15.4.2角平分线的判定 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
15.4.2 角平分线的判定
角平分线上的点到角两边的距离相等.
知识回顾
角平分线的性质：
定理：
P
B
A
Ｏ
C
D
点到角两边垂线段的长度
特别提醒：
① 点一定要在角平分线上
② 点到角两边的距离
性质定理的作用：
可用来证明两条线段相等.
是指
几何语言：
∵ OP 是 ∠AOB 的平分线，
∴ PC=PD
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
且 PC⊥OA，
PD⊥OB
推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个.
探究新知
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质：
定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
逆
命
题
它是真命题吗？你能证明吗？
到角两边距离相等的点
在角的平分线上
角的内部
验证猜想
角的内部到角两边距离相等的点
在角的平分线上
求证：点 P 在 ∠AOB 的角平分线上.
证明：
作射线 OP
∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上
在 Rt△PCO 和 Rt△PDO 中
(全等三角形的对应角相等)
OP=OP
PC= PD
∵ PC⊥OA，PD⊥OB
∴ ∠PCO=∠PDO=90°
∴ Rt△PCO≌Rt△PDO
∴ ∠AOP=∠BOP
P
B
A
Ｏ
C
D
已知：如图，点 P 在∠AOB 的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 D、E，PC=PD.
(公共边)
(已知)
(HL)
(角平分线的定义)
∵
角的内部到角两边距离相等的点
在角的平分线上
归纳总结
角平分线的判定：
定理：
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：
(2) 数量关系：
判定定理的作用：
几何语言：
∵ PC⊥OA，
∴ 点 P 在 ∠AOB 的平分线上
点在角的内部；
该点到角两边的距离相等.
判断点是否在角平分线上.
(或OP平分∠AOP)
P
B
A
Ｏ
C
D
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
PD⊥OB，
且PC=PD.
1、已知，如图，OC 是 ∠AOB 内部的一条射线，P 是射线 OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：
① ∠AOC=∠BOC，② PD=PE，③ OD=OE，④ ∠DPO=∠EPO，能判定 OC 是 ∠AOB 的角平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固练习
D
知识拓展：
判定角平分线的方法：
① 角平分线的定义
② 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(角平分线的判定定理)
2、如图，BF⊥AC 于点 F，CE⊥AB 于点 E，BF 和 CE 相交于点 D，BE＝CF. 求证：AD 平分 ∠BAC.
巩固练习
∴ AD平分∠BAC
证明：
∵ BF⊥AC，
CE⊥AB
∴ ∠BED＝∠CFD＝90°
在△BED和△CFD中
∠BDE=∠CDF
∠BED＝∠CFD
BE=CF
∵
∴ △BED≌△CFD
∴ DE＝DF
又∵ DF⊥AC，DE⊥AB
(AAS)
(垂直的定义)
(对顶角相等)
(已证)
(已知)
(全等三角形的对应边相等)
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
A
B
C
E
F
D
3、如图，△ABC中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，且 BE＝CF. 求证：AD是△ABC的角平分线.
证明：
∵ D是BC的中点
∴ BD＝CD
在Rt△BED和Rt△CFD中
BD=CD
BE=CF
∵
(中点的定义)
(已证)
(已知)
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC
∴ ∠EBD=∠CFD=90°
∴ AD平分∠BAC
∴ △BED≌△CFD
∴ DE＝DF
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC
(HL)
(全等三角形的对应边相等)
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
(垂直的定义)
4、已知：如图，在△ABC中， BD＝CD，∠1= ∠2.
求证：AD 平分∠BAC
D
E
F
A
B
C
1
2
证明：
过点D作
DF⊥AC 于 F
DE⊥AB 于 E，
在 △BED 和 △CFD 中
∠BDE=∠CDF
∠1=∠2
BD＝CD
∵
∴ △BED≌△CFD
∴ DE＝DF
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC
(AAS)
(全等三角形的对应边相等)
则 ∠BDE=∠CDF=90°
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
∴ AD平分∠BAC
知识拓展：
过角平分线上的一点向角两边作垂线段，再利用角平分线的性质或判定定理解决问题.
解决有关角平分线问题最常用的作辅助线的方法：
A
O
B
P
1
2
E
F
5、已知 PA=PB， ∠1+ ∠2=180°,求证：OP 平分 ∠AOB
证明：
过点 P 作
PF⊥OB 于 F
PE⊥OA于 E，
则 ∠PEA=∠PFB=90°
∵ ∠1+ ∠2=180°，
∠PBF+ ∠2=180°
在 △PEA 和 △PFB 中
∠PEA=∠PFB
∠1=∠PBF
PA=PB
∵
∴ △PEA≌△PFB
∴ PE＝PF
又∵ PE⊥OA，PF⊥OB
(AAS)
(全等三角形的对应边相等)
∴ OP平分∠AOB
∴ ∠1=∠PBF
(同角的补角相等)
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
6、已知：如图，线段 CD 与 ∠AOB，通过作图求一点 P，使PC=PD，并且点 P 到 ∠AOB 两边的距离相等.
B
A
O
O
C
D
巩固练习
7、已知：如图：△ABC中，∠B 和 ∠C 的角平分线相交于点 P
求证：AP平分∠BAC
A
B
C
P
E
F
N
G
M
∵ 点 P 在 ∠ABC 的平分线上
证明：
∴ PM=PG
过点 P 作
PM⊥AB 于 M，
PN⊥AC 于 N，
PG⊥BC 于 G
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∴ PM=PN
∴ PG=PN
∴ AP平分∠BAC
∵ 点 P 在 ∠ACB 的平分线上
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
(等量代换)
三角形三条内角平分线相交于一点，
这点到三角形三边的距离相等.
三角形的角平分线的性质定理：
这一点叫做三角形的内心.
8、如图，在△ABC中，点 O 是△ABC内一点，且点 O 到 △ABC 三边的距离相等，若 ∠A=70°，则 ∠BOC 的度数为（　　）
A.35° B.125° C.55° D.135°
D
E
F
B
知识拓展：
三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
9、如图，已知 △ABC 的外角 ∠CBD 和 ∠BCE 的平分线相交于点F，求证：点 F 在 ∠DAE 的平分线上．
巩固练习
M
G
N
证明：过点 F 作 FM⊥AE 于 M，FN⊥AB 于 N，FG⊥BC 于G.
∵ CF 平分 ∠BCE
∴ FM=FG
又∵ BF 平分 ∠CBD
∴ FG=FN
∴ FM=FN
∴ 点 F 在 ∠DAE 的平分线上
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
知识拓展：
三角形两外角平分线的交点到三边的距离相等
10、如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
比
一
比
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
(角的内部的)点到角两边的距离相等
点在角平分线上
性质
判定
11、如图，△ABC 的周长为 l，点 P 为三角形内角平分线的交点，点 P 到 AB 的距离为 r ，试求 △ABC 的面积.
B
C
P
E
F
D
A
证明：
过点 P 作 PF⊥AB 于 F，
PE⊥AC 于 E，
连接 PA，PB，PC.
PD⊥BC 于 D，
∵ 点 P 为三角形内角平分线的交点
∴ PF=PD=PE=a
r
r
r
∴ S△ABC=
S△ABP
=
1
2
AB
×PF
BC
×PD
+
1
2
AC
×PE
+
1
2
+S△BPC
+S△APC
=
1
2
AB
×r
BC
×r
+
1
2
AC
×r
+
1
2
=
1
2
r
×(AB+BC+AC)
又∵ △ABC 的周长为 l
∴
S△ABC=
1
2
rl
11、如图，△ABC 的周长为 l，点 P 为三角形内角平分线的交点，点 P 到 AB 的距离为 a ，试求 △ABC 的面积.
B
C
P
E
F
D
A
r
r
r
S△ABC=
1
2
rl
知识拓展：
r 是内心到边的距离
l 是三角形的周长
即
S△ABC=
1
2
内心到边的距离×三角形的周长
12、如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC 于 D，若OD=3， △ABC 的周长为 15，求 S△ABC .
A
B
C
O
F
D
E
证明：
过点 O 作
DF⊥AC 于 F，
OE⊥AB于E，
连接AO.
∵ OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
且OD⊥BC
∴ OD=OE=OF
∴ S△ABC=
S△ABO
=
1
2
AB
×OE
BC
×OD
+
1
2
AC
×OF
+
1
2
=
1
2
AB
×OD
BC
×OD
+
1
2
AC
×OD
+
1
2
=
1
2
OD
×(AB+BC+AC)
又∵ OD=3， △ABC的周长为15
∴
S△ABC=
1
2
×3×15
=22.5
+S△BOC
+S△AOC
∴ OD=OE，
OD=OF
13、如图，在 △ABC 中，∠ABC=90°，AB=7，AC=25，BC=24，三条角平分线相交于点 P，求点 P 到 AB 的距离．
F
D
E
13、如图，在 △ABC 中，∠BAC 和 ∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥ AB交 BC 于 F，交 AC 于 E，过点 O 作OD⊥BC 于 D.
(1) 求证：∠AOB=90°+ ∠C；
(2) 求证：AE+BF=EF；
(3) 若 OD=a，CE+CF=2b，请用含 a，b 的代数式表示 △CEF的面积，S△CEF= (直接写出结果).
1
2
G
本节课你有什么收获？
角平分线上的点到角两边的距离相等.
知识回顾
角平分线的性质：
定理：
P
B
A
Ｏ
C
D
点到角两边垂线段的长度
特别提醒：
① 点一定要在角平分线上
② 点到角两边的距离
性质定理的作用：
可用来证明两条线段相等.
是指
几何语言：
∵ OP 是 ∠AOB的平分线，
∴ PC=PD
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
且 PC⊥OA，
PD⊥OB
推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个.
比
一
比
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
(角的内部的)点到角两边的距离相等
点在角平分线上
性质
判定