2023年春季湘教版数学九年级下册第二章 《圆》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·铜仁）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵阳）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C． D．
3．（2022·山西）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
4．（2022·邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·株洲）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
7．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． m B． m
C． m D．（ +2）m
8．（2022·荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·黄冈）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·柳州）如图，点 ， ， 在 上， ，则 的度数是
12．（2022·吉林）如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 ．（结果保留）．
13．（2022·永州）如图，是的直径，点、在上，，则 度.
14．（2022·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为 ．
15．（2022·荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.
16．（2022·青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·锦州）如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的半径．
18．（2022·鞍山）如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
19．（2022·北京市）如图，是的直径，是的一条弦，连接
（1）求证：
（2）连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
20．（2022·铜仁）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.
（1）求证：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF的长.
21．（2022·黔东南）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点.
①求证：；
②若，，求的半径.
22．（2022·娄底）如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点.
（1）判定与的位置关系，为什么？
（2）若，，
①求、的值；
②试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证.
23．（2022·遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离.
24．（2022·德阳）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足是点 ，过点 作直线分别与 ， 的延长线交于点 ， ，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）如果 ， ，
①求 的长；
②求 的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA、OB是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°.
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠C=∠AOB，据此计算.
2．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵点E在以BD为直径的圆上，
∴∠BED=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BDA=30°，
∴BE=5.
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°得∠BED=90°，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接CD，根据圆周角的性质可得，，再利用角的运算可得。
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，
∴∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=.
故答案为：C.
【分析】作直径AD，连接CD，根据等边三角形的三个角都等于60°，可得∠B=60°，根据圆周角定理可得∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=AD，结合勾股定理求出AD，据此可得⊙O的半径.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：△ABC是等边三角形，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠DFE=180°，据此计算.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理和线段的和差求出，再利用勾股定理求出OP的长即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理的实际应用；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，
∵AB=2，BC= 2 ，
∴EB=AB=1，OE=BC=，
在Rt△OEB中，OB==2，
∴OB=2BE，
∴∠BOE=30°，
∴∠AOB=2∠BOE=60°，
∴的度数为300°，
∴改建后门洞的圆弧长==m.
故答案为：C.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，根据垂径定理和矩形的性质求出AB和BC长，再利用勾股定理求出OB长，求出∠BOE=30°，从而得出圆心角∠AOB的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式计算即可.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，交BC于点F.
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1.
在Rt△ACF中， .
∴ .
故答案为：D.
【分析】过点A作AF⊥BC，交BC于点F，由等边三角形的性质可得CF=BF=1，利用勾股定理求出AF=，根据即可求解.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
，，，
，，
由题意得：，
为等边三角形，
，
∴的长为：.
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据直角三角形两锐角互余可得∠A=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=AB=4，由题意可得AC=CD，推出△ACD为等边三角形，得到∠ACD=60°，然后结合弧长公式进行计算.
10．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC
∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
故答案为：B
【分析】利用列表法列出算式，再利用扇形的面积公式和菱形的面积公式求解即可。
11．【答案】30
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：30.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，据此计算.
12．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴
又的半径为1，
的长度=
又，
∴的长度=
∴与的长度之和=，
故答案为：．
【分析】由圆周角定理可得，进而求出的长度和的长度，再根据与的长度之和=的长度-的长度可得答案。
13．【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°.
故答案为：120.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠AOC的度数，再利用邻补角的定义求出∠BOC的度数.
14．【答案】（2，0）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
点的坐标为，
，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又点位于轴正半轴，
点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【分析】（1）连接，先求出OA，再证是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，由点位于轴正半轴可得点的坐标为（2，0）。
15．【答案】7.5
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在Rt△OAG中，由勾股定理可得，
，
即 ，
解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm.
故答案为：7.5.
【分析】设球的半径为rcm，可得OG=（12-r）cm，由垂径定理可得AG=0.5AD=6cm，在中，由勾股定理可得 ，据此建立关于r的方程，解之即可.
16．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB于E，
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长=(cm)，
故答案为：．
【分析】先求出∠A=∠B=30°，再求出OE=30cm，最后利用弧长的公式计算求解即可。
17．【答案】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB=90°，
D为的中点，则∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵，
∴∠CBF=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD、BE，
AB是圆的直径，则∠AEB=90°，
∵∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC，
又∵∠ABF=∠AEB=90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB∶AE=OF∶AB，
∴OB∶4=∶2OB，OB2=9，
OB＞0，则OB=3，
∴的半径为3；
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接AD，先求出∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，即AB⊥BF，从而可得BF是⊙O的切线；
（2）连接AD，BE，先证明△OBF∽△AEB，可得OB∶AE=OF∶AB，再将数据代入求出OB的长即可。
18．【答案】（1）证明：连接OE．
∵，，
∴∠ABC=∠BOE，
∴，
∴∠OED=∠BCD．
∵，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴．
∵EO是的半径，
∴EF是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∵BF=2，．
设的半径为r，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴的半径是3．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合EO是的半径，即可得到EF是的切线；
（2）设的半径为r，则，，，再结合可得，将数据代入可得，再求出r的值即可。
19．【答案】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，
，
，
同理可得：，，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质，再结合圆的性质求解即可；
（2）先求出 ，， 再求出OC//DE，最后证明即可。
20．【答案】（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE.
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC.
∴∠ODA=∠C.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A.
∴∠A=∠C.
∴AB=BC；
（2）解：连接BD，则∠ADB=90°，如图2，
在Rt△ABD中，
∵sinA==，AB=18，
∴BD=6.
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD.
∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，
∴∠A=∠FDB.
∴sin∠A=sin∠FDB.
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF==，
∴BF=2.
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD.
∴=.即：=.
解得：BE=.
∴EF=.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得OD⊥DE，结合BC⊥DE可得OD∥BC，由平行线的性质可得∠ODA=∠C，根据等腰三角形的性质可得∠ODA=∠A，则∠A=∠C，据此证明；
（2）连接BD，则∠ADB=90°，根据三角函数的概念可得BD=6，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，根据等角的余角相等可得∠A=∠FDB，由三角函数的概念可得BF，证明△EBF∽△EOD，根据相似三角形的性质可得BE，然后利用勾股定理计算即可.
21．【答案】（1）解：如下图所示
（2）解：①如下图所示，连接OC、OB
∵BD是的切线
∴
∵是对应的圆周角，是对应的圆心角
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
②如下图所示，连接CE
∵与是对应的圆周角
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
∵
∴
∴的半径为.
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）∵的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.
（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.
22．【答案】（1）解：AC与的位置关系为相切，理由如下，
连接OD，如图所示
∵BD为的角平分线
∴
又∵过点B、D，设半径为r
∴OB=OD=r
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
∵
∴AC与的位置关系为相切.
（2）解：①∵BC=3，
∴
∴
过点D作交于一点F，如图所示
∴CD=DF（角平分线的性质定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，
∴即
∴
∵
∴
∴
∴；
②
∴
∴
猜测
当时
∴
∴
∴.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；锐角三角函数的定义；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线概念得∠ABD=∠CBD，设OB=OD=r，结合等腰三角形性质得∠ODB=∠OBD=∠CBD，推出OD∥BC，结合BC⊥AD可得OD⊥AC，据此证明；
（2）①利用勾股定理可得BD，根据三角函数的概念可得sin∠DBC的值，过点D作DF⊥AB交于一点F，根据角平分线的性质可得CD=DF，则BF=BC=3，OF=3-r，OF=CD=，利用勾股定理可得r，根据平行线的性质可得∠ABC=∠FOD，然后结合三角函数的概念进行解答；②根据三角函数的概念求出cos∠DBC、sin∠DBC、cos∠DBC的值，猜想sin2α=2sinαcosα，令α=30°，求出sin2α、sinα、cosα的值，据此证明.
23．【答案】（1）证明：如图1，连接OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线.
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD.
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP
（3）解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝ ＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5 ，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴ ， 即
∴CP＝ ，
∴AP＝AC+CP＝8+ ＝ ，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴
即
∴AD2＝6× ＝98，
∴AD＝7 ，
∵OE⊥AD，
∴DE＝ AD＝ ，
∴OE＝ ＝ ，
即点O到AD的距离是 .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，则＝，∠BOD＝∠COD＝90°，根据平行线的性质可得∠ODP＝∠BOD＝90°，则OD⊥PD，据此证明；
（2）根据平行线的性质可得∠PDC＝∠BCD，根据圆周角定理可得∠BCD＝∠BAD，则∠BAD＝∠PDC，根据圆内接四边形的性质可得∠ABD+∠ACD＝180°，由邻补角的性质可得∠ACD+∠PCD＝180°，则∠ABD＝∠PCD，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）过点O作OE⊥AD于E，连接OD，根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出BC，由（2）知：△ABD∽△DCP，根据相似三角形的性质可得CP，由AP＝AC+CP可得AP，易证△BAD∽△DAP，根据相似三角形的性质可得AD，由垂径定理可得AE=DE=AD，接下来利用勾股定理就可求出OE.
24．【答案】（1）证明：连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AO=OB，
∵AB⊥CD，
∴AB平分弦CD，AB平分 ，
∴CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，
∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠ECB=∠OCA，
∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：①∵AB=10，CD=6，
∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，
∴在Rt△OCH中， ，
同理利用勾股定理，可求得 ， ，
∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，
在Rt△ECH中， ，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，
∴在Rt△ECO中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，
∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，
∴△PAF∽△HAC，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，
∴△PEF∽△HEC，
∴ ，即 ，
∵HB=1， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故△AEF的面积为 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC、BC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据垂径定理可得CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，根据圆周角定理可得∠BAD=∠BAC=∠DCB，由已知条件知∠ECD=2∠BAD，推出∠BCE=∠BAC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠OCA，则∠ECB=∠OCA，然后结合∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB可推出∠ECB+∠OCB=90°，即CO⊥FC，据此证明；
（2）①在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，利用勾股定理可得OH、BC、AC，然后求出BH、HA，得到HE=BH+BE，根据切线的性质可得∠OCB=90°，然后在Rt△ECH、Rt△ECO中，结合勾股定理就可求出BE，然后根据AE=AB+BE进行计算；
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，易证△PAF∽△HAC，△PEF∽△HEC，根据相似三角形的性质可得PF，然后根据三角形的面积公式进行计算.
1 / 12023年春季湘教版数学九年级下册第二章 《圆》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·铜仁）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA、OB是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°.
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠C=∠AOB，据此计算.
2．（2022·贵阳）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵点E在以BD为直径的圆上，
∴∠BED=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BDA=30°，
∴BE=5.
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°得∠BED=90°，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得出答案.
3．（2022·山西）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接CD，根据圆周角的性质可得，，再利用角的运算可得。
4．（2022·邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，
∴∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=.
故答案为：C.
【分析】作直径AD，连接CD，根据等边三角形的三个角都等于60°，可得∠B=60°，根据圆周角定理可得∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=AD，结合勾股定理求出AD，据此可得⊙O的半径.
5．（2022·株洲）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：△ABC是等边三角形，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠DFE=180°，据此计算.
6．（2022·安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理和线段的和差求出，再利用勾股定理求出OP的长即可。
7．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． m B． m
C． m D．（ +2）m
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理的实际应用；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，
∵AB=2，BC= 2 ，
∴EB=AB=1，OE=BC=，
在Rt△OEB中，OB==2，
∴OB=2BE，
∴∠BOE=30°，
∴∠AOB=2∠BOE=60°，
∴的度数为300°，
∴改建后门洞的圆弧长==m.
故答案为：C.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，根据垂径定理和矩形的性质求出AB和BC长，再利用勾股定理求出OB长，求出∠BOE=30°，从而得出圆心角∠AOB的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式计算即可.
8．（2022·荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，交BC于点F.
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1.
在Rt△ACF中， .
∴ .
故答案为：D.
【分析】过点A作AF⊥BC，交BC于点F，由等边三角形的性质可得CF=BF=1，利用勾股定理求出AF=，根据即可求解.
9．（2022·黄冈）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
，，，
，，
由题意得：，
为等边三角形，
，
∴的长为：.
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据直角三角形两锐角互余可得∠A=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=AB=4，由题意可得AC=CD，推出△ACD为等边三角形，得到∠ACD=60°，然后结合弧长公式进行计算.
10．（2022·山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC
∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
故答案为：B
【分析】利用列表法列出算式，再利用扇形的面积公式和菱形的面积公式求解即可。
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·柳州）如图，点 ， ， 在 上， ，则 的度数是
【答案】30
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：30.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，据此计算.
12．（2022·吉林）如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 ．（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴
又的半径为1，
的长度=
又，
∴的长度=
∴与的长度之和=，
故答案为：．
【分析】由圆周角定理可得，进而求出的长度和的长度，再根据与的长度之和=的长度-的长度可得答案。
13．（2022·永州）如图，是的直径，点、在上，，则 度.
【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°.
故答案为：120.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠AOC的度数，再利用邻补角的定义求出∠BOC的度数.
14．（2022·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为 ．
【答案】（2，0）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
点的坐标为，
，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又点位于轴正半轴，
点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【分析】（1）连接，先求出OA，再证是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，由点位于轴正半轴可得点的坐标为（2，0）。
15．（2022·荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.
【答案】7.5
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在Rt△OAG中，由勾股定理可得，
，
即 ，
解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm.
故答案为：7.5.
【分析】设球的半径为rcm，可得OG=（12-r）cm，由垂径定理可得AG=0.5AD=6cm，在中，由勾股定理可得 ，据此建立关于r的方程，解之即可.
16．（2022·青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB于E，
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长=(cm)，
故答案为：．
【分析】先求出∠A=∠B=30°，再求出OE=30cm，最后利用弧长的公式计算求解即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·锦州）如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB=90°，
D为的中点，则∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵，
∴∠CBF=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD、BE，
AB是圆的直径，则∠AEB=90°，
∵∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC，
又∵∠ABF=∠AEB=90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB∶AE=OF∶AB，
∴OB∶4=∶2OB，OB2=9，
OB＞0，则OB=3，
∴的半径为3；
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接AD，先求出∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，即AB⊥BF，从而可得BF是⊙O的切线；
（2）连接AD，BE，先证明△OBF∽△AEB，可得OB∶AE=OF∶AB，再将数据代入求出OB的长即可。
18．（2022·鞍山）如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OE．
∵，，
∴∠ABC=∠BOE，
∴，
∴∠OED=∠BCD．
∵，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴．
∵EO是的半径，
∴EF是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∵BF=2，．
设的半径为r，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴的半径是3．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合EO是的半径，即可得到EF是的切线；
（2）设的半径为r，则，，，再结合可得，将数据代入可得，再求出r的值即可。
19．（2022·北京市）如图，是的直径，是的一条弦，连接
（1）求证：
（2）连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【答案】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，
，
，
同理可得：，，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质，再结合圆的性质求解即可；
（2）先求出 ，， 再求出OC//DE，最后证明即可。
20．（2022·铜仁）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.
（1）求证：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF的长.
【答案】（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE.
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC.
∴∠ODA=∠C.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A.
∴∠A=∠C.
∴AB=BC；
（2）解：连接BD，则∠ADB=90°，如图2，
在Rt△ABD中，
∵sinA==，AB=18，
∴BD=6.
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD.
∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，
∴∠A=∠FDB.
∴sin∠A=sin∠FDB.
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF==，
∴BF=2.
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD.
∴=.即：=.
解得：BE=.
∴EF=.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得OD⊥DE，结合BC⊥DE可得OD∥BC，由平行线的性质可得∠ODA=∠C，根据等腰三角形的性质可得∠ODA=∠A，则∠A=∠C，据此证明；
（2）连接BD，则∠ADB=90°，根据三角函数的概念可得BD=6，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，根据等角的余角相等可得∠A=∠FDB，由三角函数的概念可得BF，证明△EBF∽△EOD，根据相似三角形的性质可得BE，然后利用勾股定理计算即可.
21．（2022·黔东南）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点.
①求证：；
②若，，求的半径.
【答案】（1）解：如下图所示
（2）解：①如下图所示，连接OC、OB
∵BD是的切线
∴
∵是对应的圆周角，是对应的圆心角
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
②如下图所示，连接CE
∵与是对应的圆周角
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
∵
∴
∴的半径为.
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）∵的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.
（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.
22．（2022·娄底）如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点.
（1）判定与的位置关系，为什么？
（2）若，，
①求、的值；
②试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证.
【答案】（1）解：AC与的位置关系为相切，理由如下，
连接OD，如图所示
∵BD为的角平分线
∴
又∵过点B、D，设半径为r
∴OB=OD=r
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
∵
∴AC与的位置关系为相切.
（2）解：①∵BC=3，
∴
∴
过点D作交于一点F，如图所示
∴CD=DF（角平分线的性质定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，
∴即
∴
∵
∴
∴
∴；
②
∴
∴
猜测
当时
∴
∴
∴.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；锐角三角函数的定义；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线概念得∠ABD=∠CBD，设OB=OD=r，结合等腰三角形性质得∠ODB=∠OBD=∠CBD，推出OD∥BC，结合BC⊥AD可得OD⊥AC，据此证明；
（2）①利用勾股定理可得BD，根据三角函数的概念可得sin∠DBC的值，过点D作DF⊥AB交于一点F，根据角平分线的性质可得CD=DF，则BF=BC=3，OF=3-r，OF=CD=，利用勾股定理可得r，根据平行线的性质可得∠ABC=∠FOD，然后结合三角函数的概念进行解答；②根据三角函数的概念求出cos∠DBC、sin∠DBC、cos∠DBC的值，猜想sin2α=2sinαcosα，令α=30°，求出sin2α、sinα、cosα的值，据此证明.
23．（2022·遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离.
【答案】（1）证明：如图1，连接OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线.
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD.
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP
（3）解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝ ＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5 ，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴ ， 即
∴CP＝ ，
∴AP＝AC+CP＝8+ ＝ ，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴
即
∴AD2＝6× ＝98，
∴AD＝7 ，
∵OE⊥AD，
∴DE＝ AD＝ ，
∴OE＝ ＝ ，
即点O到AD的距离是 .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，则＝，∠BOD＝∠COD＝90°，根据平行线的性质可得∠ODP＝∠BOD＝90°，则OD⊥PD，据此证明；
（2）根据平行线的性质可得∠PDC＝∠BCD，根据圆周角定理可得∠BCD＝∠BAD，则∠BAD＝∠PDC，根据圆内接四边形的性质可得∠ABD+∠ACD＝180°，由邻补角的性质可得∠ACD+∠PCD＝180°，则∠ABD＝∠PCD，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）过点O作OE⊥AD于E，连接OD，根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出BC，由（2）知：△ABD∽△DCP，根据相似三角形的性质可得CP，由AP＝AC+CP可得AP，易证△BAD∽△DAP，根据相似三角形的性质可得AD，由垂径定理可得AE=DE=AD，接下来利用勾股定理就可求出OE.
24．（2022·德阳）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足是点 ，过点 作直线分别与 ， 的延长线交于点 ， ，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）如果 ， ，
①求 的长；
②求 的面积.
【答案】（1）证明：连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AO=OB，
∵AB⊥CD，
∴AB平分弦CD，AB平分 ，
∴CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，
∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠ECB=∠OCA，
∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：①∵AB=10，CD=6，
∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，
∴在Rt△OCH中， ，
同理利用勾股定理，可求得 ， ，
∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，
在Rt△ECH中， ，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，
∴在Rt△ECO中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，
∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，
∴△PAF∽△HAC，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，
∴△PEF∽△HEC，
∴ ，即 ，
∵HB=1， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故△AEF的面积为 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC、BC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据垂径定理可得CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，根据圆周角定理可得∠BAD=∠BAC=∠DCB，由已知条件知∠ECD=2∠BAD，推出∠BCE=∠BAC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠OCA，则∠ECB=∠OCA，然后结合∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB可推出∠ECB+∠OCB=90°，即CO⊥FC，据此证明；
（2）①在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，利用勾股定理可得OH、BC、AC，然后求出BH、HA，得到HE=BH+BE，根据切线的性质可得∠OCB=90°，然后在Rt△ECH、Rt△ECO中，结合勾股定理就可求出BE，然后根据AE=AB+BE进行计算；
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，易证△PAF∽△HAC，△PEF∽△HEC，根据相似三角形的性质可得PF，然后根据三角形的面积公式进行计算.
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