2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 不等式
一、选择题
1.（2022·全国甲（文）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.（2022·全国甲（理）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2022·新高考Ⅱ卷T12） 对任意x，y，，则（ ）
A. B.
C. D.
2021年及以前高考真题
1．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知，，，则 ( )
A． B． C． D．
2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设，，则 ( )
A． B．
C． D．
3．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设，满足约束条件，则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
4．(2014高考数学课标2理科)设x,y满足约束条件，则的最大值为 ( )
A．10 B．8 C．3 D．2
5．(2014高考数学课标1理科)不等式组的解集记为．有下面四个命题:
；
；．
其中真命题是 ( )
A． B． C． D．
6．(2013高考数学新课标2理科)已知满足约束条件若的最小值为1，则等于 ( )
A． B． C．1 D．2
二、填空题
7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若x，y满足约束条件则z=x+7y最大值为______________．
8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若满足约束条件 则的最大值为_________．
10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)若满足约束条件， 则最大值为 ．
11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设满足约束条件,则的最小值为__________．
12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)若,满足约束条件,则的最小值为__________．
13．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若满足约束条件 ,则的最大值为_____________.
14．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
15．(2015高考数学新课标2理科)若满足约束条件，则的最大值为____________．
16．(2015高考数学新课标1理科)若满足约束条件则的最大值为 ．
17．(2012高考数学新课标理科)设满足约束条件：，则的取值范围为2012-2022十一年全国高考数学真题分类汇编 不等式（精解精析）
一、选择题
1.（2022·全国甲（文）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
2.（2022·全国甲（理）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A
3.（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定大小.
【详解】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
4.（2022·新高考Ⅱ卷T12） 对任意x，y，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
2021年及以前高考真题
1．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知，，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：，，，故．
2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设，，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
解析：一方面，，所以
，，所以
所以即，而，所以，所以
综上可知，故选B．
3．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设，满足约束条件，则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】解法一：常规解法
根据约束条件画出可行域（图中阴影部分）, 作直线，平移直线，
将直线平移到点处最小，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，
可得，即．
(
y
= -3
2
x
+3
y
-3=0
2
x
-3
y
+3=0
)
解法二：直接求法
对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的
为最小值即可，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所求值分
别为﹑﹑，故，．
解法三：隔板法
首先 看约束条件方程的斜率
约束条件方程的斜率分别为﹑﹑；
其次 排序
按照坐标系位置排序﹑﹑；
再次 看目标函数的斜率和前的系数
看目标函数的斜率和前的系数分别为﹑；
最后 画初始位置，跳格，找到最小值点
目标函数的斜率在之间，即为初始位置，前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为
最大值点，即，第二个格为最小值点，即，只需解斜率为和这两条线的交点
即可，其实就是点，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，
可得，即．
【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般
变化只在两个方向变化，1．约束条件的变化；2．目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面
变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条
件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法
即可．
4．(2014高考数学课标2理科)设x,y满足约束条件，则的最大值为 ( )
A．10 B．8 C．3 D．2
【答案】B
解析：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线，可得最大值为8．
考点：（1）二元一次不等式（组）表示平面区域；（2）求线性目标函数的最值问题。
难度：B
备注：常考题
5．(2014高考数学课标1理科)不等式组的解集记为．有下面四个命题:
；
；．
其中真命题是 ( )
A． B． C． D．
【答案】 C
解析:作出可行域如图:设，即
当直线过时，，∴，∴命题、真命题，选C．
考点:(1)二元一次不等式组表示平面区域(2)求线性目标函数的最值问题
(3)全(特)称命题真假判断(4)数形结合思想
难度:C
备注:高频考点
6．(2013高考数学新课标2理科)已知满足约束条件若的最小值为1，则等于 ( )
A． B． C．1 D．2
【答案】B
解析：由得到，代入得
考点：（1）7．4．1二元一次不等式（组）表示平面区域；（2）7．4．2求线性目标函数的最值问题
难度： B
备注：高频考点
二、填空题
7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若x，y满足约束条件则z=x+7y最大值为______________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：．
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
【答案】7
解析：不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以．
故答案为：7．
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题．
9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若满足约束条件 则的最大值为_________．
【答案】9
解析：作出可行域，则直线过点时取得最大值9．
10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)若满足约束条件， 则最大值为 ．
【答案】6
解析：作出不等式组对应的平面区域如图
由得，平移直线，由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，最大值为，故答案为6．
11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设满足约束条件,则的最小值为__________．
【答案】
【解析】不等式组表示的可行域为如图所示
易求得
直线得在轴上的截距越大,就越小
所以,当直线过点时,取得最小值
所以取得最小值为．
【考点】线性规则
【点评】本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型:转化成斜截式比较截距,要注意前系数为负时,截距越大,值越小;②分式型:其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方型:其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④绝对值型:转化后其几何意义是点到直线的距离．
12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)若,满足约束条件,则的最小值为__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的可行域,
目标函数即:,其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的倍,截距最大的时候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点 处取得最小值．
【考点】应用线性规划求最值
【点评】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大．
13．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若满足约束条件 ,则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】作出不等式组满足的平面区域,可知当目标函数经过点时取得最大值,即.
14．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】216000．
【解析】设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为
目标函数
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为
在处取得最大值，
15．(2015高考数学新课标2理科)若满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．
考点：线性规划．
16．(2015高考数学新课标1理科)若满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】3
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3．
考点：线性规划解法
17．(2012高考数学新课标理科)设满足约束条件：，则的取值范围为
【答案】
解析：由z=x-2y可得，，则表示直线x-2y-z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可知，当直线x-2y-z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x-2y-z=0平移到A时，截距最小，z最大
由可得B（1，2），由可得A（3，0）
∴，，则z=x-2y∈[-3，3]
考点：（1）7．4．2求线性目标函数的最值问题
难度：Ａ
备注：高频考点
