2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.4函数的应用（一） 练习（含答案）

3.4函数的应用（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若幂函数在上为减函数,则m的值为（　 　）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
2．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（ ）
A． B． C． D．
4．某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是， ，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　）
A．3台 B．5台 C．6台 D．10台
5．规定从甲地到乙地通话 min的电话费由(元)决定，其中>0，[]是大于或等于的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为( )元
A．4.8 B．5.2 C．5.6 D．6
6．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
级数 一级 二级 三级
每月应纳税所得额元（含税）
税率 3 10 20
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ）A．1800 B．1000 C．790 D．560
7．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：
购票人数 1~50 51~100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ）A．20 B．30 C．35 D．40
8．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
二、多选题
9．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是（ ）A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
10．某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
11．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
12．符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数是增函数
C．方程有无数个实数根 D．的最大值为1，最小值为0
三、填空题
13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．
14．函数零点的个数为_____________.
15．如图，在半径为（单位：）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为____（单位：）.
四、解答题
16．某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
17．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
18．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
参考答案：
1．C
【解析】由幂函数在区间上为减函数，可得，．解出即可．
【详解】函数是幂函数，
则，解得：或
又函数在区间上为减函数，
则，所以，
故选：C.
【点睛】本题考查了幂函数的定义及其单调性，属于基础题．
2．D
【分析】分别求出二、三份的利润再求和即可.
【详解】二、三月份利润的月增长率为，
则二月份获得利润为万元，三月份获得利润为万元，
依题意得：.
故选：D.
3．A
【分析】先写出用水量与电费发函数关系，再解方程.
【详解】设该职工用水时，缴纳的水费为元，由题意得，
则，解得.
答：该职工这个月实际用水为.
故选：A
【点睛】解应用题关键是找出变量之间的关系，列方程求解未知量.
4．A
【分析】依题意利用 解出x的值，再结合x的取值范围，即得结果．
【详解】解：依题意， ，即，
解得或 （舍去），∵，∴.
∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．
故选：A．
5．C
【分析】计算，代入函数，计算即得结果.
【详解】由，得.
故选：C.
6．C
【解析】由题意分段计算李某的个人所得税额；
【详解】解：李某月应纳税所得额（含税）为：元，
不超过3000的部分税额为元，
超过3000元至12000元的部分税额为元，
所以李某月应缴纳的个税金额为元．
故选：．
【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，属于基础题．
7．B
【解析】根据990不能被13整除，得到两个部门的人数之和为，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组，即可求解.
【详解】由题意，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为，
（1）若，则，可得，……(1)
由共需支付门票为1290元，可知,………(2)
联立方程组，可得（舍去）；
（2）若，则，可得，……(3)
由共需支付门票为1290元，可知，可得，…(4)
联立方程组可得，
所以两个部门的人数之差为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
8．C
【分析】设每天从报社买进份报纸时，根据题意求得函数的解析式，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表．
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回
则推销员每月所获得的利润
又由在上单调递增，
所以当时，取得最大值8700．
故选C．
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，结合一次函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
9．BD
【分析】根据题中数据，可换算出每100克的售价，比较即可判断A、B的正误；分别算出卖1大包的盈利和卖3小包的盈利，比较即可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，
卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.
故选：BD
10．AC
【分析】根据函数图像依次分析各选项即可得答案.
【详解】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，
在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.
故选：AC
11．BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
12．AC
【分析】作出函数的图象，结合函数的图象对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可．
【详解】作出的图象如图：
对于A，由题意可知，所以A正确；
对于B，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，函数在定义域上是周期函数，不是增函数，所以B错误；
对于C，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程有无数个根，所以C正确；
对于D，由图可知，函数无最大值，最小值为0，所以D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是画出函数的图象，意在考查学生数形结合的数学思想的运用. 函数的图象是研究函数的一个重要手段，要在解题中灵活运用.
13．1120
【分析】设顾客选购物品的总金额为元, 获得的折扣优惠金额为元,根据题意列出分段函数的解析式,利用各段解析式可求得答案.
【详解】设顾客选购物品的总金额为元, 获得的折扣优惠金额为元,
则当时,,
当时,,令,得,解得,所以应舍去;
当时,,令,所以,解得,符合题意,
所以他实际所付金额为1150-30=1120元.
故答案为:1120.
【点睛】本题考查了分段函数的解析式,弄清题意,建立各段上的函数关系式是解题关键,属于基础题.
14．2
【分析】函数零点的个数即方程实数根的个数，求出方程的实根即可得出答案.
【详解】函数零点的个数，即方程实数根的个数.
由，即或
由得或.
由无实数根.
所以函数的零点有2个.
故答案为：2
【点睛】本题考查求函数的零点个数问题，根据题目条件求出函数的零点即可，属于基础题.
15．
【分析】设BC=x,连结OC，求出OB，得到矩形面积表达式，然后利用基本不等式求出函数的最值即可．
【详解】设BC=x,连结OC，得OB=，所以AB＝2，
所以矩形面积S＝2，x∈（0，4）,
S＝2 ．
即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时ymax＝16
故答案为16
【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用基本不等式求函数最值问题，考查计算能力．
16．(1)
(2)
(3)元
【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为元列出求解；
（2）根据题意求分段函数解析式；
（3）根据利润公式及分段函数入代求解即可.
【详解】（1）解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，
则.
（2）当时，；
当时，；
当时，.
（3）设工厂获得的利润为元，则，
即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元.
17．(1)
(2)百辆，最大利润为万
【分析】（1）根据题意分情况列式即可；
（2）根据分段函数的性质分别计算最值.
【详解】（1）由题意得当时，，
当时，，
所以,
（2）由（1）得当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，时，，，
时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
18．(1)3年
(2)方案①较为合算
【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利.
（2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.
（1）
由题意可得，即，
解得，，
该车运输3年开始盈利.；
（2）
该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万，
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.