2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.2指数函数 限时训练（含答案）

4.2指数函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0B．y＝10－2x(0C．y＝20－x(0D．y＝20－2x(03．如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．设，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则
A． B． C． D．
6．已知f(x)=，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63 B．83 C．86 D．91
7．若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
8．函数（ ）
A．是上的减函数
B．是上的增函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．无法判断其单调性
9．已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是
A． B．
C． D．
10．近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．若，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．定义运算，设函数，则下列命题正确的有（ ）
A．的值域为
B．的值域为
C．不等式成立的范围是
D．不等式成立的范围是
13．（多选题）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
14．下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.70.3＞0.93.1 D．
三、填空题
15．若幂函数的图像经过点，则的值为_________.
16．函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集合为______．
17．函数的定义域为______．
18．若函数，则不等式的解集为___________.
四、解答题
19．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．
(1)求f（x）的解析式；
(2)若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
20．已知函数.
（1）求在上的值域；
（2）解不等式；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
21．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
（1）若f(2)＝，求f(x)解析式；
（2）讨论f(x)奇偶性．
22．定义在D上的函数，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有||≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界，已知函数.
(1)当a＝－1时，求函数在(－∞,0)上的值域，并判断函数在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数在[0,＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】如图，作出直线得到，即得解.
【详解】
如图，作出直线得到，
所以.
故选：B
2．A
【分析】利用周长列方程，化简求得关于的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式.
【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0所以函数解析式为.
故选：A
3．B
【解析】将点代入函数解析式，即可得出的值.
【详解】由题意可知，解得或（舍）
故选：B
4．B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
5．B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
6．C
【分析】由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.
【详解】依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)= f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，
当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，
所以f(4)+f(-4)=86.
故选：C
7．C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
8．B
【分析】利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.
【详解】因为指数函数为上的增函数，指数函数为上的减函数，
故函数是上的增函数.
故选：B.
9．D
【解析】分类讨论和两种情况.结合函数的值域为,即可求得的取值范围.
【详解】实数且,若函数的值域为,
当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立
当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得（舍去）
综上可知的取值范围为
故选:D
【点睛】本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题.
10．D
【分析】求出的关系，再根据基本不等式判断．
【详解】由题意，，
时，，，
时，，
，，因此，
综上，．
故选：D．
11．ABD
【解析】根据所给范围，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】A.∵，∴，∴，故A正确；
B.∵，∴，故B正确；
C.∵，∴ 在R上为单调递减函数，
∵，∴，因此C不正确；
D.∵，∴、且，∴，（时才能取等号），故D正确.
故选：ABD.
12．AC
【分析】求得的解析式，画出的图象，由此判断的值域，并求得不等式的解.
【详解】由函数，有，
即，作出函数的图像如下，
根据函数图像有的值域为，所以A选项正确，B选项错误.
若不等式成立，由函数图像有
当即时成立，
当即时也成立.
所以不等式成立时，.所以C选项正确，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】本小题主要考查分段函数图象与性质，属于中档题.
13．BD
【分析】根据指数幂的运算以及根式与分数指数幂的互化逐一判断即可.
【详解】，错误；，正确；
，错误；，正确
故选：
14．BC
【分析】A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．
【详解】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，
∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，
对于选项B：＝，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且，
∴＝，故选项B正确，
对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，
对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，
∴，
又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，
∴，
∴＜，故选项D错误，
故选：BC．
15．
【分析】根据已知求出幂函数的解析式，再求出的值得解.
【详解】设幂函数的解析式为，
由题得.
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．{x|x≥1}
【分析】由题意可得a＝2，，，由ax≥f（a），结合指数函数单调性可求x
【详解】解：由函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），可知a＝2
∴，
由ax≥f（a）可得，2x≥2
∴x≥1
故答案为：{x|x≥1}
17．
【分析】将函数转化为根式形式，根据根式复合型函数定义域范围求解，转化为指数函数不等式，根据其单调性进一步求解.
【详解】因为，所以，则，
即，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：.
18．
【分析】作出函数的图像，进而可得，然后利用图像解不等式即可
【详解】函数的图像如图中的“实线”所示.
从而的图像如图中的“实线”所示，为解不等式，需观察图像，易解得与的交点为和.
故不等式的解集为，即.
故答案为：
19．(1)
(2)
【分析】（1）将点（2，4）代入函数解析式即可；
（2）根据函数的单调性，即可求出m的取值范围.
【详解】（1）将点（2，4）代入 ，得 ，
故 ；
（2） ， 是增函数，
，即 ，
， ；
综上，，.
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）令，将问题转化为二次函数值域的求解问题，由二次函数性质可求得结果；
（2）将不等式整理为，可得，由指数函数单调性可解不等式求得结果；
（3）令，将问题转化为与在时有交点，由的值域可构造不等式，解不等式求得结果.
【详解】（1）令，当时，，则可将原函数转化为，
当时，；当时，；
在上的值域为；
（2），即，，
解得：，，即不等式的解集为；
（3）令，当时，，
在上有解等价于与在时有交点，
由（1）知：在时的值域为，
，解得：，即的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题考查与指数函数和二次函数有关的复合函数的值域、不等式及方程有根问题的求解，解题的基本思路是能够通过换元的方式将问题转化为二次函数的问题来进行求解.
21．（1）；（2）奇函数．
【分析】（1）根据，求函数的解析式；（2）化简，再判断函数的奇偶性.
【详解】解：（1），．
即，．
即．
（2）因为f(x)的定义域为R，
且，
所以f(x)是奇函数．
22．(1)(1,＋∞)，函数在(－∞,0)上不是有界函数，理由见解析；
(2)[－5,1].
【分析】（1）应用换元法及二次函数的性质求y＝t2－t＋1在(1，+∞)上的值域，即知的值域，进而判断是否为有界函数.
（2）将问题转化为≤a≤对t∈(0,1]恒成立，求a的取值范围．
（1）
当a＝－1时，y＝ (x<0)，令t＝，x<0，
∴t>1，y＝t2－t＋1＝，
∴y>1，即函数在(－∞,0)上的值域为(1,＋∞)，
∴不存在常数M>0，使得||≤M成立．
∴函数在(－∞，0)上不是有界函数．
（2）
由题意知，||≤3对x∈[0,＋∞)恒成立，即－3≤≤3对x∈[0,＋∞)恒成立，
令t＝，x≥0，则t∈(0,1]．
∴≤a≤对t∈(0,1]恒成立，即≤a≤.
设h(t)＝，p(t)＝，t∈(0,1]，
∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减，
∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1.
∴实数a的取值范围为[－5,1]．