广东汕头华侨中学2022-2023高一数学函数单元测试
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
解：集合中的不等式变形得：，
，
解得：，即，，
，
集合中的不等式，变形得：或，
解得：或，即或，
全集为，或，
则，即元素个数是个．
故选：．
用二分法求函数的零点时，初始区间大致可选在( )
A. B. C. D.
解：由于，，
所以，故初始区间可选．
故选B．
函数在上的最大值与最小值的和为，且函数在上是单调函数，则有 ( )
A. B. C. D.
解： 因为函数在上的最大值与最小值只能在和处取得，
所以，
得，
即，
又函数在上是单调函数，
所以，即．
故选C．
在同一坐标系中，函数，的图像可能是 ( )
A. B.
C. D.
【解答】解：当时，的图象过点，且单调递增，
函数单调递增，当时，的图象应在直线的下方，故C错误；
当时，的图象过点，且单调递减，
函数单调递增，当时，的图象应在直线的上方，故A，B错误，符合题意，
设，，，则( )
A. B. C. D.
解：依题意，，，，
所以，
故选D．
设，则( )
A. B. C. D.
解：．
故选：．
定义在上的函数满足：，，，，则不等式的解集是
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
解：因为，，
；
所以函数是奇函数，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由，得，
当时，；当时，，当时，；当时，，
等价于或
解得或，
即不等式的解集是或．
故选A．
有关部门往往会采用一个系数来评估一次疫情蔓延的程度，就是指在无任何干预下，平均一个感染者每天能传播个人，若，则一个感染者传播亿人大约至少需要经过( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
解：设第天感染人数为，则，
由题意得，
，
，
取的最小值，
故选：．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列四个命题为真命题的是( )
A. 使
B. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是
C. 函数有唯一零点的充要条件是
D. 命题“，”的否定是“，”
解：对于，令，
，，
在区间内存在零点，此时，
，使得，A正确；
对于，当时，
令，解得：，
的定义域为，B错误；
对于，当时，，此时有唯一零点，C错误；
对于，由全称量词命题的否定知原命题的否定为：，，D正确．
故选AD．
已知，，若，，则( )
A. B. C. D.
解：因为，，
若，，
则令，则，
即，
所以或
即与题意矛盾，舍或，
又因为，
所以，
同理令，可得，故A、B正确；
令，可得，与选项矛盾，故C错；
令，可得，与选项矛盾，故D错．
关于函数说法正确的是( )
A. 定义域为 B. 图象关于轴对称
C. 图象关于原点对称 D. 在内单调递增
解：由得，解得，
所以函数的定义域为，故A正确；
令，定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，关于原点对称，故C正确，B错误；
因为在单调递减，则在单调递增，
所以在单调递增，故D正确．
故选ACD．
函数，函数，则函数的零点个数可能为( )
A. B. C. D.
解：根据题意，，其大致图象如图：
函数的零点，
即方程即的根，
对于，
当时，方程无解，则函数的零点个数为，
当时，有解，
即，此时有和符合题意，函数的零点个数为，
当时，有解，
即和，
若，有个符合题意，
若，有个符合题意，则此时函数的零点个数为，
综合可得：函数的零点个数可能为、、；
故选：．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数的值域是______．
解：令，则，
即，，
函数在区间上是减函数，
故 ，且，
故函数的值域是．
故答案为．
计算__________．
解：原式．
故答案为．
函数的图象恒过定点，若，，则的最小值 ．
解：由已知，定点坐标为，
由，，
，即，
又，，，
，
当且仅当，取等号．
故答案为：．
已知，，则______用，表示
解：，，又，
，．
则．
故答案为．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知不等式．
解上述关于的不等式；
在的条件下，求函数的最大值和最小值，并求出相应的的值．
解：即，
可得，
则解集为；
令，由可得，即有，
有在递增，
当，即时，函数取得最小值为；
当，即时，函数取得最大值为．
本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的解析式；
用定义法证明：在上是减函数；
解关于的不等式．
解：依题意，，解得，
经检验，符合题意，
故；
证明：设，则，
又，则，
所以，即，
所以在上是减函数；
不等式等价于，
则，解得，
故不等式的解集为．
本小题分
幂函数的图象与轴和轴都无交点，且关于轴对称．
求的解析式；
解不等式．
解：是幂函数，
，
或或，
又，
，
；
不等式可化为，
在上是严格减函数，
，
且，
故原不等式的解集为．
本小题分
某医疗器械工厂计划在年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本万元，每生产千部电子仪器，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每千部电子仪器售价万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量千部的函数关系式；利润销售额成本
年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大最大利润是多少
解：销售千部手机获得的销售额为：
当时，
当时，
故
当时，，当时，
当时，，当且仅当，即时，等号成立
因为，
所以当千部时，所获利润最大，最大利润为万元．
本小题分
已知函数．
求函数的解析式，并判断的奇偶性；
解关于的不等式：．
解：令，则
代入已知式子可得，
的定义域关于原点对称，
且
是奇函数
原不等式可化为，
由得，由可得，
即，即，，
即且，
解得：或，又，
原不等式的解集为
本小题分
已知函数．
求的零点；
若在上有解，求的范围；
设，且在上的最小值为，求实数的值．
解：令，可得，即，得，
的零点是；
，令，则在单调递增，
在上有零点，由零点存在定理得，得，
解得，
的范围是；
，
令，，，
，
当时，在上为减函数，在上为增函数，
，即，则，
解得，或舍去；
当时，在上为增函数，，
即，则，解得舍去．
综上可得，． 广东汕头华侨中学2022-2023高一数学函数单元测试
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
用二分法求函数的零点时，初始区间大致可选在( )
A. B. C. D.
函数在上的最大值与最小值的和为，且函数在上是单调函数，则有 ( )
A. B. C. D.
在同一坐标系中，函数，的图像可能是 ( )
A. B.
C. D.
设，，，则( )
A. B. C. D.
设，则( )
A. B. C. D.
定义在上的函数满足：，，，，则不等式的解集是
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
有关部门往往会采用一个系数来评估一次疫情蔓延的程度，就是指在无任何干预下，平均一个感染者每天能传播个人，若，则一个感染者传播亿人大约至少需要经过( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列四个命题为真命题的是( )
A. 使
B. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是
C. 函数有唯一零点的充要条件是
D. 命题“，”的否定是“，”
已知，，若，，则( )
A. B. C. D.
关于函数说法正确的是( )
A. 定义域为 B. 图象关于轴对称
C. 图象关于原点对称 D. 在内单调递增
函数，函数，则函数的零点个数可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数的值域是______．
计算__________．
函数的图象恒过定点，若，，则的最小值 ．
已知，，则______用，表示
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知不等式．
解上述关于的不等式；
在的条件下，求函数的最大值和最小值，并求出相应的的值．
本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的解析式；
用定义法证明：在上是减函数；
解关于的不等式．
本小题分
幂函数的图象与轴和轴都无交点，且关于轴对称．
求的解析式；
解不等式．
本小题分
某医疗器械工厂计划在年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本万元，每生产千部电子仪器，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每千部电子仪器售价万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量千部的函数关系式；利润销售额成本
年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大最大利润是多少
本小题分
已知函数．
求函数的解析式，并判断的奇偶性；
解关于的不等式：．
本小题分
已知函数．
求的零点；
若在上有解，求的范围；
设，且在上的最小值为，求实数的值．
