福州市三校2022-2023学年高三上学期期中联考
数学试卷
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
班级 姓名 座号
一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则(A)（ ）
A． B．
C． D．
2．在数列中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知在矩形中，，线段交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C．6 D．
5．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数，则的图象在内的零点之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）
9．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
11．已知函数（，），恒成立，且的最小正周期为π，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称
D．在上单调递增
12．已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题（每题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上）
13．求值=______
14．已知向量，夹角为，且，；则______．
15．写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.
16．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为__________．
四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）
17．在△ABC中，，.
(1)若，求的值;
(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.①；②；③.
18．已知数列前项和为，满足，且．
(1)求数列通项公式；
(2)求.
19．已知函数，其中，，．
(1)求函数的单调递减区间．
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．
20．已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.
21．已知集合，函数．
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．
22．设函数，其中，．
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若对于每个，存在零点，求的取值范围．福州市三校2022-2023学年高三上学期期中联考
数学参考答案及评分标准
1．B
2．B
∵，∴，．是公比为的等比数列，
∴．
故选：B．
3．D
依题意得，结合图形有：.
故选：D
4．A
由正弦定理，整理得
故选：A．
5．A
，而，所以；
又，
令，
而函数在上递增
故选：A
6．D
.
故选：D
7．A
因为，，且，
所以，
所以，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
故选：A.
8．B
由可得，
则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，
又函数与函数的图象都关于点对称，
作出函数与函数的大致图象，
由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．
故选：B.
9．AC
由平面向量，知：
在中，，，∴，故正确；
在中，，故错误；
在中，，∴，∴，故正确；
在中，∵，∴与不平行，故错误.
故选：A.
10．AC
∵在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，，，
解得，，∴，或者，，∴，不符合题意，舍去，故A正确，
，则，
常数，
∴数列不是等比数列，故B不正确；
，故C正确；
∵，∴，，
∴数列不是公差为2的等差数列，故D错误，
故选：AC
11．ABD
∵，∴．依题意得，
∴，且，∴，
即，则A正确；
令，即，当时，对称中心为，
则B正确；
将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象不关于y轴对称，则C错误；
∵，∴，所以在上单调递增，则D正确．
故选：ABD.
12．BD
对于A，由，则，当且仅当时，等号成立，故A错误，
对于B，当取最小值时，，则，故B正确；
对于C、D，，当且仅当，，，等号成立，故，故C错误，D正确.
故选：BD.
13．.
．
故答案为：.
14．
∵，
∴==10，
代入数据可得4×1+4×1××+=10，
化简可得+﹣6=0，
解得=，或﹣3（负数舍去）
故答案为
15．
因为，
当时在定义域上单调递增，
当时，
画出，的图象如下所示：
要使函数在上单调递增，
由图可知当时均可满足函数在上单调递增；
故答案为：（答案不唯一）
16．
当时，，所以，又，所以，
所以，，故，
令，则，
所以的最小值为．
当，，不合题意．
综上所述：，，，的最小值为．
故答案为：．
17．（1）
由题意得，
即，得，-------4
（2）
选条件①，由正弦定理得，-----5
而，化简得，-----6
而，则，，---8
故，由勾股定理得，解得，------9
，-------10
选条件②，，而，则，------7
故，由勾股定理得，解得，------9
，------10
选条件③，由正弦定理得，
而，则，得，，-----7
故，，，由勾股定理得，解得，----9
，-----10
18．（1）
解：因为①
所以当时，得②------2
则①-②得：-----3
即，即-------4
又当时，，所以，其中
所以，则-------6
故数列是以为首项，为公比的等比数列-----7
所以.------8
（2）解：由（1）可得.---------12
19．（1）-------1
，-----------3
由题意有，-----4
解得------5
所以单调递减区间为；-------6
（2）
，-------7
，-------8
，---------9
与向量共线，
，--------10
.--------12
20．（1）
设数列的公差为，因为是和的等比中项，
则且-----3
则或（舍）-----4
则，
即通项公式-------6
（2）
因为与（，2，…）之间插入，
所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以------------12
21．（1）因为，且，
所以即，--------2
因为的实数根为或，
当时，此时，所以不等式的解集为；---------3
当时，此时，所以不等式的解集为或；-------4
当时，此时，所以不等式的解集为或；-------5
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；----------6
（2）
因为，-----------7
所以命题“存在，使得”的否定为命题“任意，使得”是真命题，---------8
所以可整理成，
令，则，--------9
因为，
当且仅当即时，取等号，----------11
则，故实数的取值范围---------12
22．（1）为偶函数，
，-------1
．-----------2
，
，
，--------3
即．
又，
．-----------5
（2）
由题意，得．-----6
当时，，
，
又，
．-------7
当时，或．-------8
①当时，
，
只能取2，舍去--------9
②当时，
，---------10
从开始讨论：令，由于单调递减，故只需．
综上所述，的取值范围是------------12
