人教B版高中数学选择性必修第一册 《2.2点到直线的距离》名师课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
复习引入
两直线的位置关系
平行
重合
相交
斜截式方程的判定
一般式方程的判定
垂直
斜截式方程的判定
一般式方程的判定
交点坐标
如图,在灌溉时,要把河中的水引到农田处,如何挖渠能使渠道最短？
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
如何求这条最短渠道的长度？
复习引入
人教B版同步教材名师课件
点到直线的距离
学习目标
学 习 目 标 核心素养
探索并掌握平面上点到直线的距离公式 数学运算
会求两条平行直线间的距离 数学运算
学习目标：
1.了解点到直线的距离公式的推导方法．
2.掌握点到直线距离公式,并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．
3.初步掌握用解析法研究几何问题．
学科核心素养：
通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习,提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
学习目标
探究新知
思考：你能想办法求出到直线
的距离吗？用你的方法能得出一般的结论吗？
如图所示,设是直线上的点,且,
则到的距离等于的长.
,
是直线的一个法向量,
因此与共线.从而,
整理得
o
探究新知
思考：你能想办法求出到直线
的距离吗？用你的方法能得出一般的结论吗？
又因为是直线上的点,
所以
联立①与②,解方程组可得
即,所以,
因此
即所求距离为.
o
探究新知
思考：对于任意一点,和直线
如何求点到直线的距离？
设是直线上的点,且,因此所要求的就是.③
,是直线的一个法向量,
因此与共线.从而,
整理得
又是直线上的点,所以
在⑤的左右两边同时减去,,并整理,
探究新知
思考：对于任意一点,和直线
如何求点到直线的距离？
得
将④与⑥两边平方后相加可得
,
因此,
从而
点到直线的距离公式
探究新知
思考：你还有哪些方法求点到直线的距离？
方法一：利用直角三角形的面积公式的推导方法
方法二：利用平面向量数量积的推导方法
探究新知
R
S
已知点和直线,(均不为零)
求点到直线的距离.
利用直角三角形的面积公式的推导方法
探究新知
设,由三角形面积公式可得,
探究新知
利用平面向量数量积的推导方法
如图所示：
探究新知
当时,
点到直线,(均不为零)的距离：
两平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长
如何利用点到直线的距离求出两平行线间的距离呢？
任意两条平行直线可写成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
怎样求任意两条平行线的距离呢？
探究新知
用两平行线间距离公式须将方程中的系数化为对应相同的形式.
一般地,两条平行线l1:Ax＋By＋C1＝0 和l2:Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
探究新知
两条平行线的距离公式
典例讲解
解析
(1)将直线方程化成一般式
由题意可知解得
例1、(1)若点到直线的距离为,则的值为( )
A. 1 B.31 C. 1或31 D. 1或31
(2)求过点且与点,等距离的直线的方程.
C
典例讲解
解析
例1、(1)若点到直线的距离为,则的值为( )
A. 1 B.31 C. 1或31 D. 1或31
(2)求过点且与点,等距离的直线的方程.
C
(2)由于点到轴的距离不相等,
所以直线的斜率存在,设为,又因为直线在轴上的截距为2,
则直线的方程为,即.
由点 到直线的距离相等,得,
解得或.故直线的方程是或.
(2)根据所给条件求直线方程时,通常用待定系数法求解,即先设出直线的方程,再根据条件求出方程中的参数,需特别注意的是,若需设出斜率,则应分斜率存在与不存在两种情况讨论.
(1)应用点到直线的距离公式时,必须把直线方程化为一般式.
方法归纳
变式训练
(1)①根据点到直线的距离公式得
②直线的方程可化为,所以
③因为直线平行于轴,所以
解析
1.(1)求点,到下列直线的距离.
① ;② ;③
(2)求过点,且到原点距离为的直线方程.
变式训练
1.(1)求点,到下列直线的距离.
① ;② ;③
(2)求过点,且到原点距离为的直线方程.
(2)由题意可知当所求直线的斜率不存在时,,满足题意.
当所求直线的斜率存在时,设为,
化为一般式为,所以解得
所以直线方程为
综上,所求直线方程为或
解析
典例讲解
解析
例2、(1)求两平行线和间的距离.
(2)已知直线与直线间的距离,求实数的取值范围.
(1)法一：若在直线上任取一点,则点到直线的距离,
即是所求的平行线间的距离.所以
法二：设原点到直线的距离分别为、 ,结合图形(图略)可知,即为所求. 所以
法三：利用公式
典例讲解
解析
例2、(1)求两平行线和间的距离.
(2)已知直线与直线间的距离,求实数的取值范围.
法二:在上取点则.所以
(2)法一:直线的方程可以化为,
则由平行线之间的距离公式可得,
因为,所以,所以.所以
(1)求两条平行线间的距离问题可转化为点到直线的距离问题来解决.
(2)若利用平行线间的距离公式求解时,首先要保证两条平行线方程中的系数统一,否则不能直接使用.
方法归纳
变式训练
2.(1)已知两条平行直线和,则它们之间的距离为_______.
(2)求与直线平行且到的距离为的直线方程.
可化为,
由平行线之间的距离公式可得,故填.
(2)设所求直线的方程为,因为两直线间的距离为,
所以所以或.
所以所求直线的方程为或.
解析
典例讲解
解析
直线的方程为即.
因为点到直线AC的距离,
所以△ABC的面积
因为,所以,所以
所以当,即时,△ABC的面积S最大.
例3、已知△ABC的顶点坐标为 ,
.当为何值时,△ABC的面积S最大？
对变量问题要善于从函数的观点去思考,利用函数的知识去解决,如本题之关键在于建立面积S与变量m之间的函数关系式,转化为二次函数最值问题,同时在解题时又要考虑到问题的实际意义．
方法归纳
1.对点到直线距离公式的理解
(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.例如求到直线的距离,应先把直线方程化为,得
(2)点在直线上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应用公式时不必判定点与直线的位置关系.
素养提炼
(3)直线方程中或时,公式也成立,也可以用下列方法求点到直线的距离.
① 到的距离;
② 到的距离.
2.对两平行直线间距离公式的理解
(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离,也可以利用公式.
(2)利用公式求两平行线间的距离时,两直线方程必须是一般式,且, 的系数对应相等.
素养提炼
当堂练习
1.点(5, 3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)
A．7　　　　B．5　　　　　C．3　　　　D．2
直线x＋2＝0,即x＝ 2为平行于y轴的直线,
所以点(5, 3)到x＝ 2的距离d＝|5 (2)|＝7.
解析
A
当堂练习
解析
∵解得
的方程为, 的方程为,
即, 间的距离是.
2.求两平行线和平行,则, 间的距离是( )
A.
B
当堂练习
解析
3.已知直线与两直线和相等,则的方程是_______________.
设的方程为,
由题意知,
解得.
故所求直线方程是.
当堂练习
4.点到直线的距离大于,则实数的取值范围为_____________.
根据题意,得,
解得或.
解析
或
当堂练习
5.已知直线, .
(1)当时,直线过与的交点,且垂直于直线,
求直线的方程;
(2)求点到直线的距离的最大值.
(1)当时, ,
则,解得交点(-2,2)
又由直线垂直于直线,直线的斜率.
∴ .∴直线的方程为,即.
解析
当堂练习
5.已知直线, .
(1)当时,直线过与的交点,且垂直于直线,
求直线的方程;
(2)求点到直线的距离的最大值.
解析
(2)直线,过定点,
点到直线的距离的最大值为
任意两条平行直线 的距离为：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
归纳小结
已知点和直线, (均不为零)
作 业
课本P95页练习第1,3题
P95页练习第3,4题