2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第四章指数函数与对数函数 测试题（含答案）

指数函数与对数函数测试题
(时间：120分钟 满分：150分)
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数是奇函数，当时，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数（且）在上单调递减，若的图象与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（1，4）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．若，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ）
A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱
B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元
12．已知函数与函数的图像关于直线对称，且，则（ ）
A．函数的定义域为
B．对于任意的，，都有
C．对于函数定义域中任意两个不同实根，总满足
D．在上的值域为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）______．
14．已知函数的图象恒过点A，试写出一个满足下列条件的对数型函数的解析式______．
①图象恒过点A；②是偶函数；③在上单调递减．
15．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．
16．已知，则______;
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
（1）化简：；
（2）计算：．
18．(本小题满分10分)
已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
19．(本小题满分12分)
喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机打印广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（即最大值）．
20．(本小题满分12分)
已知指数函数（且）的图像过点．
(1)设函数，求的定义域；
(2)已知二次函数的图像经过点，，求函数的单调递增区间．
21．(本小题满分12分)
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
22．(本小题满分16分)
定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数；
(1)求函数在区间上的所有上界构成的集合；
(2)若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】利用奇函数的定义直接计算作答.
【详解】奇函数，当时，，
所以.
故选：B
2．A
【分析】令，解对数方程，求出x＝10.
【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，
故选：A.
3．D
【分析】根据指数幂的运算以及根式的含义，直接可求得答案.
【详解】因为，故，
故选：D
4．D
【分析】分与两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a的值.
【详解】当时，函数在上为减函数，
则，解得：，
当时，函数在上为增函数，
则，解得：．
综上，或．
故选：D
5．C
【分析】由题可得，即得.
【详解】由题意得，
解得，
即函数的定义域是.
故选：C.
6．B
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程解的个数，推出的取值范围.
【详解】因为（且）是上的单调递减函数，
所以，即，所以，
画出的大致图象和直线，如图所示．
由图可知，在上的图象与直线有且仅有一个交点，
故在上，的图象与直线同样有且仅有一个交点．
联立与得，
整理得，则此方程在上有且仅有一个解，
设，当时，
显然方程在上有且仅有一个解，所以；
当时，此时方程在上无解；
当时，要使方程在上有且仅有一个解，
则且，此时方程组无解．
综上所述，实数的取值范围为．
故选：B．
7．A
【分析】利用函数的奇偶性排除选项D，利用当时，，排除选项B，C，即得解.
【详解】解：∵函数的定义域为，关于原点对称，，∴为奇函数，排除选项D．
当时，，，∴，排除选项B，C．
故选：A．
8．A
【分析】将问题化为在对应定义域内，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.
【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．
当时，，
由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．
当时，单调递增，则，
所以，可得．
故选：A
9．ACD
【分析】根据函数的单调性以及函数零点两侧函数值是否异号即可判断.
【详解】ACD选项，在定义域内都是连续且单调递增，能用二分法求函数零点，
B选项，，，当时，，当时，，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，
故选：ACD．
10．AB
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，
由，得，
所以，且，
即，．
故选：AB
11．ABC
【分析】根据图象一一判断即可.
【详解】解：对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；
对于B，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；
对于C，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元），乙方案每千米增加的费用为（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；
对于D，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），故D错误.
故选:ABC.
12．ABD
【分析】由已知，根据给的函数利用函数与函数的图像关于直线对称，可求解出函数的解析式，选项A，可将带入函数中直接求解定义域；选项B，可将化简并与对比即可做出判断；选项C，可通过的单调性即可做出判断；选项D，根据选项C判断出的单调性结合其定义域可直接求解值域.
【详解】函数与函数的图像关于直线对称，所以，所以．由，得，故A正确；
对于任意的，，有，，所以，故B正确；
对于函数定义域中任意两个不同实数，总满足，说明函数是增函数，但是减函数，所以在上的值域为，故C错误，D正确．
故选：ABD.
13．0.021
【分析】该生在5min内能够记忆20个单词，将，带入即可得出结论.
【详解】由题意可知，
所以，，
所以，
解得．
故答案为：0.021.
14．（答案不唯一）
【分析】先求出的定点为，结合对数型函数和三个条件，写出一个正确的答案即可
【详解】函数中，令，解得，，所以的图象恒过点．
取，则，满足条件①；
，定义域为，则是偶函数，满足条件②；
易知在内单调递减，满足条件③．
故答案为：（答案不唯一）
15．
【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，方程在内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；
【详解】作出函数的大致图象，
令，因为恰有6个不同的实数解，
所以在区间上有2个不同的实数解，
，
解得，
实数的取值范围为．
故答案为：．
16．3
【分析】由指对数关系可得，再应用对数的运算性质化简求目标式的值.
【详解】由题设，，
则.
故答案为：3
17．（1）；（2）
【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
18．(1)为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再只要检验与的关系即可判断；
（2）首先判断函数的单调性，再结合函数的单调性及奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，然后结合二次不等式的恒成立问题进行求解．
（1）
解：函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域，
因为，
所以为上的奇函数；
（2）
解：因为，因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在上单调递增，
则不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以的范围为．
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的图形，按，，分别求出即可作答.
（2）由（1）求出函数的解析式，再分段求出最大值并比较作答.
【详解】（1）依题意，函数的定义域，梯形OABC的高为1，
当时，，当时，，
当时，，
所以函数的解析式是．
（2）由（1）知，，
当时，函数递增，，
当时，函数递增，，
当时，，
当且仅当时取等号，此时，
因为，，则，
所以的峰值为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出解析式，再列出不等式即可求得定义域.
（2）由待定系数法求得解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果.
（1）
由题意知，解得，所以，，
令，解得．所以的定义域为．
（2）
设，
则，
，由，
得，解得，则，
又，所以，
所以在上单调递减，
又在上是减函数，所以函数的单调递增区间为．
21．(1)
(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元
【分析】（1）利用，即可求解；
（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.
【详解】（1）根据题意，，化简得，
（2）由（1）得
当时，
当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，.
故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可；
（2）根据题中的定义，根据绝对值的性质，结合换元法、构造函数法，利用函数的单调性进行求解即可.
（1）
函数为奇函数，所以，
即，所以，解得，
而当时，不合题意，故.
所以，
由在区间上单调递减，结合复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
且，
所以在区间上值域为，所以，
根据定义可知：当时，成立，
故函数在区间上的所有上界构成的集合为；
（2）
因为函数在上是以5为上界的有界函数，
所以在上恒成立，即，即，
所以在上恒成立，
所以，
令，，，
易知在上递减，所以，
在上递增，所以，
所以，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是对题中所给的定义的理解，二是对换元法的应用、熟练掌握常见函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力与理解能力，属于难题.