15.4角平分线的作法和性质 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.）
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
含30°角的直角三角形的性质
定理：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°
A
B
C
几何语言：
∴ BC=
1
2
AB
30°
或 AB=2BC
知识拓展：
① 适用条件:
① 必须在直角三角形中
② 有一个锐角为30°
二者缺一不可
② 作用：
这个性质主要用于计算线段的长度或证明线段的倍数关系.
15.4 角平分线的作法和性质
知识回顾
角平分线的定义：
把这个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线.
在角的内部，
如上图，
∠AOC=
= ∠AOB
或
=2∠AOC
1
2
以角的顶点为端点的一条射线
OC是∠AOB的平分线，
这时有：
B
A
O
O
C
∠COB
∠AOB=
=2∠COB
∠AOC+∠COB
探究新知
问题 怎样作出角的平分线？
再用量角器画出这个角的平分线.
度量法
方法一：
先用量角器量出已知角的度数，
并除以 2，
通过折痕找到角的平分线AC.
探究新知
问题 怎样作出角的平分线？
B
C
使∠BAC的两边重合，
折叠法
方法二：
通过折纸，
得到折痕 ，
A
(B)
C
角是轴对称图形，
角平分线所在的直线是它的对称轴.
问题 怎样作出角的平分线？
探究新知
B
A
M
N
P
Ｏ
用尺规作图法，
方法三：
作出∠AOB的平分线.
作法：
任意长为半径画弧
1、以点O为圆心，
1
2
以大于 MN长为半径
分别交OA，OB于点M，N.
2、分别以点 M，N 为圆心，
(为什么 )
在角的内部画弧交于点P.
3、做射线OP，
则OP为所作的∠AOB的平分线.
思考 1 根据作图，你能证明所作射线OP，就是 ∠AOB 的平分线吗？
B
A
M
N
P
Ｏ
已知：OM=ON，PM=PN.
求证：OP平分∠AOB.
证明：
在 △OMP 和 ONP 中
∵
OM=ON
PM=PN
OP=OP
(已知)
(已知)
(公共边)
∴ △OMP ≌ △ONP
(SSS)
∴ ∠MOP=∠NOP
∴ OP平分∠AOB
(全等三角形的对应角相等)
(角平分线的定义)
探究新知
探究新知
两弧相交于点P.
思考 2 当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°)，你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线OP与直线AB是什关系？
作法：
任意长为半径画弧
1、以点O为圆心，
分别交OA，OB于点M，N.
1
2
以大于 MN长为半径画弧，
2、分别以点M，N为圆心，
3、作射线OP，
则OP为所作的∠AOB的平分线.
A
B
O
N
M
P
OP⊥AB
探究新知
通过上面作图，你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗？
由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分为两种情况：
① 经过已知 直线上的一点 作这条折线的垂线.
② 经过已知 直线外一点 作这条直线的垂线.
① 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
操 作
已知：直线AB和AB上的一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
两弧相交于点F.
作法：
任意长为半径画弧
1、以点C为圆心，
分别交CA，CB于点D，E.
1
2
以大于 DE长为半径画弧，
2、分别以点M，N为圆心，
3、作直线CF，
则直线CF为所求作的直线.
A
B
C
E
D
F
思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线，你能说说道理吗？
② 经过已知 直线外一点 作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外上的一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
两弧相交于点F.
作法：
1、以点 C 为圆心，以大于点 C 到直线 AB 的
距离的线段长为半径画弧，
1
2
以大于 DE长为半径画弧，
2、分别以点 D 和点 E 为圆心，
3、作直线 CF，
则直线 CF 为所求作的直线.
A
B
C
D
E
F
交AB于点 D 和 E；
思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线，你能说说道理吗？
操 作
1、如图，在 △ABC 中，作 ∠ABC 的平分线 BD，交 AC 于 D，作线段 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AB 于 E，BC 于 F，垂足为 O，连接 DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明.(不写作法，保留作图痕迹)
对应练习
2、尺规作图：请在下图作出一个∠AOC，使其是已知∠AOB的 倍.
3
2
(要求保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论.)
A
B
M
N
P
Ｏ
C
对应练习
P
思考：如图，OP 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OP 上的任意一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD ⊥ OB，点 C，D 是垂足 .量一量 PC 和 PD 的长度，你能发现什么？
你能证明你的猜想吗？
P
B
A
Ｏ
C
D
PC=PD
C
D
P
C
D
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
由此你能得到什么猜想？
探究新知
验证猜想
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
证明：
∵ PC⊥OA，PD⊥OB
∴ ∠PCO=∠PDO=90°
在△PCO和△PDO中，
∠AOP=∠BOP
∠PCO=∠PDO
OP= OP
∴ △PDO≌△PEO
∴ PC=PD
P
B
A
Ｏ
C
D
已知：如图，OP 平分 ∠AOB，点 P 是 OP 上的任意一点， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C，D.
求证：PC=PD.
∵ OP 平分∠AOB
∴ ∠AOP=∠BOP
(角平分线的定义)
(垂直的定义)
∵
(公共边)
(AAS)
(全等三角形的对应边相等)
角平分线上的点到角两边的距离相等.
归纳总结
角平分线的性质：
定理：
P
B
A
Ｏ
C
D
点到角两边垂线段的长度
使用条件：
① 点一定要在角平分线上
② 点到角两边的距离
性质定理的作用：
可用来证明两条线段相等.
是指
几何语言：
∵ OP 是 ∠AOB的平分线，
∴ PC=PD
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
且 PC⊥OA，
PD⊥OB
推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
C
A
B
D
图①
图②
C
B
A
D
巩固练习
1、判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质
(1) 如图①
∵ AC平分∠BAD
∴ DC=BC
(2) 如图②
∵ BC⊥AB，DC⊥AD
∴ DB=DC
(3) 如图②
∵ AD平分∠BAC，
DC⊥AC
且 DB⊥AB，
∴ BD=CD
×
×
√
2、如图，OP 为 ∠AOB 的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C、D，则下列结论错误的是（　　）
A.PC=PD B.OC=OD
C.∠CPO=∠DPO D.∠CPD=∠DOC
D
巩固练习
巩固练习
3、如图，已知 OC 是 ∠AOB 的角平分线，点 D、F 分别是射线 OC、OA 的动点，DE⊥OB 于 E 且 DE=3cm，则线段 DF 的最小值是 cm.
3
F
4、如图，已知在 △ABC 中，CD是AB边上的高线，BE 平分 ∠ABC，交 CD 于点 E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(　　 )
A．10 B．7 C．5 D．4
C
F
巩固练习
5、如图，PA、PC 分别是 △ABC 外角 ∠MAC 与 ∠NCA 的平分线，并交于点 P，PD⊥BM 于点 D，PF⊥BN 于点 F.
求证：BP 是 ∠MBN的平分线．
巩固练习
E
知识拓展：
过角平分线上的一点向角两边作垂线段，再利用角平分线的性质定理解决问题.
解决有关角平分线问题最常用的作辅助线的方法：
6、已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
DF⊥AC
∠DEB=∠DFC=90°
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中
DE=DF
BD=CD
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF
∴ EB=FC
证明：
∵ AD是∠BAC的角平分线，
且DE⊥AB，
∴ DE=DF
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
(垂直的定义)
∵
(HL)
(全等三角形的对应边相等)
(已知)
(已证)
7、如图，CD 是 ∠AOB 平分线上的点，CE⊥OA 于点 E，CF⊥OB 于点 F，求证：∠CDE=∠CDF.
8、 如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，BC＝AC，AD 是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB 于点 E . 若 AB＝10 cm，求 △DBE 的周长．
解:
∵ AD平分∠CAB，
DE⊥AB
∴ DC＝DE
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
在Rt△ACD 和 Rt△AED中
DC=DE
AD=AD
∴ Rt△ACD≌Rt△AED
∴ AC=AE
∵
(HL)
(全等三角形的对应边相等)
(公共边)
(已证)
∵ AC=BC
∴ AE=BC
∴ △DBE的周长=
DE+DB+EB
且∠C＝90°，
=CD+DB+EB
=BC+EB
=AE+EB
=AB
又∵ AB＝10 cm
∴ △DBE的周长为10cm
9、如图所示，BD 是 ∠ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足分别为 E，S△ABC=60cm2，AB=18cm，BC=12cm，求 DE 的长．
巩固练习
F
10、如图，AE∥ CF，AG、CG 分别平分 ∠EAC 和 ∠FCA，过点 G 的直线 BD⊥AE，交 AE 于 B，交 CF 于D.
求证：AB+CD=AC.
H
巩固练习
11、如图，D 是 ∠EAF 的平分线上的一点，点 B，C 分别在 AF，AE 上，若 ∠ACD+∠ABD=180°.求证：CD=BD.
巩固练习
N
M
本节课你有什么收获？
角平分线上的点到角两边的距离相等.
归纳总结
角平分线的性质：
定理：
P
B
A
Ｏ
C
D
点到角两边垂线段的长度
使用条件：
① 点一定要在角平分线上
② 点到角两边的距离
性质定理的作用：
可用来证明两条线段相等.
是指
几何语言：
∵ OP 是 ∠AOB的平分线，
∴ PC=PD
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
且 PC⊥OA，
PD⊥OB
推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个.