
24．（2022·枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，∴抛物线开口向上，故选项A错误；
顶点坐标为（1，5），故选项B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故选项C错误；
当 时，y随x的增大而增大，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，当a>0时，图象开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），当x=h时，函数取得最小值k；当x>h时，y随x的增大而增大，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x0，可知b＜0，
所以反比例函数y的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据对称轴、开口方向与y的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，再由对称轴可知 a=b，将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，可得4a﹣2b+c＝0，再由二次函数最小值小于0，从而判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象及题意得：a＜0，c＞0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），
∴，
∴，即，
∴abc＜0，3b-2c=3×（-4a）-2×（-5a）=-2a＞0，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误；
∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴，故（4）错误；
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为，
∴当x=m时，（m为常数），则有，
∴，即为，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故答案为：C.
【分析】由图象及题意得a<0，c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），则b=-4a>0，a-b+c=0，推出c=-5a，据此判断（1）（3）；由图象可知当x=-2时，则4a-2b+c<0，据此判断（2）；根据二次函数的性质可得离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，据此判断（4）；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2b+c，据此判断（5）.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；真命题与假命题
【解析】【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x=1，
则x==1，
解得a=-2，
∵函数的图象经过（3，0）
，∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
令y=0，得x2-2x-3=0
解得x1=-1，x2=3，
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④正确，命题①错误，
故答案为：A.
【分析】假设抛物线的对称轴为直线x=1（假设命题④是真命题），由抛物线的对称轴为x=可解得a值，进而确定b指，从而可得抛物线的解析式，再由二次函数图象与性质可判断命题①②③真假.从而可解.
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据题意画出图象的草图如下：
A、∵抛物线经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，∴当x>0时，y随x的增大而增大，∴a>0，正确，不符合题意；
B、当x=0时，y=c=-3，当x=1时，y=a+b+c=0，∴a+b=-c=3，正确，不符合题意；
C、若抛物线经过点 （-1，0） ，由抛物线y=ax2 +bx+c (a≠0) 经过点（1，0），可得对称轴x==0，但对称轴在y轴的左侧，则抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）左侧，错误，符合题意；
D、由图象可知，抛物线y=ax2 +bx+c (a≠0)与直线y=-1有两个交点，也即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题意，画出y＝ax2＋bx＋c（a 0）图象的草图，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）的图象和性质，分别分析判断，即可解答.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM.
由题意可知，AM=OB，
∵
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵ ， ，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM，利用A、B坐标及平移的性质，可得OA=1，OB=AM=2， ，可证四边形ABOM为平行四边形，由抛物线的对称性，可得图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，由计算即得.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴
∴故①符合题意；
∵函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为4，
∴函数的顶点坐标为（-1，4）
当x=-1时，
∴
∴，
∵二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴<<2
∴<4+a<2
∴，故②符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴，故③符合题意；
∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程有两个不相等的实数根，
∴
∴，故④不符合题意；
由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤不符合题意．
所以，正确的结论是①②③，共3个，
故答案为：B
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质逐项判断即可。
9．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】令 ，
当 时，即 时， ，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当 时， ，
∴ （ ），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时， ；
当 时，即 时， ，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当 时， 或 ，
∴ （ 或 ），
∵ 的对称轴为x=1，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时， =3，
∴当 时，y<3；
当 ，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时， =0；
∴当 时，y<0；
综上， 的最大值为3.
故答案为：C.
【分析】分两种情况：①当 时，可得y=x+1，利用一次函数的性质求出最大值；②当 时，可得，根据二次函数的性质求出其最大值，最后两种比较即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设（m-1，1）为A点，（m+1，1）为B点，
即点A（m-1，1）与B（m+1，1）关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质，对每个选项一一判断即可。
11．【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，
∴-0.2x2+x+2.25=3.05，
整理，解得：x1=1，x2=4，
∴H（4，0），
∴OH=4m.
故答案为：4.
【分析】由篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，得出-0.2x2+x+2.25=3.05，解得x1=1，x2=4，从而得出点H的坐标为（4，0），即可得出OH=4m.
12．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：
【分析】根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再根据二次函数的性质求出a的值即可。
13．【答案】（1，-3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即.
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）.
【分析】将二次函数函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质，可得到旋转后的抛物线的解析式；再利用二次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的抛物线的解析式.
14．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线 与x轴只有一个交点，
∴方程 =0根的判别式△=0，即22-4k=0，
解得：k=1，
故答案为：1
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的方程，解方程可求解.
15．【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；正方形的性质
【解析】【解答】解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x，4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】先求出抛物线解析式为 ，再求出 ，最后计算求解即可。
16．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①符合题意；
∵- =1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②符合题意；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④符合题意；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③不符合题意；
故答案为：①②④．
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决。
17．【答案】（1）解：设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得
，
解得
∴ 函数的解析式为y= -5x+500，
当y=0时，-5x+500=0，
解得x=100，
结合图象，自变量取值范围是50＜x＜100
（2）解：设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得：
W=（x-50）(-5x+500)
= ，
∵-5＜0，
∴ w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125，
故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大；最大利润是3125元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（80，100）、（60，200）代入求出k、b的值，据此可得函数关系式，令y=0，求出x的值，据此可得x的范围；
（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据(售价-成本)×销售量可得W与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
18．【答案】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 ，
顶点式为： ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ，
由 解得： ，
∵P在线段AB上，
∴ ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出，再结合P在线段AB上，求出-6＜n＜2，然后利用割补法可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
19．【答案】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出，再设，利用“的面积是面积的4倍”可得，再求出m的值，即可得到点P的坐标。
20．【答案】（1）解：二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）
（3）解：由题意作图如下：
当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图象知，当随x的增大而增大且时，；
【分析】（1）将B（3，1）分别代入y1=x2+mx+1、y2=中进行计算可得m、k的值，据此可得二次函数以及反比例函数的解析式；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴，然后根据图象，找出二次函数图象在对称轴右侧、且在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）画出示意图，易得A（0，1），根据△ACE与△BDE的面积相等可得CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，令反比例函数解析式中的x=，求出y的值，据此可得点E的坐标.
21．【答案】（1）解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)
（2）解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，
又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，
∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，
当a<0时，画出草图如图：
∴e=f> c>d；
当a>0时，画出草图如图：
∴e=f< c（3）解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，
当a<0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x+.
当a>0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x-.
综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标；
（2）由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x=-2，结合AB的值可得A(-5，0)，B(1，0)，画出a>0、a<0对应的图象，据此进行比较；
（3）根据a<0、a>0判断出二次函数在 2≤m≤1上的增减性，得到最大值与最小值， 然后结合n的范围可得关于a、b的方程组，求出a、b的值，进而可得二次函数的表达式.
22．【答案】（1）解：①把(3，1)代入y=a(x-2)2-1，解得a=2，
∴y=2(x-2)2-1
②由①可得y=2(x-2)2-1，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，-1).
∵x2-x1=3，y1=y2，
∴MN∥x轴，
∴根据图象的对称性得
∴
∴
∴顶点到MN的距离为 .
（2）解：①如图1，
若点M，N在对称轴异侧，
∴
由(1)得 .
∴
最大值： ，最小值：-1，
∴
∴
∵在 范围内有： ，
∴ .
②如图2，
若点M，N在对称轴异侧， ，由(1)得 .
∴
最大值： ，最小值： ，.
∵
∴
∵在 范围内有 ，
∴
综上所述， .
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
② 由y1＝y2， 判断出M， N关于抛物线的对称轴对称，结合x2-x1=3，根据对称性建立方程求解，从而求出点M的纵坐标，即可得出结论；
( 2 )分两种情况讨论，①若点M，N在对称轴异侧， y1≥y2； ②若点M，N在对称轴异侧，y123．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）解：∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）解：如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，
∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH//x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）解：∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出 直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 再求出 0＜m＜6， 最后求解即可；
（3）利用相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可；
（4）分类讨论，结合函数图象，计算求解即可。
24．【答案】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴ ，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）解：如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGPG AE3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）（m）2，
0，
∴当m时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
（3）解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，
顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），
如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；
（4）解：设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m或，∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 △AOE是等腰直角三角形， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 M（2，2）， 再结合函数图象求解即可；
（4）分类讨论，列方程求解即可。
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