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15.1.1 从分数到分式
一、分式的概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。
注意：判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而是看原式，如是分式。
二、分式有意义和无意义的条件
1、当分母不等于零时，即B≠0时，分式有意义；
2、当分母等于零时，即B=0时，分式无意义。
例：要使分式有意义，则x的取值应满足什么条件？
解：要使分式有意义，则分母x－2≠0，即x≠2。
三、分式的值为0的条件
当分子等于零且分母不等于零时，即A=0且B≠0时，分式的值为零
分式的概念
【类型一】 判断代数式是否为分式
【例1】在式子、、、、＋、9x＋中，分式的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：、、9x＋这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.
方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数．
【类型二】 探究分式的规律
【例2】 观察下面一列分式：，－，，－，…(其中x≠0)．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由．
解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；
(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．
解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－；
(2)由已知可得：第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×，
理由：∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子底数是x，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×.
方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．
【类型三】 根据实际问题列分式
【例3】每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )
A.元 B.元 C.元 D.(＋)元
解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为元．故选B.
方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．
分式有意义或无意义的条件
【类型一】 分式有意义的条件
【例4】分式有意义，则x应满足的条件是( )
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
解析：∵分式有意义，∴(x－1)(x－2)≠0，∴x－1≠0且x－2≠0，∴x≠1且x≠2.故选C.
方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零．
【类型二】 分式无意义的条件
【例5】使分式无意义的x的值是( )
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠
解析：由分式有意义的条件得3x－1≠0，解得x≠.则分式无意义的条件是x＝，故选C.
方法总结：分式无意义的条件是分母等于0。
分式的值为零、为正或为负的条件
【类型二】 根据分式的值为零，求x的值
【例6】若使分式的值为零，则x的值为( )
A．－1 B．1或－1 C．1 D．以上都不对
解析：由题意得x2－1＝0且x＋1≠0，解得x＝1，故选C.
方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
【类型二】 根据分式的值的正负性确定字母的取值范围
【例7】（1）要使分式的值为正数，则x的取值范围是 。
（2）要使分式的值为负数，则x的取值范围是_________。
解析：分式的值为正数，分子、分母同号；分式的值为负数，分子、分母异号
解：（1）由题意得x2＋3与4x＋9同号，又x2＋3>0。所以4x＋9>0，解得x>
（2）由题意可知 或
解不等式组，易知该不等式组无解；
解不等式组，得
综上可知，x的取值范围是。
方法总结：对于分式：①若的值为正数，则或；②若的值为负数，则或；③若分子或分母中含有平方，则通常将其化为“x2＋正数”或“－x2－正数”的形式，从而确定其符号，然后得到另一个式子的符号
1. 下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦中，是分式的有 ② ④ ⑤ ⑥ ⑦ 。（填写序号）
已知分式，当x=1时，分式无意义，则a= 3 。
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ D ）
B. C. D.
若分式的值为0，则x的值为（ A ）
x=－3 B.x=2 C.x≠－3 D.x≠2
若分式的值为负数，求x的取值范围 x<2且x≠0 。
若分式的值是正整数，则m可取的整数有 3、4、5、8 。
若把x g食盐溶入b g水中，从其中去除m g食盐溶液，其中含食盐 g
已知分式，当x=2时，分式的值为0；当x=－2时，分式没有意义。求a＋b的值。
解：∵分式，当x=2时，分式的值为0
∴2－b=0
∴b=2
∵当x=－2时，分式没有意义
∴2×(－2)＋a=0
∴－4＋a=0
所以a=4
则a＋b=4＋2=6
已知，无论x取何值，分式的值总存在，求m的取值范围。
解：==
因为分式的值总存在
所以，
所以m>0
1、2、3、
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15.1.1 从分数到分式
一、分式的概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。
注意：判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而是看原式，如是分式。
二、分式有意义和无意义的条件
1、当分母不等于零时，即B≠0时，分式有意义；
2、当分母等于零时，即B=0时，分式无意义。
例：要使分式有意义，则x的取值应满足什么条件？
解：要使分式有意义，则分母x－2≠0，即x≠2。
三、分式的值为0的条件
当分子等于零且分母不等于零时，即A=0且B≠0时，分式的值为零
分式的概念
【类型一】 判断代数式是否为分式
【例1】在式子、、、、＋、9x＋中，分式的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【类型二】 探究分式的规律
【例2】 观察下面一列分式：，－，，－，…(其中x≠0)．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由．
【类型三】 根据实际问题列分式
【例3】每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )
A.元 B.元 C.元 D.(＋)元
分式有意义或无意义的条件
【类型一】 分式有意义的条件
【例4】分式有意义，则x应满足的条件是( )
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
【类型二】 分式无意义的条件
【例5】使分式无意义的x的值是( )
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠
分式的值为零、为正或为负的条件
【类型二】 根据分式的值为零，求x的值
【例6】若使分式的值为零，则x的值为( )
A．－1 B．1或－1 C．1 D．以上都不对
【类型二】 根据分式的值的正负性确定字母的取值范围
【例7】（1）要使分式的值为正数，则x的取值范围是 。
（2）要使分式的值为负数，则x的取值范围是_________。
1. 下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦中，是分式的有 。（填写序号）
已知分式，当x=1时，分式无意义，则a= 。
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
B. C. D.
若分式的值为0，则x的值为（ ）
x=－3 B.x=2 C.x≠－3 D.x≠2
若分式的值为负数，求x的取值范围 。
若分式的值是正整数，则m可取的整数有 。
若把x g食盐溶入b g水中，从其中去除m g食盐溶液，其中含食盐 g
已知分式，当x=2时，分式的值为0；当x=－2时，分式没有意义。求a＋b的值。
已知，无论x取何值，分式的值总存在，求m的取值范围。
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