2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 抛物线性质综合应用题型训练(期末复习) （含答案）

专题五 抛物线性质的综合应用
【题型1】 抛物线的定义与方程
1、如果过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，则此抛物线方程为__________．
2、点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
3、已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
4、已知抛物线，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若，且抛物线C上存在点M与x轴上一点关于直线l对称，则该抛物线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【题型2】 与抛物线有关的距离和最值问题
5、已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6、如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
7、已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线上的动点到点的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8、已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．8
9、已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是___________．
10、已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
【题型3】 抛物线的焦半径问题
11、已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
12、已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
13、已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.
【题型4】 求抛物线的面积问题
14、已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
15、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．
16、设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作互相垂直的直线、，分别交曲线于、和、两个点，求四边形面积的最小值.
17、已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【题型5】 求抛物线定值定点的综合问题
18、已知抛物线上的点到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当时，求证：直线AB过定点．
19、已知抛物线：的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.
（1）求抛物线的方程.
（2）若斜率不为0的直线过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段的中垂线与y轴交于点M.证明：为定值.
答案解析
1、【答案】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
2、【答案】D
【解析】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
3、【答案】B
【解析】依题意设抛物线方程为（），
双曲线的渐近线方程为，
因为抛物线的焦点到渐近线的距离为1，则，即，
所以的标准方程是，故答案为：B．
4、【答案】D
【解析】【解答】设抛物线与的准线为，
不妨设A在第一象限，如图所示，
分别过点作，垂足为，
过点B作交于点，则，， ，在 中，由，可得，
轴，，，
直线方程为，由 ，
解得点的坐标，
代入，得，由解得，即抛物线方程为.故答案为：D.
5、【答案】A
【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F,P,M三点共线时,最小为，
故选：A
6、【答案】
过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，
由抛物线定义可知，当P，M，Q三点共线时等号成立
所以，解得
所以抛物线C的标准方程为.
故答案为：
7、【答案】C
解：由题意，抛物线的标准方程为：，
设抛物线上的动点的坐标为，则：
由，所以
由，
所以，
即动点到点的距离的最小值为.
故选：C
8、【答案】C
圆的方程：，
可知，，，，
故四边形的面积，
，
当取最小值时最小，
设，则，
当时，取最小值为，
的最小值为．
故选：．
9、【答案】
【解析】抛物线的焦点为，设点坐标，则
，
由题意当时，，
令，则，，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立
故的最小值为．
故答案为：
10、【解析】（1）解：因为，所以的外接圆圆心在直线上，又外接圆与准线相切，
所以半径为
所以周长为，所以
故抛物线方程为
（2）解：设点，，，直线AB的斜率为，
因为，则直线BC的斜率为.因为，
则，得，①
因为，则，得，②
因为，则，即，③
将②③代入①，得，即，
则，
所以
因为，则，又，则
从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.
11、【答案】D
【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
12、【答案】B
【解析】由抛物线的方程，得，焦点坐标为，
设，，的横坐标分别是，，，
由，所以，即，
因为为抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得，，，，
即，
故选：B．
13、【答案】2
【解析】如图所示，连接，，设准线与轴交于点，
由题意得，.
∵，分别为，的中点，
∴.
∵垂直于点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，则四边形为矩形，
∴，
∴.
故答案为：
14、【答案】C
【解析】由题意得，
则，
即点A到准线的距离为4，
所以点A的横坐标为2，
当时，，
即，
所以.
故选：C.
15、【答案】
【解析】由知，，，准线方程为，如图，
因为，所以，所以；
连接，又，所以为等边三角形，
因为，所以，得，得，
所以，
由，解得，
所以．
故答案为：
16、【解析】（1）由抛物线的定义知点的轨迹为以为焦点的抛物线，
，即，∴.
（2）设，由.
设，，
，
∵与互相垂直，∴以换得，
，
当时取等号，∴四边形面积的最小值为72.
17、【解析】(1)证明：设,,则．
又因为，所以.则切线DA的斜率为，
故，整理得.
设，同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的方程为.
由，可得，
于是
.
设分别为点到直线的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.
当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
18、【解析】（1）解：由抛物线C的方程可得其准线方程，
依抛物线的性质得，解得．
∴抛物线C的方程为．
（2）证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线AB的斜率不为0时，设直线，、、，由化简得，，，，
，所以，所以，，
所以
若，即，解得或（舍去），所以直线AB过定点.
19、【解析】（1）解：由题意可知，
设抛物线C在点P处的切线方程为，
联立得，
由解得，故切线方程为，
令，得，即，
又，所以，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：由（1）可知，显然直线的斜率存在，故可设直线的方程为，，.
联立方程组，消去得，
所以，，
所以，得，
所以线段AB的中点为，中垂线所在直线的斜率，
故线段AB中垂线所在的直线方程为，
令，得，所以，
所以为定值，得证。