2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第四章指数函数与对数函数 章末测试（含答案）

高中2019A版必修一第四章：指数函数与对数函数章末测试
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
的值是( )
A. B. C. D.
方程的解的个数为( )
A. B. C. D.
设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
已知，，且若，那么与在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他能驾驶至少要经过的小时数为参考数据：，( )
A. B. C. D.
设，，则．( )
A. B.
C. D.
函数的零点所在的区间可以是( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知正数，，满足，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
若函数的图象不经过第二象限，则一定有( )
A. B. C. D.
设函数若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
已知函数，下列是关于函数的零点个数的个判断，其中正确的是( )
A. 当时，有个零点 B. 当时，有个零点
C. 当时，有个零点 D. 当时，有个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
不等式的解集为 ．
已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ．
如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴若点的纵坐标为，则点的坐标为 ．
已知函数若，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算下列各式的值；
；
．
本小题分
已知指数函数且的图象经过点．
求及的值
若，求的取值范围．
本小题分
已知函数是偶函数其中为自然对数的底数，．
求的值；
若方程在区间上有实数根，求实数的取值范围．
本小题分
年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
万个
若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择．
参考数据：，，，
判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个．
本小题分
已知定义在上的奇函数，当时，函数解析式为．
求的值，并求出在上的解析式；
若对任意的，总有，求实数的取值范围．
本小题分
已知函数，．
若函数的定义域为，求实数的取值范围；
若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算，是基础题
【解答】
解：故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，其中准确画出函数与的图象，是解答本题的关键，属于基础题．
在同一坐标系中画出函数与的图象，判断图象交点的个数，然后结合方程的根与函数图象交点个数相同，即可得到答案
【解答】
解：在同一坐标系中画出函数与的图象，
如图所示：
易判断其交点个数为个．
则方程的解的个数也为个
故选B

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用指数函数和对数函数性质比较大小，是基础题
【解答】
解：，，，故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数和对数函数的图象与性质，是基础题
【解答】
解：由指数函数和对数函数的单调性知，
函数与，且在上单调性相同，可排除，，
再由关系式可排除．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的实际应用和对数换底公式，是中档题
【解答】
解：设经过小时才能驾驶，则，即．
又函数在定义域上单调递减，
，
他至少要经过小时才能驾驶故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数换底公式，对数的运算性质和不等式比较大小，属于中档题．
利用倒数、作差，结合对数的运算，判断即可．
【解答】
解：由题意得，，，即，
，故，
由，故．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的零点判断定理，属于中档题．
利用函数的零点存在定理判断即可．
【解答】
解：设，，则，
易知在区间上，函数单调递增，函数单调递减，则函数在区间上单调递增，
由于，，所以函数在区间上有唯一零点且零点在区间内；
在区间上，，故在区间上函数 与的图象没有交点，从而函数在区间上没有零点，
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，其中构造函数是本题解题关键，属于中档题．构造函数，利用其单调性比较，的大小，即可得出结果．
【解答】
解：，
，
设，则原式等价于，
函数显然单调递增，
则，
，
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算法则的应用，解题时要认真审题，注意对数换底公式的合理运用，考查了函数思想，属于拔高题．
对于，设，，则，，，由此能证明A正确；
对于，利用对数运算法则能推导出，，由此能比较、、的大小；
对于，利用选项结合基本不等式即可解答；
对于，由，然后利用基本不等式可得D正确．
【解答】
解：设，
则，，，
，成立，
对于，，，，，
，，，
，
，
同理，故B正确；
对于，由选项可知，，即，故C错误，
对于，，
，即，即，故D正确，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的图象与性质，是基础题
【解答】
解：函数的图象不经过第二象限，
解得且，故选AD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数图象和函数零点，是中档题
【解答】
解：画出函数的图象，如图所示．
要想函数有四个零点，则，A错误；
由于当时，图象的对称轴为直线，所以，B正确
当时，，所以，所以，C正确
因为，所以，故，
又，所以，函数在上单调递增，
故，D正确故选BCD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于较难题．
由得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】
解：由，得，
设，则方程等价为，
若，作出函数的图象如图：
，
此时方程有两个根其中，，
由，知此时有两解，
由知此时有两解，
此时共有个解，即函数有个零点．
若，作出函数的图象如图：
，
此时方程有一个根，其中，
由知此时只有个解，
即函数有个零点．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用指数函数求解不等式，是基础题
【解答】
解析：，由函数在上单调递减，可得，解得．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用对数函数的性质解决参数问题，是中档题
【解答】
解：令．
因为在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且恒大于，所以且，
即且，所以

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数、指数函数、幂函数的图象与性质，是中档题
【解答】
解：由题中图象可知，点在函数的图象上，所以，即．
因为点在函数的图象上，所以．
因为点在函数的图象上，所以．
又因为，，所以点的坐标为

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的图象和利用基本不等式求取值范围，是中档题
【解答】
解：画出函数的大致图象，不妨设，如图所示．
由图象可知，，，，．
又，，
解得，的取值范围是．

17.【答案】解：原式．
原式．
【解析】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
利用有理数指数幂的运算性质求解．
利用对数的运算性质求解．
18.【答案】解：指数函数且的图象经过点，
，，．．
函数在上单调递减，
不等式等价于，解得，即的取值范围为
【解析】 本题考查指数函数的图象与性质，利用性质解不等式，是中档题
19.【答案】解：是偶函数，
恒成立，
，
．
由知
，．
，
，
该函数在上单调递减，
，
时，方程在区间上有实数根．
即的取值范围是．
【解析】本题考查函数的奇偶性，单调性以及函数的零点，属于中档题．
利用偶函数的定义，求出的值；
分离参数，利用单调性求出函数的值域，则的范围可求．
20.【答案】解：若选，
将，和，代入可得，，解得，
故，
将代入，，不符合题意；
若选，
将，和，代入可得，，解得，
故，
将代入可得，，符合题意；
综上所述，选择函数更合适，解析式为．
设至少需要个单位时间，
则，即，两边同时取对数可得，，
则，
，
的最小值为，
故至少经过个单位时间该病毒的数量不少于亿个．
【解析】本题主要考查函数的实际应用，考查对数函数的公式，属于中档题．
将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断．
设至少需要个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解．
21.【答案】解：由题意，为定义在上的奇函数，
所以，
当时，函数解析式为，
则，解得，
所以当时，，
令，则，
所以，
因为为奇函数，
则，
所以；
当时，，
令，则，
所以，
因为，，，
所以，
即，
因为对任意的，总有，
则，
解得，
故实数的取值范围为．
【解析】利用奇函数的性质，，求出的值，从而得到时的解析式，利用奇函数的定义求解的解析式，即可得到答案；
利用换元法，结合二次函数的图象与性质，求出的取值范围，从而得到关于的不等式，求解即可得到答案．
本题考查了奇函数定义以及性质的应用，函数解析式的求解，不等式恒成立问题，换元法求解函数值域的应用，二次函数图象与性质的运用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
22.【答案】解：若函数的定义域为，
则任意，使得，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
若函数在上单调递减，
又因为在上为减函数，
所以在上为增函数且任意，，
所以，且，
即，且，
解得，
所以的取值范围为．
因为当时，，
所以，
所以在上无零点，
当时，过点，且对称轴，
作出的图象，可得只有一个零点，
当时，过点，且对称轴，
当，即时，只有一个零点，
当，即时，的零点为，由两个零点，，
当，即时，令，解得，，且，，
若，即时，函数有个零点，，，
若，即时，函数有个零点，
若若，即时，函数有个零点，，
综上所述，当时，只有一个零点，
当或时，有两个零点，
当时，有三个零点．
【解析】本题考查函数的性质，零点，参数的取值范围，解题中注意数形结合思想的应用，属于难题．
根据题意问题可转化为任意，使得，由二次函数的性质可得，解得实数的取值范围．
若函数在上单调递减，又在上为减函数，由复合函数的单调性可得在上为增函数且任意，，
进而解得的取值范围．
当时，，推出在上无零点，分情况讨论函数的零点，即可得出答案．