2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.3幂函数 限时训练（含解析）

3.3幂函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
2．已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．幂函数在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
7．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数中在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
10．下列关于幂函数描述正确的有（ ）
A．幂函数的图象必定过定点和
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当幂指数时，幂函数是奇函数
D．当幂指数时，幂函数是增函数
11．已知幂函数图象过点，则下列命题中正确的有（ ）
A． B．函数的定义域为
C．函数为偶函数 D．若，则
12．下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上是减函数
C．函数的单调区间是
D．已知在上是增函数，若，则有
三、填空题
13．幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．
14．已知幂函数的图象过点，则______．
15．已知点在幂函数的图象上，则的表达式是__．
16．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
四、解答题
17．已知函数是幂函数，求的值．
18．已知幂函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围.
19．（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．
（2）求函数的值域．
参考答案：
1．D
【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项.
【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；
对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；
对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；
对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．
故选：D．
2．B
【解析】取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系.
【详解】由图象可知，当时，，则
故选：B
3．D
【分析】由于函数为幂函数，所以，求出或，由于幂函数的图像关于原点对称，所以，然后解不等式即可得答案
【详解】由题意得：，得或
当时，图象关于y轴对称，不成立；
当时，是奇函数，成立；
所以不等式转化为，即，解得.
故选：D
4．C
【分析】设出函数的解析式，根据幂函数的图象过点，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【详解】设幂函数的解析式为，
∵幂函数的图象过点，
∴，
解得
∴，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方．对照选项可知C满足题意．
故选:C．
5．B
【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，，再由，代入化简计算，即可求解出答案.
【详解】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得.
故选：B
6．A
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得的值．
【详解】解：幂函数在上单调递增，
，且，解得或，
当时符合题意；
当时不符合题意；
故选：．
7．C
【分析】设幂函数，先求出，.再换元利用二次函数图象和性质求解.
【详解】设幂函数，
因为函数的图象过点，
所以，所以，
故，
所以.
令，所以，
则，
所以当时，.
故选：C.
8．C
【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
9．BD
【分析】根据一次函数或幂函数的性质即可判断.
【详解】对于A, 为定义在上的单调递减函数，所以A错误；
对于B,,所以函数为奇函数,
且,则在上单调递增,
所以为定义在上的单调递增函数，所以B正确；
对于C, 的图象关于原点对称，所以为奇函数，
且在单调递减，所以C错误；
对于D, ,所以函数为奇函数,
且因为,则在上单调递增,
所以为定义在上的单调递增函数，所以D正确；
故选:BD.
10．BD
【分析】依据幂函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误；
选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确；
选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误；
选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确；
故选：BD
11．AD
【分析】由题可得，利用函数的性质逐项判断即得.
【详解】∵幂函数图象过点，
∴，即，
∴，故A正确；
又函数的定义域为，故B错误；
函数为非奇非偶函数，故C错误；
当时，，故D正确.
故选：AD.
12．AD
【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，故正确；
对于B选项，函数在上不具有单调性，故错误；
对于C选项，解不等式得，函数得定义域为，故错误；
对于D选项，由得，由于在上是增函数，故，所以，故正确.
故选：AD
13．
【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.
【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，
又函数在上单调递减，则，
所以实数m的值为-3.
故答案为：-3
14．1
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.
【详解】依题意，设，为常数，则，解得，即，
所以.
故答案为：1
15．
【分析】本题首先可根据幂函数的性质将函数设为，然后带入点，通过计算即可得出结果．
【详解】因为函数幂函数，
所以设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，，即
故答案为：．
16．＜
【分析】由函数为幂函数，可得m＝－1或m＝2，又由题意函数在上单调递增，可得，从而根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】解：因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．
当m＝－1时，；当m＝2时，．
因为函数对任意的，，且，满足，
所以函数在上单调递增，
所以，
又，
所以函数是奇函数，且为增函数，
因为，
所以，
所以，即．
故答案为：＜.
17．-6
【分析】根据幂函数的定义列方程组，解出m、n，即可求出的值．
【详解】因为是幂函数，
所以，解得，
所以．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；
（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.
（1）
解：由题意，幂函数，
可得，即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）
解：由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
19．（1）作图见解析，定义域为；（2）.
【分析】（1）根据函数解析式，求出图象上的五个点坐标，描点即可画出图象，观察解析式即可得出定义域；
（2）设，从而有，即可得出的值域.
【详解】解：（1）由于，
则，，，
所以过点，
故的图象，如图所示，函数的定义域为；
（2）由题可知，
设，则，
当时取等号，故的值域为．