数学人教A 版（2019）必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法……
这比西方要早三百多年。
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法,是具有世界先驱意义的首创。
今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧.
4.5.1方程的根和函数的零点
学习目标
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.
像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否有类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况？
例如，方程x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，,则二次函数f(x)=y=x2－12x+20的零点就是2和10
x
y
o
2
10
在图像上显示为
函数图象与x轴有交点横坐标
就是方程 f(x)=0的实数根。
对于一般函数y=f(x),
我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
注意：
零点是点吗
问题1 如何求函数的零点？
函数y=f(x)的零点，
就是方程f(x)=0的实数根
也就是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标
(2)
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点
即
(1) 零点是一个实数，不是点；
与二次函数的零点一样，
1、函数零点的概念
例1
√
√
探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
反思感悟
求下列函数的零点：
跟踪训练1
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
(2)f(x)＝(lg x)2－lg x.
函数f(x)的零点是1,10.
探究
对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象,发现它在区间[2, 4]上有零点。
这时，函数图象与x轴有什么关系 在区间[-2, 0]上是否也有这种关系
你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
4
-2
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x =4
的取值异号，即 f(2) f(4)<0,函数 f(x)=x2-2x-3在区间(2, 4)内有零点x =3,它是方程x2-2x-3=0的一个根。
同样地，f(-2) f(0)<0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2, 0)内有零点x= -1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根。
观察函数的图象①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a) f(b)_____0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b) f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c) f(d) _____ 0（＜或＞）
b
a
c
0
y
x
d
有
＜
有
＜
有
＜
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
4
-2
思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可
2：零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在开区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根.
思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
x
y
0
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
问题4 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？
0
y
x
函数零点存在定理可以证明函数有零点，
但不能判定零点的个数。
需要结合图象与性质
例2
(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
√
√
√
跟踪训练2
A.(0,1) B.(1,10)
C.(10,100) D.(100，＋∞)
√
函数零点个数的问题
由表3-1和图3.1—3可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）
和图象（图3.1—3）
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.
这种做法你认为方便判断吗？
你还有其他办法判断吗？
x
y
0
1
y=ln x
3
例3
判断下列函数的零点的个数.
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个.
方法一　ln x＋x2－3＝0
即ln x=3 － x2
函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数.
反思感悟
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
跟踪训练
√
数形结合
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数的零点的定义.
(2)函数的零点与方程的解的关系.
(3)函数零点存在定理.
(4)函数零点个数的判断.
2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法.
3.常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题.