2022~2023 学年度第一学期期中学情检测
高 三 数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4页，包含［单选题（1~8）多选题 9~12，填空题（第 13 题～第 16 题，共 80 分）、解
答题（第 17～22 题，共 70 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请将答题
卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写
在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共 8小题，每题 5分，共 40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1． 已知 A 4，5，6，7 ， B 6，7，8 ，若U A B，则CU (A B)
A． 6，7 B． 4，5，6，7，8 C． 4，5 ，8 D．
2． 已知复数 z a 2i(a R)，且 z 2是纯虚数，则 z
A． 2 2 B． 0 C． 2 D． 2
3 2 ． 已知角 满足3sin 8cos ，则 sin(2 2)
A 7 B 7 C 1． ． ． D 2 2．
9 9 3 3
4． 随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建成，我
县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，
居民的幸福感不断提升．该工程中的某圆拱的跨度是
96 m，拱高是 16 m，则该圆拱所在圆的半径是
A．64 m B．80 m C．100 m D．40 m
5．已知等差数列{an}的公差不为 0，且 a3 a10 0，则集合 x | x an ，1≤n≤15 的子集个数是
A． 215 B． 9 C．1024 D． 512
6．在平面直角坐标系 xOy中，已知 P( 3，4 )，长度为 2的线段 AB的端点分别落在 x轴和 y 轴上，
则 PA PB的取值范围是
高三数学 第 1页（共 4页）
A． 2， 6 B． 3，5 C． 4，6 D． 15，35
7．已知两个圆锥的母线长均为 6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1: 2，
则它们的体积之和是
A 35 16 2 π B 32 5 16 2 π C 16 70． ． ． π D． ( 35 16 2)π
3 3 9
8 1 2e 1．已知 a e e 1， b sin ， c ，则
e 2e2
A． a b c B． c b a C．b a c D． a c b
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知函数 f (x) 2sin( x 4) b( 0)的最小正周期T
满足 2 T
3
2 ，且 P( ，1 )是
f (x)的一
8
个对称中心，则
A． 2 B． f (x)的值域是 2，2
C ． x 是 f (x)的一条对称轴 D． f (x 4)是偶函数8
10．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长
安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；
良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则
A． 驽马第七日行九十四里 B． 第七日良马先至齐
C． 第八日二马相逢 D． 二马相逢时良马行一千三百九十五里
11．已知实数 x， y满足 x2 y2 xy 4，则
A 2 y 4 3． ≤ ≤2 B． 3 ≤ x y
4 3
≤ 3
C 8． 4≤x y≤4 D． ≤ x2 y2 ≤8
3
12．设定义在R 上的函数 f (x)和 g(x)的导数分别为 f (x)和 g (x)，若 f (x 2) g(1 x) 2，
f (x) g (x 1)，且 g(x 1)为奇函数，则
A． g(1) 0 B． g (x)的图象关于直线 x 2对称
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2021
C． g(k ) 0 D． f (1) 0
k 1
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题
卡相应位置上．
13．在△ABC中，三边长是公差为2的等差数列，若△ABC是钝角三角形，则其最短边长可以为 ▲ （．写
出一个满足条件的值即可）
2x ，x≤0，
14．已知 f (x) ，则 f (logf (x 1) x 1 2
12) ▲ ．
， ，
15．如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，
双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段
曲线 AB 与CD中间最窄处间的距离为10 cm，点 A与
点C，点 B与点 D均关于该双曲线的对称中心对称，
且 AB 30 cm， AD 20 cm，则该双曲线的离心率是 ▲ ．．
16．在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形， PA 底面 ABCD．若四棱锥 P ABCD 的体积为
9，且其顶点均在球O上，则当球O的体积取得最小值时， AP ▲ ，
此时球心O到平面 PBD的距离是 ▲ ．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．（10分）
在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 asinB bcos A 0，cosB 2cosC 5．
（1）求 tanB；
（2）若边 AB上的高为 1，求△ABC的面积．
18．（12分）
2
已知 Sn 为正项数列{an}的前 n项和，且 a1 1，当 n≥ 2时， (n 1) Sn n S
n n
n 1 ．2
S
（1 ）证明 n 为等差数列，并求{an}的通项公式；
n
（2）若 bn tan 3 an ，求数列{bnbn 1}的前 n项和Tn ．
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19．（12分）
如图所示，在四棱锥 A－BCDE中，△ABC是等边三角形， CD∥BE，BD⊥CD，
AD BE 2CD 2，DE 6．
（1）记平面 ACD与平面 ABE的交线为 l，证明： l∥CD；
（2）求二面角D BE A的余弦值． A
E
B
D
20．（12分） C
在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A， B在抛物线C : x2 4 y上，抛物线C在 A， B处的切线分
别为 l1 ， l2 ，且 l1 ， l2 交于点 P．
（1）若点 P( 0， 2 )，求 AB的长；
（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立．
①直线 AB过抛物线C的焦点；②点 P在抛物线C的准线上．
21．（12分）
已知 f (x) x3 ax2 (a R)，其极小值为 4 ．
（1）求 a的值；
（2）若关于 x的方程 f (x) t在 ( 0 ，3 )上有两个不相等的实数根 x1， x2，
求证：3 x1 x2 4．
22．（12分）
x2 y2 3
在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的焦距为 2，过点 A(1， )．a b 2
（1）求椭圆C的标准方程；
9
（2）若直线 l交椭圆C于点 P，Q，直线 AP， AQ分别交 y轴于点M， N，且OM ON ，
4
求证：直线 l过定点．
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数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．AC 10．AD 11．BCD 12．ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13 3 3． ( 2 ，6 )内的任意值均可 14 15． 24 16．3， 2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b， c，且 asinB bcos A 0 ，
cosB 2 cosC 5．
（1）求 tanB；
（2）若边 AB上的高为 1，求△ABC的面积．
1 a b解：（ ）因为 asinB bcos A 0，所以 ，
cos A sin B
ABC a b a a在△ 中，由正弦定理 ，所以 ，
sin A sin B sin A cos A
所以 sin A cosA，所以 tan A 1，
A ( 0 ) A 3 因为 ， ，所以 4 ． …………2 分
在△ABC中， A B C ，
所以 cosB 2 cos( (A B)) cosB 2 cos(A B)
cosB 2 cos AcosB 2 sin AsinB 2cosB sinB 5，
所以 (2cosB sin B)2 4cos2 B 4sin B cosB sin2 B 5 5cos2 B 5sin2 B，
所以 4sin2 B 4sin B cosB cos2 B (2sin B cosB)2 0，
2sinB cosB tan B 1所以 ，所以 2 ． …………5 分
（2 A ( 0 ) A 3 sin A 2）因为 ， ， 4 ，所以 2 ．
1
因为边 AB上的高 bsin A 1，所以 b 2 ． …………7 分
sin A
在△ABC中， A B C ，
所以 sinC sin( (A B)) sin(A B) sin AcosB cos AsinB
2 2 52 5 (
2 5 10 ．
2 ) 5 10
ABC b c在△ 中，由正弦定理 ，
sin B sinC
10
c bsinC
2
所以 10 1． …………9 分sin B 5
5
所以△ABC S 1的面积 2bcsin A
1
2 2 1
2 1
2 2． …………10 分
另解：过点 C向 AB作垂线，垂足为H ．
在△ACH中， CAH CAB 4，CH 1， …………7 分
所以 AH 1， AC 2．
1
在△BCH中， tanB 2，CH 1，
所以 BH 1，所以 AB BH AH 1， …………9分
1 1
所以△ABC的面积 S 2 1 1 2． …………10 分
18．（12分）
2
已知 Sn为正项数列{an}的前 n项和，且 a1 1，当 n≥ 2时，(n 1) Sn n S
n n
n 1 ．2
S
（1 ）证明 n 为等差数列，并求{an n
}的通项公式；
（2）若 bn tan 3 an ，求数列{bnbn 1}的前 n项和Tn ．
2 S S
解：（1） 因为 (n 1) S n S n n，所以 n n 1 1n n 1 ，2 n n 1 2
S
所以 n
为等差数列． …………2 分
n
S1 a1 S因为 1，所以 n 1 1n 2 (n 1)
1 ，所以 1 2 ，
1 1 2
(n 1) Sn (n n)2
所以 S (n
2 n
n )
2 ． …………4 分
2
2 2
当 n≥2时， an Sn Sn 1 ( n n )2 ( n n )22 2
n2 2 2 2 ( n n n2 2 )(
n n n n 3 ，2 2 ) n
当 n 1时，a 13 1，所以 a n31 n ． …………6 分
（2）因为 bn tan 3 an tan n，所以 bn 1bn tan n tan(n 1) …………8分
tan1 tan(n 1) tan n因为 ，1 tan n tan(n 1)
tan n tan(n 1) tan(n 1) tan n所以 1． …………10 分tan1
所以T tan 2 tan1 1 tan 3 tan 2 tan(n 1) tan nn tan1 tan1 1 tan1 1
tan(n 1) tan1 n tan(n 1) tan1 n 1
． …………12 分
tan1
19．（12分）
如图所示，在四棱锥 A－BCDE中，△ABC是等边三角形， CD∥ BE，BD⊥CD，
AD BE 2CD 2， DE 6．
（1）记平面 ACD与平面 ABE的交线为 l，证明： l∥CD；
（2）求二面角 D BE A的余弦值． A
E
解：（1）在四棱锥 A－BCDE中，CD∥ BE，
B
又因为 BE 平面 ABE，CD 平面 ABE， D
所以CD∥平面 ABE． …………2分 C
又因为平面 ACD与平面 ABE的交线为 l，
CD 平面 ACD，所以 l∥CD． …………4 分
（2）因为CD∥ BE，BD⊥CD，所以 BD⊥BE．
在直角△BDE中，因为 DE 6， BE 2，所以 BD 2．
在直角△BCD中，因为 BD 2，CD 2，所以 BC 2．
z
取 BC的中点O，连接OA，OD， A
E
在等边△ABC中，OA BC，OA 3．
B
在等腰直角△DBC中，OD BC，OD 1． O D
y
C
x
在△OAD中，因为OA 3，OD 1， AD 2，
所以OD OA．
→ → →
以{OC ，OD ，OA }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz．
则 O(0，0，0)，C (1，0，0)，D(0，1，0)，B (-1，0，0)， A( 0 ，0， 3 )．
所以 AB ( 1 ，0， 3 )，CD ( 1 ，1，0 )，
所以 BE 2CD ( 2 ， 2，0 )．
设 n1＝(x1，y1，z1)为平面 ABE的法向量，
则 n1· AB＝0，n1· BE＝0，得 x1 3z1 0， x1 y1，
取 z1 1，所以 n1 ( 3 ， 3， 1 )为平面 ABE的一个法向量． …………8 分
因为 n2 ( 0 ，0，1)为平面 DBE的法向量，
cos < n n n1 n2 1 7所以 1，2 > ，n1 n2 7 7
所以二面角D BE A 7 的余弦值为 ． …………12 分
7
20．（12分）
在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A，B在抛物线C : x2 4y上，抛物线C在 A，B处
的切线分别为 l1 ， l2 ，且 l1 ， l2 交于点 P．
（1）若点 P( 0， 2 )，求 AB的长；
（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立．
①直线 AB过抛物线C的焦点；②点 P在抛物线C的准线上．
2 2
解：（1）设 A( x
x x
，1 )， B( x ，21 4 2 4 )．
2
因为C : x2 4y y x ，所以 x，所以 y ，
4 2
y x
2
1 x1 (x x ) x x
2
所以抛物线C在 A处的切线方程是 4 2 1
1
2 x
1
2 ，
y x x
2
即 1 x 12 4 ． …………2分
x x 2
同理可得抛物线C在 A处的切线方程是 y 22 x
2
4 ．
2
y x1 x x1 x1 x2 ， xP
由 2 4 解得 2
，
…………4分2
y x2 x x2 y
x1x 2 .
2 4 ， P 4
x x
xP
1 2
2 0，因为 P( 0， 2 )，所以
y
x1x 2 2，
P 4
所以 AB x1 x2 4 2． …………6 分
（2）①→②：
x 2A( x 1 x
2
因为 21，4 )， B( x2 ，4 )．
x 21
4 1
2
k x1 4
x 2 4
所以 AF ， k 2BF 4x ． …………8分x1 4x1 2
x 2 4 x 2 4
因为直线 AB过抛物线C的焦点，所以 1 24x ，1 4x2
所以 x1x2 4， …………10 分
所以 y x xP 1 2 1，所以点 P在抛物线C的准线上． …………12 分4
②→①：
x x
因为点 P在抛物线C的准线上，所以 y 1 2P 1，4
所以 x1x2 4． …………8分
x 21 2
所以 k 4
1 x1 4
AF ，x 1 4x1
4
x 2k 4 x
2 x x x x x x1 x 2
所以 2 2 1 2 2 1 1 1
4
BF k4x2 4x
AF ， …………10 分
2 4 4 4x1
又因为 F是公共点，所以 A， B， F 三点共线，
所以直线 AB过抛物线C的焦点． …………12 分
21．（12分）
已知 f (x) x3 ax2 (a R)，其极小值为 4．
（1）求 a的值；
（2）若关于 x的方程 f (x) t在 ( 0，3 )上有两个不相等的实数根 x1， x2，
求证： 3 x1 x2 4．
3
【解】（1）因为 f (x) x ax2，所以 f (x) 3x2 2ax．
当 a 0时， f (x) 3x2 ≥ 0，
所以 f (x)单调递增，没有极值，舍去． …………2 分
当 a 0 2a时，在区间 ( ， )上， f (x) 0， f (x)单调递增，
3
2a
在区间 ( ，0)上， f (x) 0， f (x)单调递减，
3
在区间 ( 0， )上， f (x) 0， f (x)单调递增，
所以当 x 0时， f (x)的极小值为 f (0) 0，舍去． …………4 分
当 a 0时，在区间 ( ，0 )上， f (x) 0， f (x)单调递增，
在区间 ( 0 2a， )上， f (x) 0， f (x)单调递减，
3
2a
在区间 ( ， )上， f (x) 0， f (x)单调递增，
3
2a
所以当 x 时， f (x)的极小值为 f ( 2a ) 4 a3 4．
3 3 27
所以 a 3． …………6分
（2）由（1）知，在区间 ( ，0 )上， f (x) 0， f (x)单调递增，
在区间 ( 0，2)上， f (x) 0， f (x)单调递减，
在区间 ( 2， )上， f (x) 0， f (x)单调递增，
所以不妨设 0 x1 2 x2 3．
下面先证 x1 x2 4．
即证 x1 4 x2，因为 0 x1 2 x2 3，所以1 4 x2 2，
又因为区间 ( 0，2)上， f (x)单调递减，
只要证 f (x1) f (4 x2 )，又因为 f (x1) f (x2 )，
只要证 f (x2 ) f (4 x2 )，只要证 f (x2 ) f (4 x2 ) 0．
设 g(x) f (x) f (4 x)( 0 x 2 )，
则 g (x) f (x) f (4 x) 3x(x 2) 3(4 x)((4 x) 2) 6(x 2)2 0，
所以 g(x)单调递增，
所以 g(x) g(0) 0，所以 f (x2 ) f (4 x2 ) 0． …………9 分
下面先证 3 x1 x2．
设 h(x) 2x2 6x，因为 f (x) h(x) x3 5x2 6x x(x 2)(x 3)，
在区间 ( 0，2)上， f (x) h(x)；在区间 ( 2，3)上， f (x) h(x)．
设 x3 ( 0
3
， )， f (x
2 1
) h(x3 ) t，因为 f (x1) h(x1)，
所以 h(x3) h(x1)，所以 x3 x1．
设 x4 ( 2，3)， f (x2 ) h(x4 ) t，因为 f (x2 ) h(x2 )，
所以 h(x2 ) h(x4 ) ，所以 x4 x2．
因为 h(x3 ) h(x4 ) t，所以 x3 x4 3，
所以 3 x3 x4 x1 x2 ． …………12 分
22．（12分）
2 2
在平面直角坐标系 xOy C : x y中，已知椭圆 2 2 1(a b 0)的焦距为 2，点 A(1
3
， )
a b 2
在椭圆C上．直线 l交椭圆C于点 P，Q，直线 AP， AQ分别交 y轴于点M ， N．
（1）若点 P，Q分别为椭圆的左右顶点，求△AMN的面积；
（2 9）若OM ON ，求证：直线 l过定点．
4
【解】（1）方法一：设椭圆C的焦距为 2c，则 c 1．
不妨设 F1( 1，0)， F2 (1，0)，
3 3 3 5
所以 AF 2 22 0 (2)
，
2 AF1 2
2 ( )2 ，2 2
AF AF 3 5所以 1 2 4 2a，解得 a 2．2 2
2 2
因为 b a2 c2 3 ，所以椭圆C x y的标准方程 1． …………2 分
4 3
方法二：设椭圆C的焦距为 2c，则 c 1．
a2 c2 b2 ，
1 9
由 2 2 1，解得 a 2， b a
2 c2 3 ，
a 4b
c 1，
x2 y 2
所以椭圆C的标准方程 1． …………2 分
4 3
不妨设 P( 2，0)，Q(2，0)，
则直线 AP的方程为 y 1 (x 2) 3，直线 AQ的方程为2 y 2 (x 2)
．
令 x 0，得 yM 1， yN 3，所以MN 3 1 2．
1
所以△AMN的面积 S 1 2 1． …………4 分
2
（2）显然直线 AP，AQ斜率都存在．
3
设直线 AP的方程为 y k1(x 1) 2．
3
令 x 0，得 yM k1 2 ．
设直线 AQ的方程为 y k2 (x 1)
3
2，同理可得 yN k2
3
2 ．
OM 9 3 3 3 9 9因为 ON ，所以 ( k1 2)( k2 2) k4 1
k2 2 (k1 k2 ) 4 4，
3
所以 k1k2 2 (k1 k2 )． …………8分
设直线 l的方程为m(x 1) n(y 32) 1．
x2 y2
1，
由 4 3
m(x 1) n(y 3) 1，
2
y 3 y 3
得 (4 12n)( 2 )2 (12m 6n)( 2 ) 6m 3 0，
x 1 x 1
k k 12m 6n所以 1 2 ， k1k2
6m 3
，
4 12n 4 12n
3 ( 12m 6n 6m 3所以 ) ， 所以 8m 3n 1，
2 4 12n 4 12n
x 1 8， x 7，
所以 3 ，解得y 3 ， y
3
.
2 2
3
所以直线 l过点H ( 7， 2 )． …………12 分
