2023年春季湘教版数学九年级下册第三章 《投影与视图》单元检测A
一、单选题
1．（2020九下·贵阳开学考）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
2．（2019九下·沙雅期中）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
3．（2021九下·松山期中）赤峰市某青少年宫门前有一座正方体雕塑，它的每个面上都有一个汉字，如图是该正方体模型的展开图，那么在正方体中，与“英”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．塞 B．外 C．少 D．年
4．（2020九下·江阴期中）将如图的正方形沿图中粗黑的棱剪开，把它展开成平面图形， 则图中的线段AB与CD在展开图中，它们所在的直线之间的位置关系（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交成60°角 D．相交成45°角
5．（2020九下·广陵月考）如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（ ）
A．24πcm2 B．36πcm2 C．12πcm2 D．48πcm2
6．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第三章 投影与三视图 单元检测）如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
7．（2021九下·北京开学考）如图，下面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是（ ）
A．仅图① B．图①和图② C．图②和图③ D．图①和图③
8．（2022九下·临沭期中）如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
9．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册25.2三视图 第2课时 棱柱及由视图描述几何体 同步训练）已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3
10．一些完全相同的小正方形搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（ ）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
二、填空题
11．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.1.1 投影—投影与平行投影 同步练习）如图，林林在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为
12．（平行投影+++++++++++++++++++++++++++ ）如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为 ．
13．（2021九下·重庆开学考）有如图四张卡片，除卡片上的图案不同其余完全相同，现把这些卡片有图案的一面朝下搅匀，随机抽出一张，上面的图案能够围成一个正方体的概率是 .
14．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.4 简单几何体的表面展开图 同步练习）如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体后，标注了字母A的面是正方体的正面，若正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，则x的值是 .
15．（2018九下·梁子湖期中）如图，是一圆锥的主视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数为 .
16．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第三章投影与视图 单元卷）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为 cm．
三、解答题
17．（2020九下·广州月考）如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4 米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
18．（2017·永康模拟）一张宽为6cm的平行四边形纸带ABCD如图1所示，AB=10cm，小明用这张纸带将底面周长为10cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）．小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的侧面展开进行分析．
（1）若纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满．则纸带AD的长度为 cm；
（2）若AD=100cm，纸带在侧面缠绕多圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满．则这个直三棱柱纸盒的高度是 cm．
19．（2012·无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？
20．（2021·淮南模拟）如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积．
21．（2021·河南模拟）如图，某人在山坡坡脚 处测得一座建筑物顶点 的仰角为 ，沿山坡向上走到 处再测得该建筑物顶点 的仰角为 .已知 米， ， 的延长线交于点 ，山坡坡度为 （即 ）.注：取 为 .
（1）求该建筑物的高度（即 的长）.
（2）求此人所在位置点 的铅直高度（测倾器的高度忽略不计）.
（3）若某一时刻， 米长木棒竖放时，在太阳光线下的水平影长是 米，则同一时刻该座建筑物顶点 投影与山坡上点 重合，求点 到该座建筑物的水平距离.
22．（2020·长沙模拟）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
23．（2022·岐山模拟）有两张长12cm，宽10cm的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个.
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 （填“图1”或“图2”）.
（2）已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积.
（3）已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2，则剪去的小正方形的边长为多少cm？
24．（2018·宁夏）空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示.
若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，写出这种码放方式的有序数组，组成这个几何体的单位长方体的个数为多少个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是哪些；（只写序号）
①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.
③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同.
④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.
⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数.
（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
几何体 有序数组 单位长方体的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面积
(1，1，1) 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3
(1，2，1) 2 4 2 4 4S1+2S2+4S3
(3，1，1) 3 2 6 6 2S1+6S2+6S3
(2，1，2) 4 4 8 4 4S1+8S2+4S3
(1，5，1) 5 10 2 10 10S1+2S2+10S3
(1，2，3) 6 12 6 4 12S1+6S2+4S3
(1，1，7) 7 14 14 2 14S1+14S2+2S3
(2，2，2) 8 8 8 8 8S1+8S2+8S3
… … … … … …
根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）；（用x、y、z、S1、S2、S3表示）
（4）当S1=2，S2=3，S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，
所以A，C，D都属于中心投影，只有B属于平行投影.
故答案为：B.
【分析】投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，由慨念进行逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴ = = =
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比= =2：5.
故答案为：B.
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
3．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“英”与“外”是对面，
“雄”与“少”是对面，
“塞”与“年”是对面，
故答案为：B．
【分析】利用正方体展开图的特征求解即可。
4．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：在平面展开图中，AB∥CD.
故答案为：A.
【分析】根据几何体展开图的特点即可判断得出答案，适当的时候，同学们还可以动手操作一下就会赫然开朗.
5．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据侧面积公式可得π×6×4＝24πcm2.
故答案为：A.
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高.
6．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
【分析】该投影是中心投影， 小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处 的过程中，光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短。
7．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：只有图①、图③能够折叠围成一个三棱锥．
故答案为：D．
【分析】由平面图形的折叠及三棱锥的展开图解题．
8．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图，
得：
OB=3cm，OA=4cm，
由勾股定理，得AB==5cm，
圆锥的侧面积×6π×5=15π（cm2），
圆锥的底面积π×（）2=9π（cm2），
圆锥的表面积15π+9π=24π（cm2），
故答案为：B．
【分析】由三视图可知此工件是个圆锥，根据圆锥的表面积=底面积+侧面积进行计算即可.
9．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6cm，6cm，3cm的长方体截去一个三条侧棱长分别为4cm，4cm，3cm的一个三棱锥（长方体的一个角）后的图形，如图所示．
∴该几何体的体积V=6×6×3-
=100（cm3）．
故答案为B。
【分析】从三视图，若不看每个图中斜的实线，我们会发现该几何体是一个长方体；根据斜线的位置可以确定该几何体是由一个长方体截掉一个棱锥所得到的。由三视图得到长方体的长、宽、高，以及三棱锥的底面三角形的底与高，和三棱锥的高。
10．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】从正面看得到的图形表现了几何体的长与高，从左面看得到的图形表现了几何体的宽和高，得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数，进而得到相应的可能情况总数即可．
【解答】由2个视图可得该组合几何体有3行，3列，所以最底层最多有9个正方体，最少有3个正方体；第二层最多有4个正方体，最少有2个正方体；第3层最多有1个正方体，最少有1个正方体，所以组合几何体最多有9+4+1=14个正方体，最少有3+2+1=6个正方体．
故正方体可能的个数在6和14之间，共有9种可能的情况，
故选C．
【点评】考查由视图判断几何体；得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数是解决本题的关键．
11．【答案】4m
【知识点】锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【解答】解：根据题意构建如图所示的三角形：
∴∠ECF=90°，ED=2 m，DF=8 m，CD为树高.
∵∠1+∠2=∠E+∠2=90°，
∴∠1=∠E.
∴tan E=tan∠ 1，
即 = ，
解得CD=4 m.
【分析】根据题意构建如图所示的三角形：根据同角的余角相等，再由等角的正切相等得 ，解之即可得出答案.
12．【答案】④①③②
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
则四幅图按先后顺序排列应是④①③②．
故答案为：④①③②．
【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序．
13．【答案】
【知识点】几何体的展开图；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：依题意得：能围成正方体的有3种，
故上面的图案能够围成一个正方体的概率是：
故答案为：
【分析】能围成正方体的有3种，然后根据概率公式求概率即可.
14．【答案】1
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体展开图特点可知：x=3x-2，
∴x=1.
故答案为：1.
【分析】根据正方体展开图特点可知左右两面上的数字，根据题意列出方程解之即可得出答案.
15．【答案】180°
【知识点】圆锥的计算；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为4，
∴圆锥的底面周长为4π，
∵圆锥的高是2 ，
∴圆锥的母线长为 ，
设扇形的圆心角为n°，
解得n=180.
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为180°.
故答案为：180°.
【分析】主视图反应的是圆锥的高和底面圆的直径，故圆锥的底面直径为4，圆锥的高是2 ，又圆锥的高，母线，底面圆的半径围成一个直角三角形，利用勾股定理即可算出圆锥的母线长，进而根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长即可列出方程，求解即可。
16．【答案】
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】如图，过E作ED⊥FG，
∵EF=8cm，∠EFG=45°，
∴FD=EF×cos45°=8×=。
故答案为：。
【分析】由视图可知，AB长即为DF长。
17．【答案】解：延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CD 米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD =4，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ ，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴ ，即 ，
∴AB=11米．
答：旗杆的高度为11米．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】 延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， 证出 △EDF∽△BAF， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
18．【答案】（1）25
（2）60
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）易得AF=DF，FB=DH，过点B作BI⊥AD，垂足为I，
设AF=x，则HF=FB= = x，
在直角△BEH中，由勾股定理得到：（ x）2+102=x2，
解得x= ，
则AD=2x=25．
故答案是：25；（2）直三棱柱的侧面积等于平行四边形ABCD的面积，则直三棱柱的高h= =60（cm），
故答案是：60．
【分析】（1）由题意可知直三棱柱的侧面积等于平行四边形ABCD的面积，则易得AF=DF，FB=DH，可设AF=x，运用等积法求出BF，从而由勾股定理构造方程求得x的值即可；
（2）直三棱柱的侧面积等于平行四边形ABCD的面积．
19．【答案】（1）解：根据题意，设AE=BF=x（cm），折成的包装盒恰好是个正方体，
知这个正方体的底面边长NQ=ME= x，则QE=QF= x，故EF= ME=2x，
∵正方形纸片ABCD边长为24cm，
∴x+2x+x=24，
解得：x=6，
则 正方体的底面边长a=6 ，
V=a3= =432 （cm3）；
答：这个包装盒的体积是432 cm3
（2）解：设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= ，h= ，
∴S=4ah+a2=4 x （12﹣x）+ =﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，
∵0＜x＜12，
∴当x=8时，S取得最大值384cm2．
【知识点】几何体的展开图；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长NQ=ME= x，EF= ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．
20．【答案】（1）解：根据主视图和左视图是三角形可知该几何体是椎体，根据俯视图是圆，可得几何体为圆锥，
（2）解：圆锥的表面积=π 22+ 2π 6 2=16π．
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据主视图和左视图是三角形可知该几何体是椎体，结合俯视图是圆可得出圆锥；
（2）圆锥的表面积 =底面积+侧面积，据此计算即可.
21．【答案】（1）解：∵∠ACB=60°，∠ABC=90°，BC=80，
∴
∴ .
（2）解：过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC，
∴四边形BEPF是矩形.
∴PE=BF，PF=BE.
设PE=x米，则BF=PE=x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD ，
∴CE=3x.
∵在Rt△PAF中，∠APF=45°，
∴AF=AB﹣BF=136﹣x，PF=BE=BC+CE=80+3x.
又∵AF=PF，
∴136﹣x=80+3x，
解得：x=14，
∴人所在的位置点P的铅直高度为14米.
（3）解：设点M的铅直高度为a米，得
，解得 ，
∴点M到该座建筑物的水平距离= 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由即可求出结论；
（2）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，可得四边形BEPF是矩形，从而得出PE=BF，PF=BE，设PE=x米，则BF=PE=x米，在Rt△PCE中，由于tan∠PCD ，可得CE=3x. 易求△PAF为等腰直角三角形，可得AF=AB﹣BF=136﹣x，PF=BE=BC+CE=80+3x，由AF=PF可建立关于x方程，求出x值即可；
（3）根据同一时刻，同一地点，同一平面上物高与影长成比例建立方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；
（2）解：根据题意画出图形，如图所示，
根据平行投影可知： ＝ ，DE＝0.3，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18，
∵四边形DGFH是平行四边形，
∴FH＝DG＝0.2，
∵AE＝4.42，
∴AF＝AE+EH+FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，
∵ ＝ ，
∴AB＝ ＝8（米）．
答：树的高度为8米．
（3）解：由（2）可知：
AF＝4.8（米），
答：树的影子长度是4.8米．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；（2）根据题意可得 ＝ ，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF，所以可求大树的高度；（3）结合（2）即可得树的影长．
23．【答案】（1）图2
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，做成的纸盒的底面积=（12-3）（10-3）=63（cm2）；
（3）解：设剪去的小正方形的边长为x cm，则有（12-2x）（10-2x）=24 2，
解得x=2或9（9舍弃），
∴小正方形的边长为2cm.
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2.
故答案为：图2.
【分析】（1）根据长方体展开图的特点进行判断；
（2）由图形可得：纸盒的底面长为(12-2×1.5)cm，宽为(10-2×1.5)cm，然后根据矩形的面积公式进行计算；
（3）设剪去的小正方形的边长为x cm，则纸盒的底面长为(12-2x)cm，宽为(10-2x)cm，然后根据矩形的面积公式进行计算.
24．【答案】（1）解：这种码放方式的有序数组为 ，3， ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 个，
故答案为 ，3， ，12；
（2）解：正确的有①②⑤．
故答案为①②⑤；
（3）解：
（4）解：当 ， ， 时
欲使 的值最小，不难看出 、 、 应满足 、 、 为正整数）．
在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为 ，1， ， ，2， ， ，3， ， ，2， ．
而 ， ， ，
所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为： ，2， ，
最小面积为 ．
【知识点】由三视图判断几何体；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）由简单几何体组合的三视图判断几何体，从主视图看共码放了3列2层，从左视图看码放了2排2层，从俯视图看每层有6个单位长方体，从而根据定义得出 这种码放方式的有序数组为 ，3， ，进而即可算出组成这个几何体的单位长方体的个数 ；
（2）根据有序数组的定义即可得出： 每一个有序数组（x，y，z）与一种几何体的码放方式一一对应， 有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数；故即使有序数组不同，码放的几何体的单位长方体个数也可能相同，整个几何体的体积也可能相同；根据长方体的表面积的计算方法即可得出 有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数；
（3）探寻图形规律的题，通过观察表格中各个有序数组及该几何体的表面积即可得出通用公式： ；
（4）该题就是求 的值最小，不难看出 、 、 应满足 、 、 为正整数） ，然后找出由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组 ，再根据表面积公式一一求出其表面积，再比较大小即可得出答案。
1 / 12023年春季湘教版数学九年级下册第三章 《投影与视图》单元检测A
一、单选题
1．（2020九下·贵阳开学考）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，
所以A，C，D都属于中心投影，只有B属于平行投影.
故答案为：B.
【分析】投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，由慨念进行逐一判断即可.
2．（2019九下·沙雅期中）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴ = = =
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比= =2：5.
故答案为：B.
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
3．（2021九下·松山期中）赤峰市某青少年宫门前有一座正方体雕塑，它的每个面上都有一个汉字，如图是该正方体模型的展开图，那么在正方体中，与“英”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．塞 B．外 C．少 D．年
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“英”与“外”是对面，
“雄”与“少”是对面，
“塞”与“年”是对面，
故答案为：B．
【分析】利用正方体展开图的特征求解即可。
4．（2020九下·江阴期中）将如图的正方形沿图中粗黑的棱剪开，把它展开成平面图形， 则图中的线段AB与CD在展开图中，它们所在的直线之间的位置关系（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交成60°角 D．相交成45°角
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：在平面展开图中，AB∥CD.
故答案为：A.
【分析】根据几何体展开图的特点即可判断得出答案，适当的时候，同学们还可以动手操作一下就会赫然开朗.
5．（2020九下·广陵月考）如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（ ）
A．24πcm2 B．36πcm2 C．12πcm2 D．48πcm2
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据侧面积公式可得π×6×4＝24πcm2.
故答案为：A.
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高.
6．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第三章 投影与三视图 单元检测）如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
【分析】该投影是中心投影， 小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处 的过程中，光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短。
7．（2021九下·北京开学考）如图，下面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是（ ）
A．仅图① B．图①和图② C．图②和图③ D．图①和图③
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：只有图①、图③能够折叠围成一个三棱锥．
故答案为：D．
【分析】由平面图形的折叠及三棱锥的展开图解题．
8．（2022九下·临沭期中）如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图，
得：
OB=3cm，OA=4cm，
由勾股定理，得AB==5cm，
圆锥的侧面积×6π×5=15π（cm2），
圆锥的底面积π×（）2=9π（cm2），
圆锥的表面积15π+9π=24π（cm2），
故答案为：B．
【分析】由三视图可知此工件是个圆锥，根据圆锥的表面积=底面积+侧面积进行计算即可.
9．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册25.2三视图 第2课时 棱柱及由视图描述几何体 同步训练）已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6cm，6cm，3cm的长方体截去一个三条侧棱长分别为4cm，4cm，3cm的一个三棱锥（长方体的一个角）后的图形，如图所示．
∴该几何体的体积V=6×6×3-
=100（cm3）．
故答案为B。
【分析】从三视图，若不看每个图中斜的实线，我们会发现该几何体是一个长方体；根据斜线的位置可以确定该几何体是由一个长方体截掉一个棱锥所得到的。由三视图得到长方体的长、宽、高，以及三棱锥的底面三角形的底与高，和三棱锥的高。
10．一些完全相同的小正方形搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（ ）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】从正面看得到的图形表现了几何体的长与高，从左面看得到的图形表现了几何体的宽和高，得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数，进而得到相应的可能情况总数即可．
【解答】由2个视图可得该组合几何体有3行，3列，所以最底层最多有9个正方体，最少有3个正方体；第二层最多有4个正方体，最少有2个正方体；第3层最多有1个正方体，最少有1个正方体，所以组合几何体最多有9+4+1=14个正方体，最少有3+2+1=6个正方体．
故正方体可能的个数在6和14之间，共有9种可能的情况，
故选C．
【点评】考查由视图判断几何体；得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数是解决本题的关键．
二、填空题
11．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.1.1 投影—投影与平行投影 同步练习）如图，林林在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为
【答案】4m
【知识点】锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【解答】解：根据题意构建如图所示的三角形：
∴∠ECF=90°，ED=2 m，DF=8 m，CD为树高.
∵∠1+∠2=∠E+∠2=90°，
∴∠1=∠E.
∴tan E=tan∠ 1，
即 = ，
解得CD=4 m.
【分析】根据题意构建如图所示的三角形：根据同角的余角相等，再由等角的正切相等得 ，解之即可得出答案.
12．（平行投影+++++++++++++++++++++++++++ ）如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为 ．
【答案】④①③②
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
则四幅图按先后顺序排列应是④①③②．
故答案为：④①③②．
【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序．
13．（2021九下·重庆开学考）有如图四张卡片，除卡片上的图案不同其余完全相同，现把这些卡片有图案的一面朝下搅匀，随机抽出一张，上面的图案能够围成一个正方体的概率是 .
【答案】
【知识点】几何体的展开图；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：依题意得：能围成正方体的有3种，
故上面的图案能够围成一个正方体的概率是：
故答案为：
【分析】能围成正方体的有3种，然后根据概率公式求概率即可.
14．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.4 简单几何体的表面展开图 同步练习）如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体后，标注了字母A的面是正方体的正面，若正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，则x的值是 .
【答案】1
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体展开图特点可知：x=3x-2，
∴x=1.
故答案为：1.
【分析】根据正方体展开图特点可知左右两面上的数字，根据题意列出方程解之即可得出答案.
15．（2018九下·梁子湖期中）如图，是一圆锥的主视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数为 .
【答案】180°
【知识点】圆锥的计算；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为4，
∴圆锥的底面周长为4π，
∵圆锥的高是2 ，
∴圆锥的母线长为 ，
设扇形的圆心角为n°，
解得n=180.
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为180°.
故答案为：180°.
【分析】主视图反应的是圆锥的高和底面圆的直径，故圆锥的底面直径为4，圆锥的高是2 ，又圆锥的高，母线，底面圆的半径围成一个直角三角形，利用勾股定理即可算出圆锥的母线长，进而根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长即可列出方程，求解即可。
16．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第三章投影与视图 单元卷）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为 cm．
【答案】
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】如图，过E作ED⊥FG，
∵EF=8cm，∠EFG=45°，
∴FD=EF×cos45°=8×=。
故答案为：。
【分析】由视图可知，AB长即为DF长。
三、解答题
17．（2020九下·广州月考）如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4 米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
【答案】解：延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CD 米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD =4，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ ，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴ ，即 ，
∴AB=11米．
答：旗杆的高度为11米．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】 延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， 证出 △EDF∽△BAF， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
18．（2017·永康模拟）一张宽为6cm的平行四边形纸带ABCD如图1所示，AB=10cm，小明用这张纸带将底面周长为10cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）．小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的侧面展开进行分析．
（1）若纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满．则纸带AD的长度为 cm；
（2）若AD=100cm，纸带在侧面缠绕多圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满．则这个直三棱柱纸盒的高度是 cm．
【答案】（1）25
（2）60
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）易得AF=DF，FB=DH，过点B作BI⊥AD，垂足为I，
设AF=x，则HF=FB= = x，
在直角△BEH中，由勾股定理得到：（ x）2+102=x2，
解得x= ，
则AD=2x=25．
故答案是：25；（2）直三棱柱的侧面积等于平行四边形ABCD的面积，则直三棱柱的高h= =60（cm），
故答案是：60．
【分析】（1）由题意可知直三棱柱的侧面积等于平行四边形ABCD的面积，则易得AF=DF，FB=DH，可设AF=x，运用等积法求出BF，从而由勾股定理构造方程求得x的值即可；
（2）直三棱柱的侧面积等于平行四边形ABCD的面积．
19．（2012·无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？
【答案】（1）解：根据题意，设AE=BF=x（cm），折成的包装盒恰好是个正方体，
知这个正方体的底面边长NQ=ME= x，则QE=QF= x，故EF= ME=2x，
∵正方形纸片ABCD边长为24cm，
∴x+2x+x=24，
解得：x=6，
则 正方体的底面边长a=6 ，
V=a3= =432 （cm3）；
答：这个包装盒的体积是432 cm3
（2）解：设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= ，h= ，
∴S=4ah+a2=4 x （12﹣x）+ =﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，
∵0＜x＜12，
∴当x=8时，S取得最大值384cm2．
【知识点】几何体的展开图；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长NQ=ME= x，EF= ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．
20．（2021·淮南模拟）如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积．
【答案】（1）解：根据主视图和左视图是三角形可知该几何体是椎体，根据俯视图是圆，可得几何体为圆锥，
（2）解：圆锥的表面积=π 22+ 2π 6 2=16π．
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据主视图和左视图是三角形可知该几何体是椎体，结合俯视图是圆可得出圆锥；
（2）圆锥的表面积 =底面积+侧面积，据此计算即可.
21．（2021·河南模拟）如图，某人在山坡坡脚 处测得一座建筑物顶点 的仰角为 ，沿山坡向上走到 处再测得该建筑物顶点 的仰角为 .已知 米， ， 的延长线交于点 ，山坡坡度为 （即 ）.注：取 为 .
（1）求该建筑物的高度（即 的长）.
（2）求此人所在位置点 的铅直高度（测倾器的高度忽略不计）.
（3）若某一时刻， 米长木棒竖放时，在太阳光线下的水平影长是 米，则同一时刻该座建筑物顶点 投影与山坡上点 重合，求点 到该座建筑物的水平距离.
【答案】（1）解：∵∠ACB=60°，∠ABC=90°，BC=80，
∴
∴ .
（2）解：过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC，
∴四边形BEPF是矩形.
∴PE=BF，PF=BE.
设PE=x米，则BF=PE=x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD ，
∴CE=3x.
∵在Rt△PAF中，∠APF=45°，
∴AF=AB﹣BF=136﹣x，PF=BE=BC+CE=80+3x.
又∵AF=PF，
∴136﹣x=80+3x，
解得：x=14，
∴人所在的位置点P的铅直高度为14米.
（3）解：设点M的铅直高度为a米，得
，解得 ，
∴点M到该座建筑物的水平距离= 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由即可求出结论；
（2）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，可得四边形BEPF是矩形，从而得出PE=BF，PF=BE，设PE=x米，则BF=PE=x米，在Rt△PCE中，由于tan∠PCD ，可得CE=3x. 易求△PAF为等腰直角三角形，可得AF=AB﹣BF=136﹣x，PF=BE=BC+CE=80+3x，由AF=PF可建立关于x方程，求出x值即可；
（3）根据同一时刻，同一地点，同一平面上物高与影长成比例建立方程，求解即可.
22．（2020·长沙模拟）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
【答案】（1）解：小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；
（2）解：根据题意画出图形，如图所示，
根据平行投影可知： ＝ ，DE＝0.3，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18，
∵四边形DGFH是平行四边形，
∴FH＝DG＝0.2，
∵AE＝4.42，
∴AF＝AE+EH+FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，
∵ ＝ ，
∴AB＝ ＝8（米）．
答：树的高度为8米．
（3）解：由（2）可知：
AF＝4.8（米），
答：树的影子长度是4.8米．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；（2）根据题意可得 ＝ ，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF，所以可求大树的高度；（3）结合（2）即可得树的影长．
23．（2022·岐山模拟）有两张长12cm，宽10cm的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个.
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 （填“图1”或“图2”）.
（2）已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积.
（3）已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2，则剪去的小正方形的边长为多少cm？
【答案】（1）图2
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，做成的纸盒的底面积=（12-3）（10-3）=63（cm2）；
（3）解：设剪去的小正方形的边长为x cm，则有（12-2x）（10-2x）=24 2，
解得x=2或9（9舍弃），
∴小正方形的边长为2cm.
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2.
故答案为：图2.
【分析】（1）根据长方体展开图的特点进行判断；
（2）由图形可得：纸盒的底面长为(12-2×1.5)cm，宽为(10-2×1.5)cm，然后根据矩形的面积公式进行计算；
（3）设剪去的小正方形的边长为x cm，则纸盒的底面长为(12-2x)cm，宽为(10-2x)cm，然后根据矩形的面积公式进行计算.
24．（2018·宁夏）空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示.
若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，写出这种码放方式的有序数组，组成这个几何体的单位长方体的个数为多少个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是哪些；（只写序号）
①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.
③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同.
④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.
⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数.
（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
几何体 有序数组 单位长方体的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面积
(1，1，1) 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3
(1，2，1) 2 4 2 4 4S1+2S2+4S3
(3，1，1) 3 2 6 6 2S1+6S2+6S3
(2，1，2) 4 4 8 4 4S1+8S2+4S3
(1，5，1) 5 10 2 10 10S1+2S2+10S3
(1，2，3) 6 12 6 4 12S1+6S2+4S3
(1，1，7) 7 14 14 2 14S1+14S2+2S3
(2，2，2) 8 8 8 8 8S1+8S2+8S3
… … … … … …
根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）；（用x、y、z、S1、S2、S3表示）
（4）当S1=2，S2=3，S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）
【答案】（1）解：这种码放方式的有序数组为 ，3， ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 个，
故答案为 ，3， ，12；
（2）解：正确的有①②⑤．
故答案为①②⑤；
（3）解：
（4）解：当 ， ， 时
欲使 的值最小，不难看出 、 、 应满足 、 、 为正整数）．
在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为 ，1， ， ，2， ， ，3， ， ，2， ．
而 ， ， ，
所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为： ，2， ，
最小面积为 ．
【知识点】由三视图判断几何体；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）由简单几何体组合的三视图判断几何体，从主视图看共码放了3列2层，从左视图看码放了2排2层，从俯视图看每层有6个单位长方体，从而根据定义得出 这种码放方式的有序数组为 ，3， ，进而即可算出组成这个几何体的单位长方体的个数 ；
（2）根据有序数组的定义即可得出： 每一个有序数组（x，y，z）与一种几何体的码放方式一一对应， 有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数；故即使有序数组不同，码放的几何体的单位长方体个数也可能相同，整个几何体的体积也可能相同；根据长方体的表面积的计算方法即可得出 有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数；
（3）探寻图形规律的题，通过观察表格中各个有序数组及该几何体的表面积即可得出通用公式： ；
（4）该题就是求 的值最小，不难看出 、 、 应满足 、 、 为正整数） ，然后找出由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组 ，再根据表面积公式一一求出其表面积，再比较大小即可得出答案。
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