数学人教A 版（2019）必修第一册4.5.3函数模型的应用（共33张ppt）

(共33张PPT)
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
4.5.3　函数模型的应用
第四章　 §4.5 函数的应用(二)
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.
2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题.
问题1　你能写出几种函数模型？
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
问题2　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？
提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.
(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型 ，
其中 表示经过的时间， 表示 时的人口数，
表示人口的年平均增长率.
例3 人口增长模型
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万。根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国1950-1959年间的具体人口增长模型。
人口增长模型
（2）利用（1）中的模型计算1951-1958年各年末的人口总数。查阅国家统计局网站公布的我国在1951-1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符。
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753
实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994
根据我国1951-1958年各年末的人口总数画出散点图，并
画出函数 的图象
由图可得，所的模型与1950-1959年的实际人口数据基本吻合。
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
思考
因为人口基数较大，人口增长过快，
与我国经济发展水平产生较大矛盾
所以我国从20世纪70年代逐步实施计划生育政策（年增长率变化）
不符合马尔萨斯人口增长模型的条件(年增长率不变)
自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况
2010年，考古学家对良渚古城水利系统中的一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
例4 元素衰变模型
科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”。死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年。这也是考古中常用碳14来推断年代的原因。
那么，碳14的变化规律属于哪种常用的函数模型，如何利用已知数据建立具体的数学函数模型？
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按
确定的比率衰减（称为衰变率），属于指数衰减
大约每经过5730年衰减为原来的一半，
这个时间称为“半衰期”
因为2010年之前的4912年是公元前2903年，
所以推断水坝大概是公元前2903年建成的.
元素衰变模型
在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决。
例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一 　　　　　
　　　　天多 回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回　　　　
　　　　报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
思考？
投资方案选择原则：
投入资金相同，回报量多者为优
比较三种方案每天回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
解：设第 x天所得回报为 y元，则
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天
多回报10，用下面函数描述：
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报
比前一天翻一番，用函数描述为：
方案一：每天回报40元，用下面函数描述：
y=40 (x∈N*)
y=10x (x∈N*)
y=0.4×2x-1 (x∈N*)
三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型。
要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析。
x/天 方案一 方案二 方案三
y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元
1 40 0 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4
三种方案所得回报的增长情况如下：
o
x
y
20
40
60
80
100
120
140
4
2
6
8
10
12
我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。
指数爆炸
y＝40
y＝10x
y＝0.4×2x－1
再画出三个函数的图象
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.
从每天所得回报看，在第1～4天，方案一最多，在5～8天，方案二最多；第9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。
根据以上的分析，是否应作这样的选择: 投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，
投资8天以上选方案三？
20
40
60
80
100
120
2
4
6
8
10
O
y
y＝40
y＝10x
y＝0.4×2x－1
从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多：
第9天以后，方案三最多；
819
409
204
102
50.8
25
12
6
2.8
1.2
0.4
三
660
550
450
360
280
210
150
100
60
30
10
二
440
400
360
320
280
240
200
160
120
80
40
一
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
　
天数
回报/元
方案
3276
1638
910
780
520
480
13
12
三种方案的累计回报
投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天(含11天)以上，应选择方案三.
结
论
上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.
2.分析函数模型的方法：
？
从这个题我们知道了什么,我们学会了什么
解析法
列表法
图象法
1.不同函数模型
的增长特点：
保持不变 直线上升 指数爆炸
匀速递增
急剧增长
常数函数 一次函数 指数函数
没有增长
例题的启示
例6 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位:万元)随着销售利润x (单位:万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.
由于公司总的利润目标为1000万元，所以
部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
①奖金总数不超过5万元，
不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论,再通过具体计算，确认结果.
由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
②同时奖金不超过利润的25%，
于是，只需在区间[10,1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：
8
1
2
3
4
5
6
7
200
400
600
800
1000
O
y
x
y＝5
y＝0.25x
y＝1.002x
y＝log7x＋1
解:用信息技术画出函数y＝0.25x， y＝log7x＋1，
y＝1.002x的图象.
只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明:
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，
只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断.
8
1
2
3
4
5
6
7
200
400
600
800
1000
O
y
x
y＝5
y＝0.25x
y＝1.002x
y＝log7x＋1
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
对于模型 y＝0.25x，它在区间[10, 1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，
对于模型 y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足：1.002x＝5，
对于模型 y＝log7x＋1，它在区间[10, 1000] 上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 　
因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
由于它在区间[10, 1000]上递增，当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；
　　再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有y ≤0.25x，即log7x+1≤0.25x成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10, 1000].
利用信息技术画出函数f(x)的图象.
由图象可知函数f(x)的图在区间[10，1000]上单调递减.
　　再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有y ≤0.25x，即log7x+1≤0.25x成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10, 1000].
由图象可知函数f(x)的图在区间[10，1000]上单调递减，因此
f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.　　　　　
所以当x∈[10, 1000]时，y ≤0.25x .
说明按模型y＝log7x＋1奖励时, 奖金不会超
过利润的25%.
综上所述，模型 y＝log7x＋1确实能符合公司要求.
练习：一张纸（厚度以0.1毫米计算），对折多少次之后的高度，可超过珠穆朗玛峰高度（8848米）呢？
解：设对折x次后，高度为y米。
y=0.0001× 2x
∵要超过珠穆朗玛峰的高度
∴y =0.0001× 2x﹥8848m
∴ x﹥26.4
取整之后x=27
∴这张纸对折27次之后的高度比珠穆朗玛峰还要高。
实际问题
函数模型
实际问题的解
函数模
型的解
化 归
推理
运算
解释说明
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题，在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.