2023年春季湘教版数学九年级下册第二章 《圆》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵直线和圆有两个交点，
∴餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是相交.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知筷子与餐盘有两个交点，据此可得答案.
2．（2022·贵港）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=90°，∠BPC=∠A，由余角的性质可得∠A=90°-∠ACB=50°，据此解答.
3．（2022·兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故答案为：D.
【分析】由图形可得：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，然后结合扇形的面积公式进行计算.
4．（2022·吉林）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
点在内且点在外，
，即，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC，再由点在内且点在外求解。
5．（2022·巴中）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1.
故答案为：C.
【分析】连接BC，垂径定理可得AB⊥CD，由圆周角定理可得∠BAC=∠CDB=30°，根据余弦三角函数的概念可得AE、AB，然后求出OA，再根据OE=AE-OA进行计算.
6．（2022·通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2022·赤峰）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故答案为：C．
【分析】连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，则，证明EOC是等腰直角三角形，根据即可求出答案。
8．（2022·包头）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，再根据圆心角定理计算即可。
9．（2022·内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
六边形ABCDEF为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OC、OB，根据正六边形的性质可得∠BOC=60°，结合OB=OC可得△BOC为等边三角形，则BC=OB=6，BM=BC=3，利用勾股定理求出OM，然后根据弧长公式进行计算.
10．（2022·镇江）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= =6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= BC=
∴AD= =3
∴⊙A的半径为3，
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当 =360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当 =180°时， 所在的直线与⊙O相切．
当 ⊥AO时，即 =90°时， 所在的直线与⊙O相切．
∴当 为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案为：C.
【分析】作AD⊥BC，以A为圆心，AD为半径画圆，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ，则∠PAO=30°，根据三角函数的概念可得AO、AD，推出BC所在的直线与⊙O相切，据此解答.
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·龙东）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理和垂径定理可得。
12．（2022·遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度.
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 千米.
【答案】33792
【知识点】平行线的性质；垂径定理；锐角三角函数的定义；圆的周长
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
根据题意OB=OA=6400，
∵，
∴，
∵在Rt△BOD中， ∠B=28°，
∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，
∴以BC为直径的圆的周长为
故答案为：33792.
【分析】过点O作OD⊥BC，垂足为D，根据题意可得OB=OA=6400，根据平行线的性质可得∠B=∠BOA=28°，根据三角函数的概念可得BD，由垂径定理可得BD=CD，接下来根据圆的周长公式计算即可.
13．（2022·广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；垂径定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，如图所示：
由题意可得：，
∴，
∴，
∴弓形AB的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，由题意可得OD=DE=OE=OB，AD=BD=AB=，则∠OBD=30°，∠DOB=60°，利用三角函数的概念可得OD、OB，然后根据S弓形AB+S△OBD=×2S扇形OBE-2S△ODB+S△OBD进行计算.
14．（2022·四川）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝ ，BD＝5，则⊙O的半径为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵∠CDB和∠CAB所对的弧都是AC弧，
∴∠CAB=∠CDB，
∵AB为直径，H为CD的中点，
∴CH⊥AB，CB=BD=5，∠ACB=90°，
∵cos∠CDB= cos∠CDB＝= ，
设CA=4k，AB=5k，
∴BC==3k，
∴3k=5，即k=，
∴AB=5k=.
∴⊙O的半径为.
故答案为：.
【分析】连接AC， 根据圆周角定理求出∠CAB=∠CDB，根据垂径定理求出CH⊥AB，CB=BD=5，设CA=4k，AB=5k，根据勾股定理求出BC=3k=5，则可求出k值，从而求出AB长，即可解决问题.
15．（2022·盐城）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交于点E，连接BE．
为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
．
故答案为：35.
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.
16．（2022·绥化）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【分析】连接AO，先求出∠AOB=360°÷6=60°，再求出∠AOH=360°÷5=72°，最后利用角的运算可得∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·日照）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，∵D为AB的中点，∴BD=AD=AB，∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，又∵AC=，∴BD=AC=，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，即（2OD）2=OD2+（）2，
解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
【知识点】切线的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出 △ADC是等边三角形， 再求出 OD⊥AB， 最后证明即可；
（2）先求出 ∠BOD=60°，BO=2DO， 再利用勾股定理求出 OD=1 ，最后利用三角形和扇形的面积公式计算求解即可。
18．（2022·大连）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证；
（2）如图2，连接，若的半径为2，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）解：如图，连接AC．
∵的半径为2，
∴，，
∵ 在和中，
，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∵，经过的圆心，
∴，
∴．
∵是的直径，C是上一点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
在中，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质和勾股定理计算求解即可。
19．（2022·聊城）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，．
（1）连接AF，求证：AF是的切线；
（2）若，，求FD的长．
【答案】（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF=∠OEF，
∵BC与相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF=∠OEF=90°，
即OA⊥AF，
∵OA是的半径，
∴AF是的切线；
（2）解：在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，
∴，
∵BC与相切，AF是的切线
∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°，
∵∠OCE=∠FCA，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设的半径为r，则，
解得，
在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，，
∴，
∴，
即FD的长为．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用SAS证出△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF，推出OA⊥AF，由OA是的半径，即可得出结论；
（2）在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，利用勾股定理得出AF的值，由BC与相切，AF是的切线，得出∠OEC＝∠FAC＝∠90°，再利用相似证出△OEC∽△FAC，得出，设的半径为r，则，得出r的值，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，，利用勾股定理得出OF的值，从而得出FD的值，即可得出FD的长。
20．（2022·通辽）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）已知，，求长度及阴影部分面积．
【答案】（1）证明：连接OD
∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵
解得，（舍去）
∴
∴阴影部分面积为．
【知识点】勾股定理；切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE=90°，即可得出结论；
（2）根据直角三角形的边长关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质求出EC，再根据进行计算即可。
21．（2022·常州）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、.
（1）沿、剪下，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）分别取半圆弧上的点、和直径上的点、.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形.小明的猜想是否正确？请说明理由.
【答案】（1）直角
（2）解：以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，
作图如下：
由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，
即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；
（3）解：小明的猜想正确，理由如下：
如图2中，设CM=，CN=CB，取AP=BQ=4cm，
则∵，
∴MN∥AB，
∴，
∴MN=PQ=4，
∴四边形MNQP是平行四边形，
∵，
∴MP∥CO，
∴，
∴PM=4cm，
∴MN=4cm，
∴四边形MNQP是菱形，边长为4cm，
∴小明的猜想正确.
【知识点】菱形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角，
即△ABC是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，据此解答；
（2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，则四边形EFHG为边长为6cm的菱形；
（3）小明的猜想正确，如图2中，设CM=，CN=CB，取AP=BQ=4cm，证明四边形MNQP是菱形，得出结论.
22．（2022·株洲）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若线段与线段相交于点，连接.
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度.
【答案】（1）证明∶∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，
∴OD⊥OB，
∵OD∥BC，
∴CB⊥OB，
∵OB为半径，
∴直线是⊙的切线；
（2）解：①∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，
∴∠ODB=45°，
∴∠BAC=∠ODB，
∵∠ABD=∠DBE，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）.
即⊙的半径的长为.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，结合OD∥BC可得CB⊥OB，据此证明；
（2）①根据等腰直角三角形得∠ODB=45°，故∠BAC=∠ODB，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
②根据相似三角形的性质结合已知条件可得BD2=6，根据勾股定理可得OD2+OB2=2OB2=BD2，代入计算可得OB的值，据此可得⊙O的半径长.
23．（2022·眉山）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，.
（1）求证：是的角平分线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接，如图
∵与相切于点，
∴
∵，
∴
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴平分.
（2）解：根据题意，
∵线段AB是直径，
∴，
∵平分，
∴∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：作CE⊥AO于E，如图：
在直角△ABC中，，
∴，
∴△AOC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，结合BD⊥CD可得OC∥BD，根据平行线的性质可得∠OCB=∠DBC，根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，则∠DBC=∠OBC，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据角平分线的概念可得∠ABC=∠CBD，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△CBD，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）作CE⊥AO于E，利用勾股定理可得AC，推出△AOC是等边三角形，得到∠AOC=60°，OE=1，求出CE的值，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC进行计算.
24．（2022·新疆）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求DB的长.
【答案】（1）证明：，
（2）证明：如图，连接
是的切线，
四边形是的内接四边形，
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵∠ACB=∠E=90°，∠CAB=∠CDB，
∴△ACB∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE=，
∵∠CBE=∠ABC，
∴△ACB∽△CEB，
∴，
∴，
∴BE=，
∴BD=DE-BE=，
∴DB的长为.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC，根据等腰三角形的性质可得∠ADC=∠CAD，据此证明；
（2）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CE，根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，根据圆内接四边形的性质可得∠CBE=∠CAD，由（1）得∠CAD=∠ABC，则∠OCB=∠CBE，推出OC∥BE，据此证明；
（3）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，利用勾股定理可得AB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，证明△ACB∽△DEC，根据相似三角形的性质可得DE，证明△ACB∽△CEB，根据相似三角形的性质可得BE，然后根据BD=DE-BE进行计算.
1 / 12023年春季湘教版数学九年级下册第二章 《圆》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
2．（2022·贵港）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·吉林）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·巴中）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022·通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·赤峰）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·包头）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
10．（2022·镇江）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·龙东）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 cm．
12．（2022·遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度.
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 千米.
13．（2022·广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 .
14．（2022·四川）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝ ，BD＝5，则⊙O的半径为 ．
15．（2022·盐城）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．
16．（2022·绥化）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·日照）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
18．（2022·大连）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证；
（2）如图2，连接，若的半径为2，，求的长．
19．（2022·聊城）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，．
（1）连接AF，求证：AF是的切线；
（2）若，，求FD的长．
20．（2022·通辽）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）已知，，求长度及阴影部分面积．
21．（2022·常州）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、.
（1）沿、剪下，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）分别取半圆弧上的点、和直径上的点、.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形.小明的猜想是否正确？请说明理由.
22．（2022·株洲）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若线段与线段相交于点，连接.
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度.
23．（2022·眉山）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，.
（1）求证：是的角平分线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
24．（2022·新疆）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求DB的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵直线和圆有两个交点，
∴餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是相交.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知筷子与餐盘有两个交点，据此可得答案.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=90°，∠BPC=∠A，由余角的性质可得∠A=90°-∠ACB=50°，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故答案为：D.
【分析】由图形可得：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，然后结合扇形的面积公式进行计算.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
点在内且点在外，
，即，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC，再由点在内且点在外求解。
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1.
故答案为：C.
【分析】连接BC，垂径定理可得AB⊥CD，由圆周角定理可得∠BAC=∠CDB=30°，根据余弦三角函数的概念可得AE、AB，然后求出OA，再根据OE=AE-OA进行计算.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故答案为：C．
【分析】连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，则，证明EOC是等腰直角三角形，根据即可求出答案。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，再根据圆心角定理计算即可。
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
六边形ABCDEF为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OC、OB，根据正六边形的性质可得∠BOC=60°，结合OB=OC可得△BOC为等边三角形，则BC=OB=6，BM=BC=3，利用勾股定理求出OM，然后根据弧长公式进行计算.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= =6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= BC=
∴AD= =3
∴⊙A的半径为3，
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当 =360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当 =180°时， 所在的直线与⊙O相切．
当 ⊥AO时，即 =90°时， 所在的直线与⊙O相切．
∴当 为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案为：C.
【分析】作AD⊥BC，以A为圆心，AD为半径画圆，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ，则∠PAO=30°，根据三角函数的概念可得AO、AD，推出BC所在的直线与⊙O相切，据此解答.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理和垂径定理可得。
12．【答案】33792
【知识点】平行线的性质；垂径定理；锐角三角函数的定义；圆的周长
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
根据题意OB=OA=6400，
∵，
∴，
∵在Rt△BOD中， ∠B=28°，
∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，
∴以BC为直径的圆的周长为
故答案为：33792.
【分析】过点O作OD⊥BC，垂足为D，根据题意可得OB=OA=6400，根据平行线的性质可得∠B=∠BOA=28°，根据三角函数的概念可得BD，由垂径定理可得BD=CD，接下来根据圆的周长公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；垂径定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，如图所示：
由题意可得：，
∴，
∴，
∴弓形AB的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，由题意可得OD=DE=OE=OB，AD=BD=AB=，则∠OBD=30°，∠DOB=60°，利用三角函数的概念可得OD、OB，然后根据S弓形AB+S△OBD=×2S扇形OBE-2S△ODB+S△OBD进行计算.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵∠CDB和∠CAB所对的弧都是AC弧，
∴∠CAB=∠CDB，
∵AB为直径，H为CD的中点，
∴CH⊥AB，CB=BD=5，∠ACB=90°，
∵cos∠CDB= cos∠CDB＝= ，
设CA=4k，AB=5k，
∴BC==3k，
∴3k=5，即k=，
∴AB=5k=.
∴⊙O的半径为.
故答案为：.
【分析】连接AC， 根据圆周角定理求出∠CAB=∠CDB，根据垂径定理求出CH⊥AB，CB=BD=5，设CA=4k，AB=5k，根据勾股定理求出BC=3k=5，则可求出k值，从而求出AB长，即可解决问题.
15．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交于点E，连接BE．
为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
．
故答案为：35.
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.
16．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【分析】连接AO，先求出∠AOB=360°÷6=60°，再求出∠AOH=360°÷5=72°，最后利用角的运算可得∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°。
17．【答案】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，∵D为AB的中点，∴BD=AD=AB，∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，又∵AC=，∴BD=AC=，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，即（2OD）2=OD2+（）2，
解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
【知识点】切线的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出 △ADC是等边三角形， 再求出 OD⊥AB， 最后证明即可；
（2）先求出 ∠BOD=60°，BO=2DO， 再利用勾股定理求出 OD=1 ，最后利用三角形和扇形的面积公式计算求解即可。
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）解：如图，连接AC．
∵的半径为2，
∴，，
∵ 在和中，
，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∵，经过的圆心，
∴，
∴．
∵是的直径，C是上一点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
在中，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质和勾股定理计算求解即可。
19．【答案】（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF=∠OEF，
∵BC与相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF=∠OEF=90°，
即OA⊥AF，
∵OA是的半径，
∴AF是的切线；
（2）解：在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，
∴，
∵BC与相切，AF是的切线
∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°，
∵∠OCE=∠FCA，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设的半径为r，则，
解得，
在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，，
∴，
∴，
即FD的长为．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用SAS证出△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF，推出OA⊥AF，由OA是的半径，即可得出结论；
（2）在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，利用勾股定理得出AF的值，由BC与相切，AF是的切线，得出∠OEC＝∠FAC＝∠90°，再利用相似证出△OEC∽△FAC，得出，设的半径为r，则，得出r的值，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，，利用勾股定理得出OF的值，从而得出FD的值，即可得出FD的长。
20．【答案】（1）证明：连接OD
∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵
解得，（舍去）
∴
∴阴影部分面积为．
【知识点】勾股定理；切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE=90°，即可得出结论；
（2）根据直角三角形的边长关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质求出EC，再根据进行计算即可。
21．【答案】（1）直角
（2）解：以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，
作图如下：
由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，
即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；
（3）解：小明的猜想正确，理由如下：
如图2中，设CM=，CN=CB，取AP=BQ=4cm，
则∵，
∴MN∥AB，
∴，
∴MN=PQ=4，
∴四边形MNQP是平行四边形，
∵，
∴MP∥CO，
∴，
∴PM=4cm，
∴MN=4cm，
∴四边形MNQP是菱形，边长为4cm，
∴小明的猜想正确.
【知识点】菱形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角，
即△ABC是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，据此解答；
（2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，则四边形EFHG为边长为6cm的菱形；
（3）小明的猜想正确，如图2中，设CM=，CN=CB，取AP=BQ=4cm，证明四边形MNQP是菱形，得出结论.
22．【答案】（1）证明∶∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，
∴OD⊥OB，
∵OD∥BC，
∴CB⊥OB，
∵OB为半径，
∴直线是⊙的切线；
（2）解：①∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，
∴∠ODB=45°，
∴∠BAC=∠ODB，
∵∠ABD=∠DBE，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）.
即⊙的半径的长为.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，结合OD∥BC可得CB⊥OB，据此证明；
（2）①根据等腰直角三角形得∠ODB=45°，故∠BAC=∠ODB，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
②根据相似三角形的性质结合已知条件可得BD2=6，根据勾股定理可得OD2+OB2=2OB2=BD2，代入计算可得OB的值，据此可得⊙O的半径长.
23．【答案】（1）证明：连接，如图
∵与相切于点，
∴
∵，
∴
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴平分.
（2）解：根据题意，
∵线段AB是直径，
∴，
∵平分，
∴∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：作CE⊥AO于E，如图：
在直角△ABC中，，
∴，
∴△AOC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，结合BD⊥CD可得OC∥BD，根据平行线的性质可得∠OCB=∠DBC，根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，则∠DBC=∠OBC，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据角平分线的概念可得∠ABC=∠CBD，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△CBD，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）作CE⊥AO于E，利用勾股定理可得AC，推出△AOC是等边三角形，得到∠AOC=60°，OE=1，求出CE的值，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC进行计算.
24．【答案】（1）证明：，
（2）证明：如图，连接
是的切线，
四边形是的内接四边形，
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵∠ACB=∠E=90°，∠CAB=∠CDB，
∴△ACB∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE=，
∵∠CBE=∠ABC，
∴△ACB∽△CEB，
∴，
∴，
∴BE=，
∴BD=DE-BE=，
∴DB的长为.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC，根据等腰三角形的性质可得∠ADC=∠CAD，据此证明；
（2）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CE，根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，根据圆内接四边形的性质可得∠CBE=∠CAD，由（1）得∠CAD=∠ABC，则∠OCB=∠CBE，推出OC∥BE，据此证明；
（3）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，利用勾股定理可得AB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，证明△ACB∽△DEC，根据相似三角形的性质可得DE，证明△ACB∽△CEB，根据相似三角形的性质可得BE，然后根据BD=DE-BE进行计算.
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