4.5.1角的比较 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
4.5.1 角的比较
知识回顾
角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.其中开始位置的射线叫做这个角的始边，结束位置的射线叫做这个角的终边.
动态观点的定义
角是有公共端点的两条射线组成的图形.
O
A
B
静态观点的定义
1、角的定义
2、如图，已知线段AB、CD，你有哪些办法比较它们的大小？
② 叠合法
① 度量法
比较角的大小
一
类比线段长短的比较方法，你认为该如何比较两个角的大小？
C
B
A
F
E
D
① 如果 EF 和 BC 重合，那么∠ABC ∠DEF
方法一：叠合法
把要比较的两个角的顶点重合，将其中一边也重合，另一条边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较角的大小.
C
B
A
F
E
D
=
② 如果 EF 落在 ∠ABC 的内部，那么
∠ABC ∠DEF
C
B
A
F
E
D
>
C
B
A
F
E
D
③ 如果 EF 落在 ∠ABC 的外部，那么
∠ABC ∠DEF
<
方法二：度量法
我们也可用量角器量出角的度数，再比较它们的大小.
C
B
A
F
E
D
∠ABC=60°
∠DEF=30°
∠ABC>∠DEF
探究新知
问题 1 如图，图中共有几个角？
O
A
B
C
∠AOB，∠AOC，∠BOC
问题 2 如图，∠AOC 与 ∠AOB，∠BOC 之间有何关系
∠AOC 是 ∠AOB 与 ∠BOC 的和
记作：
∠AOC=∠AOB+∠BOC
问题 3 如图，∠AOB 与 ∠AOB，∠BOC之间有何关系
∠AOB 是 ∠AOC 与 ∠BOC 的差，
记作：
∠AOB=∠AOC-∠BOC
角的和
角的差
类似地，
∠BOC=∠AOC-∠AOB
例 1 如图，求解下列问题
(1) 比较 ∠AOC 与 ∠BOC， ∠BOD 与 ∠COD 的大小;
(2) 将 ∠AOC 写成两个角的和与两个角的差的形式.
O
D
C
B
A
解：(1) 由图可以看出
∠AOC > ∠BOC
∠BOD > ∠COD
(2) ∠AOC=∠AOB+∠BOC
∠AOC=∠AOD-∠DOC
对应练习
如图，OC，OD 是 ∠AOB 内两条射线，那么：
O
A
D
B
C
(1) ∠AOD= +∠AOC;
(2) ∠AOB=∠BOD+ + ;
(3) ∠AOC= - = - .
∠COD
∠COD
∠AOC
∠AOD
∠COD
∠AOB
∠COB
活动：折叠练习本上的一个角，然后把角的两边重合，展开以后你会发现折痕把角分成了两个角，这两个角有什么关系呢，它们又和原来的角有着怎样的等量关系？
观察思考
A
C
B
O
探究新知
这条射线叫做这个 .
以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，
在角的内部，
角的平分线
如上图，OC 是 ∠AOB 的平分线，这时有：
∠AOC=∠COB
= ∠AOB
1
2
或
∠AOB=∠AOC+∠COB
=2∠AOC
=2∠COB
A
C
B
O
归纳总结
如图，OC 是 ∠AOB 的平分线.
几何语言
因为 OC 是 ∠AOB 的平分线.
所以
∠AOC=∠COB
= ∠AOB
1
2
或
∠AOB=∠AOC+∠COB
=2∠AOC
=2∠COB
对应练习
1、如图，OC 平分∠BOD，∠AOD=110°，∠BOC=35°，求 ∠AOC 的度数.
O
A
B
C
D
2、如图，点 O 是直线 AB 上的一点，∠AOC=130°，OB 平分 ∠COD，OE 平分 ∠AOD，求 ∠AOE 的度数.
对应练习
对应练习
3、如图，如果 ∠AOB=∠COD，那么 ( )
A、∠1>∠2
B、∠1=∠2
C、∠1<∠2
D、以上都不对
C
B
O
D
A
1
2
B
4、已知 ∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM 平分∠AOB，ON 平分 ∠BOC，求 ∠MON 的度数.
对应练习
5、如图，已知 ∠AOE=130°，∠AOB：BOC=2：1，且 3∠COE=2∠AOB，求∠AOB的度数．
对应练习
变式练习 1
已知，如图，∠COB=2∠AOC，OD 平分 ∠AOB，且∠COD=19°，求 ∠AOB 的度数.
O
A
C
D
B
6、如图，OC 是 ∠AOD 的平分线，OE 是 ∠DOB 的平分线．
(1) 如果 ∠AOB=130°，那么 ∠COE 是多少度？
(2) 在 (1) 的条件下，如果∠COD=20°，那么∠BOE是多少度？
对应练习
变式练习 1
如图，点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON分别是 ∠AOC，∠BOC 的平分线，求 ∠MON 的度数．
变式练习 2
如图，已知 OE 平分∠AOB，OD 平分 ∠BOC，∠AOB 为直角，∠EOD=70°，∠BOC= .
变式练习 3
如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．
① 若∠BOC=40°，∠MON=80°，则∠AOD的度数为 度；
② 若∠AOD=x°，∠MON=80°，则∠BOC的度数为 度（用含x的代数式表示）．
7、如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在 C′ 处，D 点落在 D′ 处.若 ∠EFC＝119°，则∠BFC′为（　　）
A.58° B.45° C.60° D.42°
A
对应练习
8、如图，已知OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE= ∠EOC，∠AOC=170°．
(1) 若知 ∠AOB=70°，求∠EOC的度数；
(2) 若知 ∠DOE=70°，求∠EOC的度数．
对应练习
1
3
本节课你有什么收获？
角的平分线
A
C
B
O
这条射线叫做这个 .
以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，
在角的内部，
角的平分线
如上图，OC 是 ∠AOB 的平分线，这时有：
∠AOC=∠COB
= ∠AOB
1
2
或
∠AOB=∠AOC+∠COB
=2∠AOC
=2∠COB
α
β
那么这两个角叫做互为余角，
即其中一个角是另一个角的余角.
如果两个角的和等于一个直角，
简称互余，
如下图，
∠α+∠β=90°，
∠β 是 ∠α 的余角，
∠α 是 ∠β 的余角，
∠α与∠β互余.
探究新知
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
60o
80o
50o
40o
对应练习
那么这两个角叫做互为补角，
∠1 是∠2 的补角，
即其中一个角是另一个角的补角.
如果两个角的和等于一个平角，
简称互补，
如上图，
∠1+∠2=180°，
∠1 是 ∠2 的补角，
∠1与∠2互补.
1
2
探究新知
考考你
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
我来试一试：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x°
90° x°
180° x°
结论： 同一个锐角的补角比它的余角大_____.
90°
练习
填空
1、70°的余角是　 　 ，补角是　 　 。
2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 　 　 ，它的补角是 　 。
110 °
20°
90°- ∠
180°- ∠
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角)
锐角∠ 的余角是（90 °—∠ ）
∠ 的补角是（180 °—∠ ）
例1 如图，∠1＝∠３，∠1 与∠2互余，∠３与∠４互余 ，那么∠2与∠４有什么关系？
1
2
4
3
解：
因为∠1与∠2互余，
所以∠2=90°-∠1
因为∠3与∠4互余，
所以∠4=90°-∠3
又 因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4
余角性质：
等角 的余角相等
如图，∠1=∠3，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，那么∠2与∠4有什么关系？
1
2
3
4
解：
因为∠1与∠2互补，
所以∠2=180°-∠1
因为∠3与∠4互补，
所以∠4=180°-∠3
又 因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4
补角性质：
等角的补角相等
思考
1
2
2
1
∠1+∠2=90°
∠1+∠2=180°
等角的余角相等
等角的补角相等．
互 余 互 补
数量 关系
对 应 图 形
性 质