2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.4对数函数 限时训练（含答案）

4.4对数函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
4．若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中是偶函数且在区间单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
7．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
二、多选题
9．，则下列a，b的关系中，不可能成立的有（ ）
A． B． C． D．
10．设函数=ln(x2-x+1)，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数是增函数
C．函数的值域为R
D．函数的图象关于直线x=对称
11．若，，则下列表达正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．函数的定义域是____________．
14．已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是___________．
15．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
四、解答题
16．已知函数．
（1）求函数的解析式；
（2）求的值；
（3）解方程．
17．已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
18．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.
参考答案：
1．B
【解析】利用函数是增函数，排除A，C，然后分别对B，D的图象分析，假设函数的图象是正确的，从而可得的范围，进而可得指数函数的图象
【详解】解：对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；
对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确；
对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误，
故选：B
2．D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
3．C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．B
【分析】先换底，然后由对数运算性质可得.
【详解】.
故选：B
5．A
【分析】利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．
【详解】解：是偶函数且在区间上单调递减，满足条件；
是非奇非 偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间上单调递增，不满足条件；
是奇函数不是偶函数，不合题意.
故选：．
6．A
【分析】利用换元法求解，先求出函数的定义域，然后换元，令，则，求出函数的单调区间，再利用“同增异减”可求得答案
【详解】解：由，得，得或，
令（或），则，
因为二次函数在单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递增，
所以的单调递减区间为，
故选：A
7．D
【分析】根据对数函数的性质可得， ，由此可判断得选项.
【详解】解：因为，，所以，所以，故排除A、B选项；
又，且，所以，
故选：D.
8．A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
9．CD
【解析】令结合对数函数图象，分类讨论，，时a，b的关系即可知不成立的选项.
【详解】令，有，
而函数图象如下：
当时，有，有，有，
故选：CD
【点睛】本题考查了对数函数，利用对数函数的性质，结合函数图象判断参数的大小关系，属于基础题.
10．AD
【分析】求得对数型复合函数的定义域、单调性、值域以及对称性，即可判断和选择.
【详解】A正确，∵x2-x+1=>0恒成立，∴函数的定义域为R；
B错误，函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；
C错误，由x2-x+1=可得y=ln(x2-x+1)≥，∴函数的值域为；
D正确，，故函数的图象关于直线x=对称.
故选：.
【点睛】本题考查对数型复合函数性质的求解，属综合基础题.
11．AB
【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．
【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，
又∵，
∴，
∴，
即，所以选项A正确，选项B正确，
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，所以选项C错误，
∵指数函数在R上单调递减，且，
∴，所以选项D错误，
故选：AB．
12．ACD
【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出、、，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.
【详解】由题设，，即，A正确；
，即，B错误，D正确；
由，则，C正确；
故选：ACD
13．
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．
【分析】由题可判断f(x)为偶函数，再根据单调性即可求解不等式.
【详解】根据题意的图象关于对称，则函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数，
由得，
又由函数在区间上单调递增，
则，
解可得：.
故答案为：.
15．
【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．
【详解】解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
16．（1）；（2）1；（3）或.
【分析】（1）利用方程组法求解，把函数中的换成，得到一个式子，然后和已知的函数关系式联立方程组可求出的解析式；
（2）直接代值求解；
（3）由题意可得，化简可求得结果.
【详解】解：（1）函数的定义域为，
，①
上式中把换成，得，
即．②
将②代入①，得，
∴．
（2）．
（3）∵，
∴，可得，
解得或，
∴或．
17．（1）在R上是增函数，证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；
（2）利用函数的单调性及对数函数的单调性即解.
【详解】（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数.
（2）在上是增函数，
不等式等价为不等式，
即.
即不等式的解集为.
18．(1)
(2)3.84
【分析】（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.
（1）
依题意，横断面中的水面是下底为2m，上底为m，高为h m的等腰梯形，
所以.
（2）
由（1）知，，，
所以当水深为1.2m时，横断面水中的面积为3.84.