人教B版（2019）高中数学必修第一册 2.1.3方程组的解集 教学设计

第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.3 方程组的解集教学设计
本节内容为方程组的解集，用信息技术求方程和方程组的解集。
【教学目标】
1、掌握解方程组的方法.
2、判断方程组解集是有限集还是无限集.
3、解读古代数学语境，能正确列出方程组.
【核心素养】
数学抽象：学会消元法解方程组的思想方法。
数学建模：在实际情景中分析问题，构建方程组模型，计算结果，检验结果实际性。
数学运算: 理解集合运算对象，在方程组中有的放矢选择运算法则。
数据分析: 根据方程组未知数的个数和方程的个数，判断方程组的解集为有限解还是无限解。
【教学重点】
1、用消元法解方程组.
2、判断方程组是有限集还是无限集.
3、在古代语境中能正确列出方程组.
【教学难点】
在应用题中正确解读语境，能够列出题目要求的方程组.
回顾初中所学的方程组解法。
一、方程组的解集
【尝试与发现】
因为3-2=1，所以（x，y）=（3，2）是方程x-y=1的解，而且方程x-y=1的解集是无限集。
我们知道，
x-y=1, ①
x+y=3, ②
是一个方程组，而且通过①+②可以消去y，得到x=2；②一①可以消去x，得到y=1，从而得出这个方程组的解为（x，y）=（2，1）.
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。
因此，方程组 x-y=1,
x+y=3, 的解集是
{（x，y）| x-y=1 } ∩ {（x，y）| x+y=3 }={（2，1）}.
由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法。
【情境与问题】
设上禾实一秉x斗，中禾实一秉y斗，下禾实一秉z斗，根据题意，可列方程组
3x+2y+z=39，
2x+3y+z=34，
x+2y+3z=26.
由此可解得这个方程组的解集
【拓展阅读】
【尝试与发现】
【尝试与发现】
（x，y，z）=（3，2，0）和（x，y，x）=（4，4，1）均为上述方程组的解，而且，如果我们将z看成已知数，就可以解得
x=x+3，y=2x+2，
这样一来，方程组的解集可以写成
A={（x，y，z）|x=x+3，y=2x+2，z∈R）.
不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集，这说明，当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
【典型例题】
例1 求方程组的解集.
解 将②代入①，整理得x2+x-2=0，解得x=1或x=-2.
利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1.
所以原方程组的解集为
{（1，2），（-2，-1）}.
例2 求方程组
x2+y2=2, ①
(x-1)2+(y-2)2=1 ②
的解集.
【尝试与发现】
解 由①-②，整理得
x+2y-3=0.③
由③解得x=3-2y.代人①，并整理，得5y2-12y+7=0，解得
y=1或y=
利用③可知，y=1时，x=1；y= 时，x=
因此，原方程组的解集为{（1，1），（ ， ）}
二、用信息技术求方程和方程组的解集
利用计算机软件可以迅速求出方程和方程组的解集。
在动态数学软件GeoGebra①中的“运算区”用solve命令，就可以得到方程和方程组的解集信息。
如下图所示是求解示例，其中第2个示例中的“{}”表示解集为空集，即不存在实数解；第5个示例表示将x，y看成未知数，求解方程组
x-y+z=1，
x+y-3z=5.
其他结果请读者自行尝试与解读.
①GeoGebra是一个开源软件，可以免费下载、使用，软件的用法以及相关课件的下载，请参考本书的教师教学用书或本套教材的官方配套资源网站。
本节内容引用了“消元法”数学思想，重点是如何在特点的语境中列出方程组，需要学生有一定的阅理解能力。