江西省南昌市三校2022-2023学年高三上学期第一次联考（11月期中考试）数学（理）试题(pdf 含答案)

南昌市三校 高三上学期第 －次联考
数学试卷〈理科〉
命题人z涂方珍 学校z南昌十中 考试时长： 120分钟 试卷总分： 150分
一、选择题： （本题共12小题， 每小题5分， 共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一
项是符合题目要求的．〉
l已知集合M十二子。）叫（｜ 升到）则MnN=C
A. [-4,-1] B.[-l,3) c.[-4,3) D. [-1,3]
2. 设平而向窒石， E均为单位！句蠢，贝I］ “ 1ci-2E1 12ri + E1 ”是 ＂ri .L E”= 的〈 〉
A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
c. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 己知函数 f(x)=t''
x. 0, 则f(ln2) =
lf(x -1), x > 0
2
-4 A. 甲 B. C. 2e D. 4e
e
4 虫11 图，在 今 ABC中， BN ＝ 扣，设五百 ＝ a, Al斗，则五百＝（ ）
A. 『 3- 3『 1- 1- 3- :i『 1-α－－b － B. -a--b C . -a +-b D. -a +-b
4 4
5.如｜望所示 ． 在平面直角坐标系中 ， 角α和角β均以 Ox 为始边． 终边分别为射线 OA和 OB ， 射线 OA,
与单位圆的交点分别为Al(- 3
π
oc ,-4 11, C(-1,0) 着 LBOC ＝ 一 ， 贝ljcos（β－ α）的值是（
5 5) 6
A. －叫
5 B. 3+4.jj
IO 10
I '1,('., I ,
c. 4-3
-fS
D. 4+3.jj
<:
IO 10
6通过研究正五边形和正十边形的作囚，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也
‘反－I J石二骂王
可以归川
A. -2 B. -J2 c . .fi. o.Js-1
高三数学（理科）三校联考试卷 第1页（共4页）
7己知过点 A （α，0）作曲线 ＇y = (t-x)e 的切线有且仅有l条 ， 贝归＝〈 〉
A.-3 B.3 c.-3或1 D. 3或l
8己知何数f（明R上是增函数若α ＝－f(I咱i), b=f(l唱4.1), c=f（俨勺，则日， b, c的大小关系
为（ ）
A. a9.在A ABC 中 ， 角 A 8, C F斤对的边分别为 a, b, c. 若 2acos C + b = 2c cos A . c = ...[3a ， 贝IJ LA=(
A. 1t B.π c.2: o.I主
6 4 3 3
10.已知函数／（们｛（气？当二飞＼5'8，若数列｛向｝满足an = f（η）（nεN*）且｛时是递晰列，则实数α的取
值？也图是（ ）
A. (2,3) B.(2,3) c.(!,3) D.[!,3)
π
11. 已知函数 f(x) = 2sin(x ＋伊）cosx-sinψ（｜ψ｜〈 －2 ） ， 且对于任意x E R ， 都有 't (x+-)=-f(--x）. 下列3 3
ππ 、 J也 γ .11
序号中 ， ① f(x） 在区间［－一6 ’－6 ］上单调递增’ ②／（0）＝工
－
2 ， ③着！（ 2 ）-丘 ， 贝iJ f(xo －一12 ）＝一3 3 ，
④
4π
着实数m使得为程 f(x)-m ＝ 。在（0，τ）上恰有与·勺 ， 以X1 ω
x 口＋、，＆ x ＋x －π 的
3 正 确 序亏有
A①②③ B.①③④ c. ①②④ D.②③④
12.黎曼函数 R(x）是一个特殊函数 ． 由德国数学家黎曼发现并提出 ， 该函数定义在（0, 1）上 ． 当x ＝！巾q，
都是正整数，：为最俏真分数）时，R（们 i；当x=O或1或x为CO, 1)内的无理数毗 R(x) = 0.若9
(x + 1)1'1偶 l苟 敛， g(x + 2）；但奇民数，当xε（0,1）时， g(x) = R(x） 则， （
A.g（平）＞抖 （cos2创川的主 g(cos2圳（呻）
（平）＞i且g(co内呻）三 g(cos2B.g 彻（的）
C.g（平）＝如（cos2阳印）三 g(co泸α）g(si
D.g（平）＝i g(cos2且 asi训）三 g(c的）仰in2{3)
二、填空题（本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分〉
高三数学（理科）三校联考试卷 第2页（共4页）
13 已知aeR若复数z = a2-a-2 + （α2 +3α ＋ 2)i为纯虚数 ， 贝1Ja ＝ 一一一一一一
14.如图 ， 扇环ABCD 巾，弧AD=4，弧ic = 2, IABI = 1co1 = 1,
Yrn扇1不ABCD的面积S ＝ ·
一一一一 ·（；二〉
15 已知函数 f(x） 是定义域为 R 的奇函数 ． 当 x>O 时 ’， ／ （－x) > 2/(x） ， 且 f(3)=0 ， 则不等式
f(x)>O 的解的一一一
16.锐角A ABC中 ， α ， b, c为角A, B, C所对的边 ， 点C为A ABC的重心 ， 若AG .l BG，则cosC的取值范
图为
三、简答题〈本题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分〉
l 7 . (12 分）已知函数f(x) = 1-J'Jsin2x + 2cos与
(1）求f(x）的最大值及取得最大值的的x集合J
(2）设A ABC的角A, B, C的对边分别为α ， b, c ， 且α＝ 1, f(A) = 0求. b+c的取值范围
18. (12分）如图，在三棱柱 ABC-A1 B1C1 中，侧面AA I C ，IC .L底面AβC 侧面AA CC是菱形 ，1 1
LA AC = 60＇「 ． ζA CB=90° , AC=BC=2I
c,
(1 ）若D为A C的中点 ， 求证： AD.LA
1 I B;
2( ）求二面角 A-A1C-B1 的正弦僵
B
19. 1( 2分）某校组织围棋比赛， 每场比赛采用五局三胜制（ 一方先胜三局即获胜 ， 比赛结束）、 比赛采
用积分制 ， 积分规则如下 每场比赛中 ， 如果四局及四局以内结束比赛 ， 取胜的一方积 3 分． 负者积 0
分j五局结束比赛 ． 取胜的一方积2分负者积1分已知甲乙丙人比赛 ． 甲每局获胜的概率 为士
(1 ）在一场比赛中 ， 甲的积分为X， 求X的概率分布列 ，
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(2）求甲在参加三场比赛后 ， 积分之和为5分的概率
20 (12分）己知困C: (x -1)2 + 2 y = l 椭圆M 王： ＋ 丘， ＝ l .
8 4
( l)求-liE：因 ctt椭圆M内：
(2）若因C的切J线m与椭圆 M 交于 P, Q 两点 ， F为椭圆M伯右焦点 ， 求A FPQ 丽积的最大值 ．
21时）已知函数f叫i～） tox 卡叫
(l）若 f(x） 在（O,+oo）单调递增 ， 求。的值．
I 3
(2）当－＜α x＜ － e 时 ， 设函数 g(x）－_ f( ) 一一－ 的：最小值为h（α） ， 求函数 h（α）的值城 ．
4 4 x
四、选｛故题
22 ( 10分）［选修4.4: 坐标系与参数为程］
lI x=a.＋－.J3 二－t
在平商直角坐标x0，中 ， 直线l的参数方程为｛I 2 (I 为参数， 。 为常数） 以原点。为极点， x
l
I v=-t
L 2
4cosθ
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ --:-:;-::-
sm 11
(1 ）求直线l的普通方程和lffi线C的直角坐标方程：
(2）设直线l与曲线C相交于 A,B 网点 ， 若IABI = 16 ， 求。 的值．
23 (10分）［选修4-5: 不等式选讲 l
已知函数f(x) =Ix＋αl+2lx-lj.
( l）当α＝2时 ， 求不等式 f(x） 至4的解集j
(2）若 3x E (1,2） ， 使得不等式 f(x) ＞川成立 ， 求实数。的取值范围。
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高三上学期第－次三校联考数学（理科〉试卷参考答案及评分标准
一、选择题： （本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 〉
｜序号I 1 I2 I 3 I 4 I s I 6 I 1 I s I 9 I 10 I 11 I 12 I
｜答案I B lei A ID I c I BI c I BI A I A ID I c I
二、填空题〈本题共4小题，每小题5分，共20分〉
13. 2 14. 3 15. (-3,0)U(3,+oo) 16. 且，手），
三 、 简答题｛本题共5小题， 每小题12分， 共60分｝
17 已知函数f(x) = 1-,/3sin2x + 2cos2x .
(1）求f(x）的最大值及取得最大值时的x集合J
(2）设 A ABC的角A, B, C的对边分别为α ， b, c，且α＝ 1, f(A) = 0.求b+c的取值圈。
［答案］
解：（l)f（对＝ 1『,/3sin2川 2cos2x = cos2x刊3sin2x + 2 = 2cos(2x ＋争＋ 2, .. .2 分 ·： -1 三 cos
π
(2x + 3）－ 三 1, :. 0 三 2cos(2x + 3-) + 2 三 4, :. f(x）的最大值为 4. 4 分当2x＋ ＝ 2kπ（k ε Z） 即，
x=k －π Ick ε Z）时， 函数f(x）取最大值 ，
则此时x的集合为 ｛xlx=kπ－I.k εZ}; 6分 (2）由
f(A) = 0得： 2cos(2A + ） + 2 = 0 ， 即cos(2A ＋号＝－1.
2A +i= 2kπ ＋ π（k ε Z), 目PA=kπ ＋ （k ε Z).
又O由正弦定理力＝：如＝；二z:I导： b＝ 好＝去＝sinB, c ＝会叭
叉A 斗 .B+C＝子 EIPC ＝子－8,， ，
高三数学（理科）三校联考试卷 第 5 页（共 4 页）
2 2 I 12π 飞｜:. b + c = (sinB +s inC) = lsin8 + --::/3 --::j3 sin lτ
－8 JJ
＝去（sinB ＋手cosB ＋卡inB) = 2（手sinB ＋争osB) = 2s附＋ i), ... 10 分
·A ＝ . . B ε （咛） ， · 8 ＋ E (i. f）. 如（8 咔） εci.11.
贝ljb+c的取值范围为（1,2) .12分
18 如图 在三棱柱 ABC-A B,C 中 ． 侧 面 AA,C,C， ， ..1底 面 ABC1 ， 侧 面 AA 1C1C是 菱 形 ，
L.A AC = 60., L.ACB = 90·. AC= BC= 2 c,
1
(1）若 D 为 A,C 的中点 求证’． AD .l A,B;
(2）求二面角 A-A,C-B 的正弦值。
，
［答案］ (1）见解析 (2) 主 B
［详解］ (1) ·：侧面AA ICIC是菱形 ， ：. AA, =AC.
·: D 为 .4ic的中点，二 AD ..l.4iC.
·．·侧面 A.4icp i底面 ABC ，似roo AA1c,cn底面 ABC=AC, L乙ACB=90。 ， BC c底面 ABC,
BC .l侧面AA 1C1C.
·: AD c侧面AA 1C1C. :. BC .l AD.
·: A,cnsc=c. 二 AD..l 平面 A BC.I
·: A,B c平面 A BC ，二 AD..lA B ·····5 分
1 1
[2］取AiC1 中点 .连接 CE ， 从而 CE ..lA,CI ’又由A 1C1 IIAC.则 C'E ..lAC,
·川则面 A.4icp i底面 ABC ，侧面AA1c1cn底面 ABC=AC,
:. CE .l底面 ABC.
以 C 为坐标原点 ， 以 CA, CB. CE 为 x 轴，y轴 ， z 轴建立空间直角坐标系，如下图
由己知条件和上图可知， C(O,0, 0), A(2, 0, 0). A (l, 0, Ji). B1 (-1, 2，占） ，i
由题意可知 平面AA C的一个法向量为 → ........ ， 分I CB= 7( 0,2,0)
高三数学（理科）三校联考试卷 第6页（共4页）
c,
不妨设；＝（矶，Yi,Z，）平面码CB 的一个法向量，
因为CA, = (l,O,J3） ’ CB, = (-l,2,J3）’
ICA二 ·ii=O ＝字」Ix，＋、从而J t一二 ←／3z,
= 0
l 一
lCB ·月＝ 0， l-x +2y ..J3 =01 1 + z1
令 z, = J3 ，贝IJ x = -3. y = -3. 1 1 目p; = (-3,-3,J3), …9 分
设二面角 A-A1C-B1 为θ ． 由图可知θ为钝角 ，
→ → ＿ I ’
从而 CB· n I _ l'J I 句J ？cos() = - I cos < CB, － －n >I一一了τ － 弓丰 ， 目Psinθ＝－工牛 ，
ICBllnl ’ 7
故二面角 A-A1C-B 的正弦值为2主 ··12分
，
7
19.某校组织围棋比赛 ， 每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜 ， 比赛结束） 比赛采用积分
制， 积分规则如下 每场比赛中 ， 如果囚局及四局以内结束比赛 ， 取胜的一方积3分 ， 负者积0分， 五
局结束比我取胜的一方积 2 分 ． 负者积 1 分已知甲乙两人脱 ． 甲每局获胜的概率为÷
(1）在一场比赛中 ， 甲的积分为 x 求 x 的概率分布列 ，
(2）求甲在参加三场比赛后积分之和为5分的概率
［答案］ (1）见解析 (2）一一一333
2048
［详解］ (1）由题意可知 ， X可能取值为O, 1, 2, 3 ,
当 X=O 时 ， 则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则 P(X =0) =( 1 － 一l),3 +C；, 一I ·（l I, I－一)2(1 －－） ＝ 5一 ，
2 , 2 2 2 16
当 X = l 时 ， 前四场比赛赢两场且第五场比赛输 ，
则 = =C;, P(X I) ·（一I）。2 . (l - -l)。2 . (1 －一1 ）＝－3 ；
崎 2 2 2 16
当 X=2 时 ， 前四场比赛赢两场且第五场比赛赢 ，
则 P(X = 2) = C!
、 ·（一l )2句 ·(1－一i )2。 .一1 ＝一3 ·
呼 2 2 2 16
当 X=3 时 ， 前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢 ，
则 2P(X=3）＝（一)3 ÷c;。 ·（一l ）。2 (l －一l ）一I ＝ 5 一 ，
, 2 2 2 16
故x 的概率分布列如下
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x 。 1 2 3
5 3 3 5
16 16 16 16
····6分
［小问 2详解］设甲在参加三场比赛后 ， 积分之和为5分为事件A,
则甲的三场比赛积分分别为 l 、 1、 3 或者0 、 2、 3 或者 1 、 2、 2,
故 = 3 3 5 A 3 · 5 3 5 · 3 3 3 333 P(A) 3 一·一·一＋ 一－一·一＋ 3 一·一－一＝一一·
16 16 16 ' 16 16 16 16 16 16 2048
333
故甲在参加三场比赛后， 积分之和为5分为 －一－ ........................ ,.,12分
2048
20. (12分〉己知刨C：你－1)2 +l=l ， 椭圆M： ζ ＋ L =I.
8 4
(I）求证：囱IC在椭圆M内：
(2）若因C的切线m与椭圆M交于 P, Q 两点 ， F为椭圆M的右焦点 ， 求A FPQ 面积的最大值 ．
20. ( 12 分｝
解：（I ）副心C(l,O），半径，·＝I.设 A(x.y） 为lllli阕M」工一点， ’’分
则 、IAC 「＝(x-1)，2 + y，' =(x-1}，' +4--I , I I , ？ .r' ＝士二， .，
＇ -2.r + 5 ＝τ（x-2)' +3. 9·， 分
._. -2.fi. x 2.fi.
．＼二监 x=2时， JACJ有.Q小ffJ..J5 . ….......…·4分
而 .Jj > I，即JACJ川，放点A总在例C外 ．
．· ． 刨Ci!:椭阴IM内 ． ……......... 5分
〈注：其他方法，合理正确均可得分〉
(2）若直线川斜率不存在，，， 不能过点F(2.的，贝。’”的方程只能为x=O.
I PQJ=4, ＝4. ….......…··7s..，咀 分
者应线m斜息存在．设刑的方程J】 y=kx+1, P(x,,y,), Q(x,,y,).
I k +1 J I I
曲直线，II与刨C相iJJ得 ' －τ ＝I，化衍得 I + 2 1 =I，则 k ＝ ← － I），，笋0. ·········8分
.Jk'+I 21
[ x' y'
’
！ 引m 言 4 得（2k2 + I）泸 ＋ 4ktx+2t2 -8=0.
[y=kx+t
则 x. ＋ λ 。 ＝兰k ι ，川＝兰
二！＿ ………
，
‘ I '
·9分
＋ 2k‘ ＋ I
A=( -4灿1)(2/1 咿“k2 -81 2 +3
J毕＋812
JPQJ=Ji'百 Jx,-x,1 ＝ ·丘ζι ’2k' F(2,0）茹lj m (l(J.W附h嘻 －刊 占可；
EEF－日
川 F M川U
设 s=t' +I，则 s> I,
sM ro ＝ 王三？＿＝3JBI0l＝ ♂1<4 . BB 分I +I s 舍 V s' s
·. t::.FPQ 面积的极大li'l为4. 饨，－ 分
21 (12 分）已知函数 f(x) = I .!_x2 － α·x I In x - .!_ x2 + ax
2 J
(l）若 f(x） 在（0, +oo）单调递增，求u的值：
I 3 f(x)
(2）当一〈α －＜ e 时，设函数 g（λ. ）－_ 一一的最小值为 h（时，求函数 h（α）的值域．
4 4 x
’
解： (I) f 。） = (x－α） lnx.
’
因为 f(x） 在（0，＋ ＞）单调递增，所以／ （x） 三 0 ，即 （x － α） lnx 兰 O
( i ）当 x>l 时， lnx>O，则需 x-a 主 0 ，故 a 三x ’ fiPa 三l:
min
( ii ）当 x= l 时， lnx=O，贝1Jaε R,
(iii）当 0< x < I 时， lnx综上述，α＝I. 4分
g ＝ f(x) －卜( l － J｜ l 刊 , _ l a l (x) 一一 ，g(x）－一 lnx 一 ＋一 ，g"(x) ＝ 一 ＋ 寸 ·因为
x 2 ) 4 2 x 4 2x x'
I 3
一
4 ＜ a<-4 e，所以扩（
x) > 0，所以g ’（x） 在（O, +oo）单调递增
又因为g’
α3
（I)=－α＋一 ＜ O,g'(e) ＝－一 ＋一 ＞0.所以存在x0 E
’
(l,e ），使g （x0 )=0,
e 4
且当xε（0,x ’0 ） 时，g （x) < 0 ，函数 g(x） 单调即成：
当xε （x ,+oo）时，g’（x) > 0，函数 g(x） 调边j曾0
问明小值为忡。）＝（1与才｝叫
’ 1 ( 3 1 1 由g （x 一 一 －一0 ) = 0，得α＝一～h与＋ ～’囚此 hα（ ）＝｜ Xo x Ir O ltn4 4 2 0 !
（ J 1 1 令古 x) =-xlnx+-x,x E ’(I，吟，则 τ （ 3 x) ＝一lnx 一＋ ＞0.2 4 2 4
J
所以 3 r(x）在区间（l,e ）上单调递增，又回为一 ＜ a<-e, !1.,(1 1 3 ）＝一 ， r (e) =-e,
4 4 4 4
所以l < x0 < e , f.!I] x0 ij；（遍（1，功的每一个值，
令伊（x)=l(-3 x--l xlnx,Jl lnx(I I 2 J 0函
\4 2 ! 2 4 4 4
数ψ阳 M 单调递增 Y.. rp（川ψ（e）＝ ，所以0＜仰）〈：－
攸函数 h
22 · ( 10 分） （选f1妻 4-4 ：坐标系与参数方程l
lx=a ＋ 主 t
在平面直角坐标 xOy 中，直线l的参数方程为↓ 2 ( I 为参数， 。 为常数）·以原点。为极点， xI
[Y = 2 t
轴正半轴为极轴建立瞅瞅，曲线 C的极姗姗为ρ＝坐车手
sm-(f
(I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
(2）设窒线／与仙线C相交于A、8两点，若IABl=I6，求α的俏．
--13 x- ---13 v a＝ "’ υ ， a
(1) 3 3 . y 阳 ： （2) a= l
lx=a＋主 t
［详解l C I ) ·：直线l的参数方程为↓ 2 ( I 为参数，a为常数） ，J
[Y = /
消去参数I韧的普通方程为： y ＝ 孚（卜。） nlix γ丑。＝ O. 2 分
.) 3
4cosθ
·．·ρ ＝ －－：－－－，－τ了， 二 ρsin
2 θ ＝ 4cosθ 即 p2 sio 2 8=4ρcosθ ， 即 y2 =4x.
SlOσ
＝
故曲线C的直角坐标方程为y2 =4x. . ........5 分
C II ）将直线l的参数方程代入曲线中得 2t -8-/3t-16a =0 , －……….. 7分
A ＝κυ 《 0 ＋ 句J 、‘，J 〉 Aυ 20〉 。3
h ＋ 8 JV I
’吃 士，3 AY 分
－ ＝ 「岭1 0
rzla1，dBEElt飞 ’叩2
2
｜础 l=lt, -tzl 呐叫 ) －川而…＝ [. .10分
23 . ［选修4-5；不等式选讲］
已知函数f(x) =Ix ＋ α1+21x-ll.
(I ）当＝。＝ 2 时， 求不等式 f(x）至 4的解集；
(2）若:lxε［1,2］ ， 使得不等式 f(x)>x 2 成立 ， 求实数a的取值范围
解：(1）当α＝2时 ， ／（x)=lx+ 21+21x-ll.
当时 －2时 f(x) ＝ －川 － 2x 山4 解得X主 － ； 此时XE0;
当－2当x>l时只x) ＝川山 － 2至 4 解得X三：此时 l因此当α＝ 2时不等式 f(x) 4的解制［o,1] 5分
(2）当 1豆 x豆2 肘 Ix ＋ αI +21 x -11> x2， 可化为 Ix ＋ αI> x2 -2x+2.
所以 x α x2 ＋ ＞
， -2x+2 2 或 x+ a < -x + 2x -2
2 2
即存在 XE [1,2］， 使得 α ＞ x -3x+2 或 a<-x + x-2
。＞ x2 -3x + 2 = ( x -% ) 2 --l- . 因为阴阳所以川x 山 －i 则 α ＞ －i,
，
。＜-x2 + x - 2 = -( x -! y - 2'!_ . 因为民［川， 所以 －x +x-2 三 －2. 所以 a<-2,
2 J 4
(-oo,-2)UI －斗 +oo)
，
因此 ， 实数a的取值范因为 ＼ 『 ／