双曲线复习卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知双曲线的焦距为4，则的值为（ ）
A．1 B． C．7 D．
2．等轴双曲线：（，）的焦距为4，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．双曲线与双曲线具有相同的（ ）
A．焦点 B．实轴长 C．离心率 D．渐近线
4．已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则（ ）
A． B． C． D．
6．若双曲线（，）上存在四点，使得四边形为正方形，且原点为正方形中心， 为双曲线右顶点，在第一象限，，设双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
7．若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
8．已知，是双曲线的左、右焦点，若的右支上存在一点，满足，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为
C．双曲线的渐近线方程
D．双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为
10．设，为实数，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．左焦点为
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A． B．E的离心率等于
C．双曲线渐近线的方程为 D．好场的内切圆半径是
12．已知双曲线，C的两条渐近线分别为，，点为C右支上任意一点，它到，的距离分别为，，到右焦点的距离为，则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为______.
14．双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则_____．
15．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为________.
16．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率的取值范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17(本题10分)．已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．
18(本题12分)．已知双曲线的左 右焦点分别为，.
(1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程；
(2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率.
19(本题12分)．双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.
20(本题12分)．已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．
21(本题12分)．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
22(本题12分)．双曲线的左、右顶点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该双曲线交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为．
(1)求曲线的方程；
(2)动点，在曲线上，已知点，直线，分别与轴相交的两点关于原点对称，点在直线上，，证明：存在定点，使得为定值．双曲线复习卷参考答案：
1．B
2．B
3．D
4．C
5．C
6．C
7．C
8．A
9．ABC
10．BCD
11．AC
12．CD
13．1
14．12
15．6
16．
17．(1)
(2)24
【详解】（1）若焦点F（c，0），其到渐近线的距离，
又因为双曲线C：经过点，
所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为；
（2）由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为：
设点，，
联立，
得，
所以，，
从而.
所以弦长|AB|的值为24．
18．(1)
(2)2
【详解】（1）因为，的面积为，
所以，
即，
所以，
解得或（舍去），
所以，
所以双曲线C的渐近线方程是.
（2）因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，如图，
，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，则，
所以，，，
所以，，
所以双曲线C的离心率为2.
19．(1)
(2)
【详解】（1）因为是双曲线E上一点，
可得，即为，
由题意可得，，
可得，即有.
（2）由题意可得，，则双曲线的方程为，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，可得，
设，则，，①
又，可得，②
由①②可得， ，
代入①可得，解得，
则直线l的方程为.
20．(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，
因为双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，
双曲线的一条渐近线为，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为，
所以，
②代入①得：，所以求双曲线的方程为.
（2）设，，，
联立方程，得：，
，
，
因为，所以，
因为点在双曲线上，所以，
即，
所以，
即，
当时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意；
当时，，所以不满足题意；
当时，，
所以，
综上所述：的取值范围为.
21．(1)
(2)是，2
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则，
则双曲线的方程为.
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则，消得：，
则，可得：①
设与轴交点为，
则，
∵双曲线两条渐近线方程为：，
联立，解得，即，
同理可得：，
则（定值）.
22．(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）当轴时，把代入双曲线方程中，得，
设，，
，
所以，得，
所以的方程：；
（2）证明：设直线的方程为，，，
，整理得，
则，，，
直线，分别与轴相交的两点为，，
∴直线方程为，
令，则，同理，
可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴， 分
当时，，
此时直线方程为恒过定点，显然不可能，
∴，直线方程为，恒过定点
∵，设中点为，∴
∴为定值，∴存在使为定值．
