初中数学试卷人教版五四制同步单元卷
一、单选题1
1．在-3，0.3，0，-这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．-3 B．0.3 C．0 D．-
2．（2022九下·衢州开学考）今年的春晚继续拓展中央广播电视总台全媒体融合传播优势，刷新了跨媒体传播纪录.数据显示，春晚跨媒体受众总规模达12.72亿人.其中数据12.72亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九下·衢州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九下·长沙开学考）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． 圆锥 B． 正方体
C． 三棱柱 D． 圆柱
5．（2021九上·舟山期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
B．a为实数，｜a｜＜0
C．打开电视，正在播放动画片
D．任选三角形的两边，其差小于第三边
6．（2022九下·重庆开学考）下面命题中，为真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．弧长相等的弧是等弧
D．平行于同一直线的两直线平行
7．（2021九上·章丘期末）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）cm．
A． B．5 C． D．8
8．（2022九下·重庆开学考）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢 疋，布 疋，依据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题2
9．（2022九下·义乌开学考）分解因式：a2﹣ab＝ ；
10．（2021·泉州模拟）某校数学课外兴趣小组10个同学数学素养测试成绩如图所示，则该兴趣小组10个同学的数学素养测试成绩的众数是 分.
11．（2021·黄石）分式方程 的解是 .
12．（2022九下·义乌开学考）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是 .
13．（2021九上·梁山月考）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程x2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为
14．（2021九上·南海期末）正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(-1， 2)，若，则x的取值范围是 ．
15．（2022九下·温州开学考）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于 .
16．（2021九上·斗门期末）如图，点D为边长是的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ．
三、解答题
17．（2022九下·锦江开学考）计算或解方程
（1）.
（2）（配方法）
18．（2021九上·镇平县期末）先化简，再求值：（1，其中x＝3.
19．（2022·济南模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF．
20．（2022·济南模拟）某校要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表和扇形统计图：
请根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的七年级学生共有 名；
（2）统计图表中，m＝ ；
（3）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是 °；
（4）请估计该校800名七年级学生中睡眠不足7小时的人数．
21．（2022九下·定海开学考）现有三张完全相同的不透明卡片。其正面分别写有数字-1，0，1，把这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上。
（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片的数字为负数的概率；
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求点A在抛物线 上的概率.
22．（2022九下·重庆开学考）如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部 的距离 为10m，此时测得对树的顶端 的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点 距地面1.6m，求树木 的高度（精确到0.1m）．（参考数据： ， ， ， ， ， ）．
23．（2022九下·重庆开学考）如图，已知 ．
（1）请用尺规作图．在 内部找一点 ，使得点 到 、 、 的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
（2）若 的周长为 ，面积为 ，求点 到 的距离．
24．（2022九下·长兴月考）如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径．
25．（2022九下·长兴开学考）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
26．（2022·济南模拟）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，猜想∠ABD和∠ACE的数量关系是（ ），并说明理由；
（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否仍然成立成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．
27．（2022九下·吉林月考）如图，已知；抛物线y= x2+bx+c经过点A（0，2），点C（4，0），且交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求三角形ACM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，若线段O'A’与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵=3，
=0.3，
=0，
，
∴绝对值最小的数是0.
故答案为：C.
【分析】先求出四个数的绝对值，再根据有理数比较大小的方法，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：12.72亿=1272000000=
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A选项：
与
不是同类项，不能合并，故A错误；
B选项：
，故B错误；
C选项：
，故C错误；
D选项：
，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法、幂的乘方分别进行计算，然后判断即可.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B、主视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是矩形，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】分别求出各几何体的主视图，再判断即可.
5．【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A选项，属于随机事件；
B选项，属于不可能事件；
C选项，属于随机事件；
D选项，属于必然事件；
故答案为：D.
【分析】不可能发生的事件，叫做不可能事件；必然会发生的事件，叫做必然事件；可能发生，可能不发生的事件，叫做随机事件；由这三个定义，来判断，得出结果。
6．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；平行四边形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，选项为假命题；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选项为假命题；
C、在等圆或同圆中，弧长相等的弧是等弧，选项为假命题；
D、平行于同一直线的两直线平行，真命题；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据平行四边形的判定定理可判断B；在等圆或同圆中，弧长相等的弧是等弧，据此判断C；平行于同一直线的两直线平行，据此判断D.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
∵∠OBF=∠ODE，∠BOF=∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴，
∵BD==10，
∴BO=5，
∴FO=5×=，
∴EF=2FO=（cm）．
故答案为：C．
【分析】先证明△BOF≌△DOE，可得OE=OF，再证明△BOF∽△BAD，可得，由勾股定理求出BD=10，然后代入比例式求出OF，由EF=2FO即可求解.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有绢 疋，布 疋，依据题意可列方程组为
故答案为：B.
【分析】设有绢x疋，布y疋，根据绵与布30疋可得x+y=30；根据4疋绢价90贯，3疋布价50贯，卖得570贯钱可得x+y=570，联立可得方程组.
9．【答案】a（a-b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2-ab=a（a-b）.
故答案为：a（a-b）.
【分析】提公因式a，即可得出答案.
10．【答案】92
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中92出现次数最多，故众数是92分.
故答案为：92.
【分析】根据众数的定义即可求解.
11．【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得： ，
去括号化简得： ，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的根，
故填：x=3.
【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，即可得到分式方程的解。注意：去分母是在方程两边同时乘以最简公分母，不能漏乘右边的3.
12．【答案】65π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，
∴底面圆周长=2πr=10π
∵ 圆锥的母线长为13cm
∴S=
lR=
×10π×13=65π
故答案为： 65π.
【分析】先根据圆的周长公式求出底面圆的周长，再运用圆锥侧面积公式S=
lR(l代表底面圆的周长，R代表母线长）求出圆锥的侧面积.
13．【答案】19
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解： x2-14x+48=0，
∴（x-6） （x-8）=0，
∴x=6或x=8，
∵ 三角形两边长分别是2和9，
∴第三边的长为7＜第三边＜11，
∴x=8，
∴ 三角形的周长=2+9+8=19.
【分析】先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系求出第三边的取值范围确定x的值，即可求出三角形的周长.
14．【答案】x＜-1或0＜x＜1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数得：，
则反比例函数的解析式为，
画出两个函数的图象如下：
由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为，
所以结合函数图象得：若，则的取值范围是x＜-1或0＜x＜1
故答案为：x＜-1或0＜x＜1
【分析】先求出一次函数与反比例函数的两个交点坐标，再结合图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
15．【答案】34°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故答案为：34°.
【分析】根据直径所对的圆周角为90° ，即∠ADB=90°，进而求得∠A=34°，再由圆周角定理得∠BCD＝∠A，即可求出∠BCD度数.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：根据题意作等边三角形的外接圆，
D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，
在圆上运动，
当点D运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，
过点D作的垂线交于点E，如图：
，
，
，
在中，
，
解得：，
，
过点A作的垂线交于F，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】根据题意作等边三角形的外接圆，D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，得出D
在圆上运动，当点D运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，过点D作的垂线交于点E，根据勾股定理得出AF的值，再根据三角形的面积公式得出三角形ABC的面积，由此得出四边形ADBC的面积。
17．【答案】（1）解：
=
=
=5；
（2）解：
x-3=2或x-3=-2
所以，.
【知识点】实数的运算；配方法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质可得原式=2- -1+4+ ，然后根据二次根式的加法法则以及有理数的加减法法则进行计算；
（2）首先将常数项移至右边，给两边同时加上9，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x-3)2=4，然后利用直接开方法进行计算.
18．【答案】解：原式＝＝＝，
当时，
原式＝
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，再将每一个分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后约分化简，再把x的值的代入化简后的分式计算可求解.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE
∴AB=CF，
∵AB=DC
∴DC=CF
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得出AB=CD，∠B=∠FCE，∠F=∠BAE，根据线段中点的定义得出BE=CE，利用AAS证出△ABE≌△FCE，得出AB=CF，即可得出DC＝CF.
20．【答案】（1）50
（2）7
（3）72
（4）解：，
答：估计该校800名七年级学生中睡眠不足7小时的人数有197人。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）∵A组的频数为4，占比为8%，
∴抽取的七年级学生总人数=4÷8%=50名，
故答案为：50；
（2）∵学生总人数为50名，E组占比为14%，
∴m=50×14%=7，
故答案为：7；
（3）∵学生总人数为50名，C组的频数为10，
∴ C组所在扇形的圆心角的度数是360°×
=72°，
故答案为：72；
【分析】（1）根据A组的频数为4，占比为8%，即可得出抽取的七年级学生总人数；
（2）根据学生总人数为50名，E组占比为14%，即可求出m的值；
（3）根据学生总人数为50名，C组的频数为10，用360°×C组的占比，即可得出C组所在扇形的圆心角的度数；
（4）用学校总人数×睡眠不足7小时人数的占比，即可得出该校800名七年级学生中睡眠不足7小时的人数．
21．【答案】（1）解：共有3张卡片，任取一张，有3种结果，其中抽到是负数的有1张，
∴P=.
（2）解：根据题意列表如下：
共有9种不同的结果，
其中在抛物线 上的是(0，0) ，(1，1)，(-1，1)，共3种，
∴P==.
【知识点】列表法与树状图法；二次函数图象上点的坐标特征；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）先求出任取一张卡片的结果数和抽到1张是负数的结果数，然后计算概率即可；
（2）根据题意先画出树状图，表示出所有可能出现的结果数，再找出在抛物线上的结果数，最后计算概率即可.
22．【答案】解：如图，分别延长DC、AE、BF，DC与AE的延长线相交于点H，BF与DC相交于点G，则
由图可知，四边形ABGH是矩形，
∴ ， ，
在直角三角形BCG中，∠GBC=20°，BC=10，
∴ ，
，
∴ ， ；
设 ，则在直角三角形ADH中，有
，
解得： ；
∴树木 的高度为11.6米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】分别延长DC、AE、BF，DC与AE的延长线相交于点H，BF与DC相交于点G，则四边形ABGH是矩形，得到AB=GH=1.6，AH=BG，根据三角函数的概念可得BG、CG，进而得到CH，然后在Rt△ADH中，根据∠DAH的正切函数就可求出CD的值.
23．【答案】（1）解：如图，点 即为所求，
（2）解：设点 到 的距离为 ，
由（1）可知点 到 、 、 的距离相等
则
解得：
点 到 的距离为
【知识点】三角形的面积；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）作出∠A、∠B的角平分线，交点即为点P；
（2）设点P到AC的距离为d，由（1）可知点P到AB、BC、AC的距离相等，然后根据△ABC的面积公式可得d的值.
24．【答案】（1）证明：在等边三角形ABC中，∠BAC=∠C=∠B=60°，
连结OD，则OA=OD，
∴∠ODA=∠BAC=60°，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：EF是⊙O的切线，
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=∠CFD=90°，
由（1）得DF是⊙O的切线，
∴EF=FD．
又∠B=∠C，
∴△BEF≌△CFD（AAS）
∴BE=FC，
设⊙O的半径为r，则FC=BE=6-2r，
∴BF=2r，
在Rt△BEF中，BE=cosB·BF．
即6-2r=cos60°×2r，解得r=2．
【知识点】切线的判定与性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）连结OD，则OA=OD，由等边三角形性质得∠BAC=∠C=∠B=60°，求得∠ODA=60°，
推出△ADO为等边三角形，进而得∠ODA=∠C，再根据同位角相等，两直线平行推出OD∥BC，结合DF⊥BC，可推出DF⊥OD，即可证明结论成立；
（2）根据EF是⊙O的切线，可得EF⊥AB，进而得∠BEF=∠CFD=90°，由（1）中结论可知DF是⊙O的切线，根据切线长定理得EF=FD，可证明△BEF≌△CFD，由全等性质得BE=FC，设⊙O半径为r，表示出BE=6-2r，由直角三角形性质再求出BF=2r，再由∠B的余弦可得BE=cosB·BF，即6-2r=cos60°×2r，解出r即可.
25．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将（30，100），（35，50）代入y=kx+b，
得 ，解得 ．
∴y与x的函数关系式为y=-10x+ 400．
（2）解：设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，
由题意得W=（x-20）y=（x- 20）（-10x+400）=-10（x- 30）2+1000．
∵-10<0，
∴当x=30时，W最大值=1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，为1000元；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由销售量y与销售单价x得函数图象可知：（30，100），（35，50）是一次函数图象上的点，设y=kx+b，利用待定系数法求出k和b，即可求出y与x的函数关系式；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，根据总利润=每支的利润×销售数量，可得函数关系式，再进行整理配方为二次函数的顶点式，利用二次函数的性质求解即可.
26．【答案】（1）相等
∵△ABC和△ADE是等腰三角形，
∴AB=AC=3，AD=AE=2
∵，
（2）解：（1）中结论成立。
理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
，
（3）解：PB的长为
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）①如图，当点E在AB上时，BE=AB-AE=AB-AD=6-4=2，
∵∠EAC=90°，
∴CE=
，
同（1）可证△ADB≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=
，
②如图，当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=AB+AD=10，
∵∠EAC=90°，
∴CE=
，
同（1）可证△ADB≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=
，
∴PB的长为
或
.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AB=AC=3，AD=AE=2， 根据同角的余角相等得出∠DAB=∠CAE，从而得出△ADB≌△AEC，即可得出∠ABD=∠ACE；
（2）根据勾股定理得出AB=
AC，AD=
AE，得出
，从而得出△ADB∽△AEC，即可得出∠ABD=∠ACE；
（3）分两种情况讨论：①当点E在AB上时，②当点E在BA的延长线上时，分别求出BE、CE的长，再证出△PEB∽△AEC，得出
，代入数值进行计算，即可得出答案.
27．【答案】（1）解：把A、C两点代入y= x+bx+c得，
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+ x+2，
（2）解：过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，
设M（a， a2+ a+2），则N（a，- a+2），
S△ACM= MN·OC= （ a2+a）×4=- a2+2a，
∴S△ACM=- （a-2）2+2，
∴当a=2时，三角形ACM面积最大，其最大值为2，
此时M的坐标为（2，2）；
（3）解：∵将线段0A绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A’，如图
∴PO'=P0=m，O'A'=OA=2，
∴O'（m，m），A'（m+2，m），
当A'（m+2，m）在抛物线上时，有 （m+2）2+ （m+2）+2=m
解得，m=-3± ，
当点O'（m，m）在抛物线上时，有 m2+ m+2=m，
解得，m=-4或2，
∴当-3- ≤m≤-4或-3+ ≤m≤2时，线段O'A'与抛物线只有一个公共点．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，求出b，c的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N， 设M的坐标为（a， a2+ a+2），得出N的坐标为（a，- a+2）， 根据三角形的面积公式得出S△ACM=- （a-2）2+2，再根据二次函数的性质得出当a=2时，△ACM的面积最大，其最大值为2，再求出点M的坐标，即可得出答案；
（3）根据旋转的性质得出PO'=PO=m，O'A'=OA=2，从而得出点O'的坐标为（m，m），点
A'的坐标为（m+2，m）， 分两种情况讨论：当A'（m+2，m）在抛物线上时， 当O'（m，m）在抛物线上时， 分别求出m的值，即可得出答案.
1 / 1初中数学试卷人教版五四制同步单元卷
一、单选题1
1．在-3，0.3，0，-这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．-3 B．0.3 C．0 D．-
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵=3，
=0.3，
=0，
，
∴绝对值最小的数是0.
故答案为：C.
【分析】先求出四个数的绝对值，再根据有理数比较大小的方法，即可得出答案.
2．（2022九下·衢州开学考）今年的春晚继续拓展中央广播电视总台全媒体融合传播优势，刷新了跨媒体传播纪录.数据显示，春晚跨媒体受众总规模达12.72亿人.其中数据12.72亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：12.72亿=1272000000=
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．（2022九下·衢州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A选项：
与
不是同类项，不能合并，故A错误；
B选项：
，故B错误；
C选项：
，故C错误；
D选项：
，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法、幂的乘方分别进行计算，然后判断即可.
4．（2022九下·长沙开学考）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． 圆锥 B． 正方体
C． 三棱柱 D． 圆柱
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B、主视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是矩形，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】分别求出各几何体的主视图，再判断即可.
5．（2021九上·舟山期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
B．a为实数，｜a｜＜0
C．打开电视，正在播放动画片
D．任选三角形的两边，其差小于第三边
【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A选项，属于随机事件；
B选项，属于不可能事件；
C选项，属于随机事件；
D选项，属于必然事件；
故答案为：D.
【分析】不可能发生的事件，叫做不可能事件；必然会发生的事件，叫做必然事件；可能发生，可能不发生的事件，叫做随机事件；由这三个定义，来判断，得出结果。
6．（2022九下·重庆开学考）下面命题中，为真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．弧长相等的弧是等弧
D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；平行四边形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，选项为假命题；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选项为假命题；
C、在等圆或同圆中，弧长相等的弧是等弧，选项为假命题；
D、平行于同一直线的两直线平行，真命题；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据平行四边形的判定定理可判断B；在等圆或同圆中，弧长相等的弧是等弧，据此判断C；平行于同一直线的两直线平行，据此判断D.
7．（2021九上·章丘期末）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）cm．
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
∵∠OBF=∠ODE，∠BOF=∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴，
∵BD==10，
∴BO=5，
∴FO=5×=，
∴EF=2FO=（cm）．
故答案为：C．
【分析】先证明△BOF≌△DOE，可得OE=OF，再证明△BOF∽△BAD，可得，由勾股定理求出BD=10，然后代入比例式求出OF，由EF=2FO即可求解.
8．（2022九下·重庆开学考）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢 疋，布 疋，依据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有绢 疋，布 疋，依据题意可列方程组为
故答案为：B.
【分析】设有绢x疋，布y疋，根据绵与布30疋可得x+y=30；根据4疋绢价90贯，3疋布价50贯，卖得570贯钱可得x+y=570，联立可得方程组.
二、填空题2
9．（2022九下·义乌开学考）分解因式：a2﹣ab＝ ；
【答案】a（a-b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2-ab=a（a-b）.
故答案为：a（a-b）.
【分析】提公因式a，即可得出答案.
10．（2021·泉州模拟）某校数学课外兴趣小组10个同学数学素养测试成绩如图所示，则该兴趣小组10个同学的数学素养测试成绩的众数是 分.
【答案】92
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中92出现次数最多，故众数是92分.
故答案为：92.
【分析】根据众数的定义即可求解.
11．（2021·黄石）分式方程 的解是 .
【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得： ，
去括号化简得： ，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的根，
故填：x=3.
【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，即可得到分式方程的解。注意：去分母是在方程两边同时乘以最简公分母，不能漏乘右边的3.
12．（2022九下·义乌开学考）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是 .
【答案】65π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，
∴底面圆周长=2πr=10π
∵ 圆锥的母线长为13cm
∴S=
lR=
×10π×13=65π
故答案为： 65π.
【分析】先根据圆的周长公式求出底面圆的周长，再运用圆锥侧面积公式S=
lR(l代表底面圆的周长，R代表母线长）求出圆锥的侧面积.
13．（2021九上·梁山月考）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程x2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为
【答案】19
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解： x2-14x+48=0，
∴（x-6） （x-8）=0，
∴x=6或x=8，
∵ 三角形两边长分别是2和9，
∴第三边的长为7＜第三边＜11，
∴x=8，
∴ 三角形的周长=2+9+8=19.
【分析】先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系求出第三边的取值范围确定x的值，即可求出三角形的周长.
14．（2021九上·南海期末）正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(-1， 2)，若，则x的取值范围是 ．
【答案】x＜-1或0＜x＜1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数得：，
则反比例函数的解析式为，
画出两个函数的图象如下：
由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为，
所以结合函数图象得：若，则的取值范围是x＜-1或0＜x＜1
故答案为：x＜-1或0＜x＜1
【分析】先求出一次函数与反比例函数的两个交点坐标，再结合图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
15．（2022九下·温州开学考）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于 .
【答案】34°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故答案为：34°.
【分析】根据直径所对的圆周角为90° ，即∠ADB=90°，进而求得∠A=34°，再由圆周角定理得∠BCD＝∠A，即可求出∠BCD度数.
16．（2021九上·斗门期末）如图，点D为边长是的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：根据题意作等边三角形的外接圆，
D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，
在圆上运动，
当点D运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，
过点D作的垂线交于点E，如图：
，
，
，
在中，
，
解得：，
，
过点A作的垂线交于F，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】根据题意作等边三角形的外接圆，D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，得出D
在圆上运动，当点D运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，过点D作的垂线交于点E，根据勾股定理得出AF的值，再根据三角形的面积公式得出三角形ABC的面积，由此得出四边形ADBC的面积。
三、解答题
17．（2022九下·锦江开学考）计算或解方程
（1）.
（2）（配方法）
【答案】（1）解：
=
=
=5；
（2）解：
x-3=2或x-3=-2
所以，.
【知识点】实数的运算；配方法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质可得原式=2- -1+4+ ，然后根据二次根式的加法法则以及有理数的加减法法则进行计算；
（2）首先将常数项移至右边，给两边同时加上9，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x-3)2=4，然后利用直接开方法进行计算.
18．（2021九上·镇平县期末）先化简，再求值：（1，其中x＝3.
【答案】解：原式＝＝＝，
当时，
原式＝
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，再将每一个分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后约分化简，再把x的值的代入化简后的分式计算可求解.
19．（2022·济南模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE
∴AB=CF，
∵AB=DC
∴DC=CF
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得出AB=CD，∠B=∠FCE，∠F=∠BAE，根据线段中点的定义得出BE=CE，利用AAS证出△ABE≌△FCE，得出AB=CF，即可得出DC＝CF.
20．（2022·济南模拟）某校要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表和扇形统计图：
请根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的七年级学生共有 名；
（2）统计图表中，m＝ ；
（3）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是 °；
（4）请估计该校800名七年级学生中睡眠不足7小时的人数．
【答案】（1）50
（2）7
（3）72
（4）解：，
答：估计该校800名七年级学生中睡眠不足7小时的人数有197人。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）∵A组的频数为4，占比为8%，
∴抽取的七年级学生总人数=4÷8%=50名，
故答案为：50；
（2）∵学生总人数为50名，E组占比为14%，
∴m=50×14%=7，
故答案为：7；
（3）∵学生总人数为50名，C组的频数为10，
∴ C组所在扇形的圆心角的度数是360°×
=72°，
故答案为：72；
【分析】（1）根据A组的频数为4，占比为8%，即可得出抽取的七年级学生总人数；
（2）根据学生总人数为50名，E组占比为14%，即可求出m的值；
（3）根据学生总人数为50名，C组的频数为10，用360°×C组的占比，即可得出C组所在扇形的圆心角的度数；
（4）用学校总人数×睡眠不足7小时人数的占比，即可得出该校800名七年级学生中睡眠不足7小时的人数．
21．（2022九下·定海开学考）现有三张完全相同的不透明卡片。其正面分别写有数字-1，0，1，把这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上。
（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片的数字为负数的概率；
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求点A在抛物线 上的概率.
【答案】（1）解：共有3张卡片，任取一张，有3种结果，其中抽到是负数的有1张，
∴P=.
（2）解：根据题意列表如下：
共有9种不同的结果，
其中在抛物线 上的是(0，0) ，(1，1)，(-1，1)，共3种，
∴P==.
【知识点】列表法与树状图法；二次函数图象上点的坐标特征；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）先求出任取一张卡片的结果数和抽到1张是负数的结果数，然后计算概率即可；
（2）根据题意先画出树状图，表示出所有可能出现的结果数，再找出在抛物线上的结果数，最后计算概率即可.
22．（2022九下·重庆开学考）如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部 的距离 为10m，此时测得对树的顶端 的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点 距地面1.6m，求树木 的高度（精确到0.1m）．（参考数据： ， ， ， ， ， ）．
【答案】解：如图，分别延长DC、AE、BF，DC与AE的延长线相交于点H，BF与DC相交于点G，则
由图可知，四边形ABGH是矩形，
∴ ， ，
在直角三角形BCG中，∠GBC=20°，BC=10，
∴ ，
，
∴ ， ；
设 ，则在直角三角形ADH中，有
，
解得： ；
∴树木 的高度为11.6米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】分别延长DC、AE、BF，DC与AE的延长线相交于点H，BF与DC相交于点G，则四边形ABGH是矩形，得到AB=GH=1.6，AH=BG，根据三角函数的概念可得BG、CG，进而得到CH，然后在Rt△ADH中，根据∠DAH的正切函数就可求出CD的值.
23．（2022九下·重庆开学考）如图，已知 ．
（1）请用尺规作图．在 内部找一点 ，使得点 到 、 、 的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
（2）若 的周长为 ，面积为 ，求点 到 的距离．
【答案】（1）解：如图，点 即为所求，
（2）解：设点 到 的距离为 ，
由（1）可知点 到 、 、 的距离相等
则
解得：
点 到 的距离为
【知识点】三角形的面积；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）作出∠A、∠B的角平分线，交点即为点P；
（2）设点P到AC的距离为d，由（1）可知点P到AB、BC、AC的距离相等，然后根据△ABC的面积公式可得d的值.
24．（2022九下·长兴月考）如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：在等边三角形ABC中，∠BAC=∠C=∠B=60°，
连结OD，则OA=OD，
∴∠ODA=∠BAC=60°，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：EF是⊙O的切线，
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=∠CFD=90°，
由（1）得DF是⊙O的切线，
∴EF=FD．
又∠B=∠C，
∴△BEF≌△CFD（AAS）
∴BE=FC，
设⊙O的半径为r，则FC=BE=6-2r，
∴BF=2r，
在Rt△BEF中，BE=cosB·BF．
即6-2r=cos60°×2r，解得r=2．
【知识点】切线的判定与性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）连结OD，则OA=OD，由等边三角形性质得∠BAC=∠C=∠B=60°，求得∠ODA=60°，
推出△ADO为等边三角形，进而得∠ODA=∠C，再根据同位角相等，两直线平行推出OD∥BC，结合DF⊥BC，可推出DF⊥OD，即可证明结论成立；
（2）根据EF是⊙O的切线，可得EF⊥AB，进而得∠BEF=∠CFD=90°，由（1）中结论可知DF是⊙O的切线，根据切线长定理得EF=FD，可证明△BEF≌△CFD，由全等性质得BE=FC，设⊙O半径为r，表示出BE=6-2r，由直角三角形性质再求出BF=2r，再由∠B的余弦可得BE=cosB·BF，即6-2r=cos60°×2r，解出r即可.
25．（2022九下·长兴开学考）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将（30，100），（35，50）代入y=kx+b，
得 ，解得 ．
∴y与x的函数关系式为y=-10x+ 400．
（2）解：设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，
由题意得W=（x-20）y=（x- 20）（-10x+400）=-10（x- 30）2+1000．
∵-10<0，
∴当x=30时，W最大值=1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，为1000元；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由销售量y与销售单价x得函数图象可知：（30，100），（35，50）是一次函数图象上的点，设y=kx+b，利用待定系数法求出k和b，即可求出y与x的函数关系式；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，根据总利润=每支的利润×销售数量，可得函数关系式，再进行整理配方为二次函数的顶点式，利用二次函数的性质求解即可.
26．（2022·济南模拟）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，猜想∠ABD和∠ACE的数量关系是（ ），并说明理由；
（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否仍然成立成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．
【答案】（1）相等
∵△ABC和△ADE是等腰三角形，
∴AB=AC=3，AD=AE=2
∵，
（2）解：（1）中结论成立。
理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
，
（3）解：PB的长为
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）①如图，当点E在AB上时，BE=AB-AE=AB-AD=6-4=2，
∵∠EAC=90°，
∴CE=
，
同（1）可证△ADB≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=
，
②如图，当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=AB+AD=10，
∵∠EAC=90°，
∴CE=
，
同（1）可证△ADB≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=
，
∴PB的长为
或
.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AB=AC=3，AD=AE=2， 根据同角的余角相等得出∠DAB=∠CAE，从而得出△ADB≌△AEC，即可得出∠ABD=∠ACE；
（2）根据勾股定理得出AB=
AC，AD=
AE，得出
，从而得出△ADB∽△AEC，即可得出∠ABD=∠ACE；
（3）分两种情况讨论：①当点E在AB上时，②当点E在BA的延长线上时，分别求出BE、CE的长，再证出△PEB∽△AEC，得出
，代入数值进行计算，即可得出答案.
27．（2022九下·吉林月考）如图，已知；抛物线y= x2+bx+c经过点A（0，2），点C（4，0），且交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求三角形ACM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，若线段O'A’与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）解：把A、C两点代入y= x+bx+c得，
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+ x+2，
（2）解：过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，
设M（a， a2+ a+2），则N（a，- a+2），
S△ACM= MN·OC= （ a2+a）×4=- a2+2a，
∴S△ACM=- （a-2）2+2，
∴当a=2时，三角形ACM面积最大，其最大值为2，
此时M的坐标为（2，2）；
（3）解：∵将线段0A绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A’，如图
∴PO'=P0=m，O'A'=OA=2，
∴O'（m，m），A'（m+2，m），
当A'（m+2，m）在抛物线上时，有 （m+2）2+ （m+2）+2=m
解得，m=-3± ，
当点O'（m，m）在抛物线上时，有 m2+ m+2=m，
解得，m=-4或2，
∴当-3- ≤m≤-4或-3+ ≤m≤2时，线段O'A'与抛物线只有一个公共点．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，求出b，c的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N， 设M的坐标为（a， a2+ a+2），得出N的坐标为（a，- a+2）， 根据三角形的面积公式得出S△ACM=- （a-2）2+2，再根据二次函数的性质得出当a=2时，△ACM的面积最大，其最大值为2，再求出点M的坐标，即可得出答案；
（3）根据旋转的性质得出PO'=PO=m，O'A'=OA=2，从而得出点O'的坐标为（m，m），点
A'的坐标为（m+2，m）， 分两种情况讨论：当A'（m+2，m）在抛物线上时， 当O'（m，m）在抛物线上时， 分别求出m的值，即可得出答案.
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