10.3电势差与电场强度的关系 同步学案

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11.3 电势差与电场强度的关系
一、考点梳理
考点一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．两个关系式：
（1）U＝Ed，由该式可知：在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
（2）E＝，由该式可知：
①在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．
②电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．
③电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C.
2．式U＝Ed、E＝中各字母的物理意义：
U匀强电场中两点的电势差的绝对值，E是匀强电场的电场强度的大小，d是匀强电场中这两点在电场强度方向上的距离或是匀强电场中过这两点的等势面间的距离。
3．公式U＝Ed、E＝的适用条件都是匀强电场．
5．说明：
（1）应用公式U＝Ed、E＝计算出来的U是电势差的绝对值，计算出来的E只是电场强度的大小。
（2）Ｕ的正负号、E的方向可用下列知识判断
沿着电场线方向（电场强度方向 ）电势越来越低；电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
6．三个电场强度公式的比较
公式 物理含义 适用范围
电场强度大小的定义式 适用于一电场
真空中点电荷电场强度的决定式 在真空中，场源电荷Q是点电荷
匀强电场中电场强度的计算式 匀强电场
【典例1】关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是（　　）
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等
C．电势降落的方向一定是电场强度的方向
D．电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向
【答案】B
【解析】
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间沿电场线方向的距离的乘积，选项A错误；
B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等，选项B正确；
CD．电势降落最快的方向一定是电场强度的方向，选项CD错误；
【典例2】电鳗能产生足以将人击昏的电流，放电输出的电压可达300V~800V，若电鳗的头尾相当于两个电极，它在水中所产生电场（视为匀强电场）的电场强度大小为400V/m，则身长为1m的电鳗在放电时产生的瞬间电压可达（　　）
A．700V B．600V C．500V D．400V
【答案】D
【解析】
根据U=Ed可得U=400×1V=400V则身长为1m的电鳗在放电时产生的瞬间电压可达400V。
练习1.如图所示，P、Q两金属板间的电势差为100V，板间存在匀强电场，方向水平向右，板间的距离为10cm，在两板间距Q板6cm的A点有一电荷量为0.01C的正点电荷，已知Q板接地，下列说法正确的是（　　）
A．P板的电势为-100V
B．板间的电场强度大小为10V/m
C．点电荷的电势能为0.6J
D．若点电荷从A点运动到Q板，静电力做的功为-60J
【答案】C
【解析】
A．因Q板接地，则，而匀强电场方向水平向右，则有则故A错误；
B．根据匀强电场的电压与场强的关系有故B错误；
C．A点的电势为则点电荷在A点的电势能为故C正确；
D．点电荷从A点运动到Q板静电力做的功为故D错误；
考点二、用等分法确定等势线和电场线
1．在匀强电场中，沿着任意方向上，相等距离的电势差都相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的.像这样采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法．
2．在已知电场中几点的电势时，如果要求另外某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找出与待求点电势相同的等势点．
3．在匀强电场中，相互平行、相等长度的线段两端电势差相等，用这一点可求解电势或电势差．
4．等分法也常用在画电场线或计算电场强度的问题中
5.结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示．
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），同理有UAC＝UBD，如图乙所示．
（2）确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．
【典例1】如图所示，一匀强电场的方向与平行四边形ABCD所在的平面平行，已知A、B、C三点的电势分别为，，，则D点的电势为（　　）
A．Ｖ B． C． D．
【答案】B
【解析】
由于电场是匀强电场，则：即：得：
故B正确，ACD错误。
【典例2】空间有平行于梯形区域abcd的匀强电场，已知梯形的 ，∠c和∠d均为直角，且上底 、下底 ，并知a、b、c三点的电势分别为4V、8V、10V。将一电荷量 的点电荷从a点开始沿abcd路线移动，则下列判断正确的是（ ）
A.梯形区域的下底ad中点的电势为8V
B.该匀强电场的场强大小为
C.该点电荷在c点的电势能为
D.该点电荷从a点移到d点过程中，电场力对它做功为
【答案】 B
【解析】A．由题意可知，如图所示
ad等于bc的2倍，过b点作ad的垂线，交与e点，e点即为ad的中点，由几何知识，可知g点为ac的中点。在匀强电场中，电势在各个方向降落是均匀的，所以可知
在be上，由几何知识可知，g点为be的中点，所以e点的电势为
所以A不符合题意；
B．过e点作ab的垂线，交于f点，由几何知识可知，f点为ab的中点。在匀强电场中，电势在各个方向降落是均匀的，所以f点的电势为
由A选项分析可知
所以连接ef，即为等势线，则电场线方向由b点指向a点。由电场强度和电势的关系可得
由几何关系可知
则
所以B符合题意；
C．由电势能的表达式为
所以C不符合题意；
D．由题意可知，ad两点的电势差为
根据以上选项分析可知，d点的电势与b点的电势相等，为
则
则该点电荷从a点移到d点过程中，电场力对它做功为
所以D不符合题意。
练习1.如图所示，纸面内存在一匀强电场，有一直角三角形ABC，BC长度为0.06m ， =30°，其中 A点电势为6V，B点电势为3V，C点电势为9V，则电场强度的大小为（ ）
A.100V/m B.100 V/m C. V/m D. V/m
【答案】 D
【解析】B、C两点连线中点D点的电势
可见A点电势与D点电势相等，所以电场线与AD垂直，由匀强电场中电场强度与电势差的关系可知
D符合题意，ABC不符合题意。
练习2、匀强电场中有、、三点。在以它们为顶点的三角形中，，。电场方向与三角形所在平面平行。已知、和点的电势分别为、和。该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为（　　）
A．、 B．，
C．， D．、
【答案】 B
【解析】
取的中点，即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为，故为等势线，其垂线为电场线，方向为。外接圆上电势最低点为点，最高点为点。如图
设外接圆半径为，则有
，
则有
故
则点电势为0，为最低电势点；同理点电势为，为最高电势点。
练习3、如图，有一匀强电场的电场强度方向与圆所在平面平行，圆的半径，圆周上的3个点a、b、c的电势分别为、、，其中为圆的直径，，则该匀强电场电场强度大小为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设电场强度大小为E，电场强度方向与水平方向夹角为，O点电势为
因为所以O、c为等电势点，电场线方向与垂直。根据几何关系可知故A正确。BCD错误。
故选A。
考点三、利用E＝定性分析非匀强电场
UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
1．在非匀强电场中，公式U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度．
2．当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密．
3．距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小．
【典例1】（多选）如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有(　　)
A.φA>φB>φC B.EA>EB>EC
C.UAB【答案】AC
【解析】沿电场线方向，电势越来越低，所以A点电势最高，C点电势最低，A正确；电场线越密集的地方电场强度越强，由图可知，C点电场强度最强，A点电场强度最弱，B错误；由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度，由U＝Ed可知，UAB【典例2】如图为某电场中的三条电场线，A、B、C是其中一条电场线上的三个点。已知AB=BC=10cm，A、C两点的电势分别为A=30V，C=10V，下列说法正确的是（　　）
A．B点的电势为20V
B．B点的电场强度方向由B指向A
C．将电子从A点移动到C点，电子克服电场力做功20eV
D．A点的电场强度大小为100N/C
【答案】C
【解析】
A．从A到C，电场强度逐渐减小，根据可知所以B点的电势大于20V。A错误；
B．沿着电场强度的方向电势逐渐降低，所以B点的电场强度方向由A指向B。B错误；
C．将电子从A点移动到C点，电子受力方向与运动方向相反，电场力做功为C正确；
D．电场不是匀强电场，所以A点的电场强度无法求解。D错误。
练习1、某电场中等势面分布如图所示，图中虚线表示点电荷的等势面，过a、c两点的等势面电势分别为40V和10V，则a、b连线的中点c处的电势应（　　）
A．等于25V B．大于25V
C．小于25V D．可能等于25V
【答案】C
【解析】
因为电场线与等势面垂直，根据等势面的形状可知，电场线从左向右由密变疏，即从a到c，电场逐渐变弱，所以等差等势面也由密变疏。故40V和10V一半的电势10V的等势面应在b点的左边。所以b点的电势应小于25V
练习2.如图所示，三个同心圆是点电荷q周围的三个等势面，A、B、C是这三个等势面与一条电场线的交点，且AB＝BC。A、C两点的电势分别为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　　)
A．等于6 V B．低于6 V
C．高于6 V D．无法确定
【答案】B
【解析】因点电荷所形成的电场离点电荷越远电场强度越小，故有φA－φB＞φB－φC，即φB＜＝6 V，B正确。
练习3、如图所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间距离等于b、c间距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和场强，可以判定（　　）
A．φa>φb>φc B．Ea>Eb>Ec
C．φa–φb=φb–φc D．Ea=Eb=Ec
【答案】 A
【解析】
A．沿电场线方向电势降低，则
故A正确；
BD．只有一条电场线，不能确定电场线的分布情况，无法比较场强的大小，故BD错误；
C．对于匀强电场，两点间的电势差，由于电场线的疏密情况无法确定，则两点间电势差的公式也不能适用，不能判断电势差的关系，故C错误。
考点四、图像和图像
1．电场中电势随位置x变化的情况可用图像来表示，在图像中切线的斜率表示了电场的电场强度，斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负号表示了电场强度的方向。
2．电场中电场强度随位置x变化的情况可用图像来表示，在图像中图线和坐标轴围成的面积表示了电势差，其面积的数值表示了电势差的大小，电势差的正负及电势的高低可以根据电场强度的方向来判断。
【典例1】（多选）在x轴上有两个点电荷q1、q2,其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确的有 (　　)
A.q1和q2带有异种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2,电势能减小
D.负电荷从x1移到x2,受到的电场力增大
【答案】AC
【解析】选A、C。从图中看到,中间电势高,两边电势低,且图形左右不对称,判断q1和q2带有异种不等量电荷,A项正确;从图线斜率看,x1处的电场强度不为零,B项错误;负电荷从x1移到x2,即由低电势到高电势,电场力做正功,电势能减小,C项正确;x2处电场强度为零,所以负电荷从x1移到x2,受到的电场力减小,D项错误。
【典例2】两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中C为ND段电势最低的点，则下列说法正确的是（　　）
A．q1、q2为等量异种电荷
B．N、C两点间场强方向沿x轴负方向
C．N、D两点间的电场强度大小沿x轴正方向先减小后增大
D．将一正点电荷从N点移到D点，电势能先增大后减小
【答案】 C
【解析】
A．根据q1左侧和q2右侧电势随距离增大而降低可判断两者均为正电荷，故A错误；
B．N、C间的电场方向沿x轴正方向，C点场强为0，故B错误；
C．根据N→D间图线的斜率大小先减小后增大可知，场强先减小到零后反向增大，故C正确；
D．正电荷从N移到D，由Ep＝qφ知，电势能先减小后增大，故D错误。
练习1.（多选）空间有一沿轴对称分布的电场，其电场强度随变化的图像如图所示，轴正方向为电场强度的正方向。下列说法中正确的是（　　）
A．该电场可能是由一对分别位于和两点的等量异种电荷形成的电场
B．和两点的电势相等
C．正电荷从运动到的过程中电势能先增大后减小
D．原点与两点之间的电势差大于与两点之间的电势差
【答案】 BD
【解析】
A．根据等量异种电荷形成电场的特点可知，在等量异种电荷的连线上，各点的电场强度的方向相同，而题图中电场强度的大小和方向都沿轴对称分布，所以该电场一定不是由一对分别位于和两点的等量异种电荷形成的电场，故A错误；
B．E-x图像与x轴所围的面积表示电势差，则由题意可知
即
所以
故B正确；
C．由题图可知，从到电场强度方向始终为正，则正电荷运动的方向始终与电场强度方向相同，所以静电力做正功，电势能逐渐减小，故C错误；
D．由
可得
又因为
所以
故D正确。
二、夯实小练
1．如图所示,在匀强电场中有a、b、c、d四点,它们处于同一圆周上,且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φa=9 V,φb=15 V,φc=18 V,则d点的电势为 (　　)
A.4 V　　　B.8 V　　　C.12 V　　　D.16 V
【答案】C
【解析】
连接a、c两点,将ac连线三等分为ae、ef、fc三段,则图中f点的电势为15 V,连接fb,则fb为一条等势线,连接de,由几何关系可以证明de∥fb,则de也是一条等势线,根据匀强电场中沿电场方向上相同距离对应的电势差相等,可知e点的电势为12 V,则d点的电势也为12 V,故C正确。
2．如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝0，则(　　)
A．C点的电势＝20 V
B．C点的电势<20 V
C．C点的电势>20 V
D．A、B、C都不正确
【答案】B
【解析】由题图看出，AC段电场线比CD段、DB段电场线密，则AC段电场强度最大，根据公式U＝Ed可以知道，A、C间电势差UAC大于C、D间电势差UCD和D、B间电势差UDB。所以UAC>UAB＝(φA－φB)＝10 V，即(φA－φC)>10 V，又φA＝30 V，可以知道φC<20 V。
3．如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa=20 V，φb=50 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为（　　）
A．φc=35 V B．φc>35 V C．φc＜35 V D．无法判断φc的高低
【答案】 B
【解析】
由图看出，ac段电场线比bc段电场线密，ac段场强较大，根据公式U=Ed可知，ca间电势差Uca大于b、c间电势差Ubc，即
φc﹣φa>φb﹣φc
得到
φc>=35 V
4．如图中A、B、C三点都在匀强电场中，已知，，。把一个电量的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为，则该匀强电场的场强大小和方向是（　　）
A．，垂直向右 B．，垂直向左
C．，垂直斜向上 D．，垂直斜向下
【答案】 C
【解析】
由题意可知A、B两点电势相等，所以AB为一条等势线，如图所示，过C作CD⊥AB于D，则电场强度方向为由D指向C，即垂直于AB斜向上。设电场强度的大小为E，由题意可得
代入数据解得
E=1000V/m
5．如图所示,在平面直角坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场,其中坐标原点O处的电势为0 V,点A处的电势为6 V,点B处的电势为3 V,则电场强度的大小为(　　)
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
【答案】D
【解析】OA的中点C处的电势为3 V,
将C点与B点连接,如图所示,电场线与等势线垂直,根据几何关系得BC=3 cm,则OB沿电场线方向上的距离d= cm,所以电场强度E= V/m=100 V/m,故D正确,A、B、C错误。
6．（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（　　）
A．电场强度的大小为2V/cm
B．坐标原点处的电势为1V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV
【答案】 BD
【解析】
B．如图所示，设ac之间电势差与Ob两点间的电势差相等，即
可得
故B正确；
A．电场沿着x轴方向电场分量
电场沿着y轴方向电场分量
因此电场强度
故A错误；
C．电子在a点具有的电势能
电子在b点具有的电势能
因此
电子在a点的电势能比在b点的高7eV，故C错误；
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为
所以电子从b点运动到c点，电场力做功为9，故D正确。
7．x轴上有两点电荷和，和之间线上各点电势高低如图中曲线所示（），选无穷远处电势为0，距电荷量为的点电荷处的电势为，从图中可以看出（　　）
A．电荷量一定小于电荷量 B．点电场强度是0
C．和之间线上各点电场方向都指向 D．、可能是同种电荷
【答案】 C
【解析】
D．附近电势大于零，而附近电势小于零，可知带正电荷、带负电荷，故D错误；
B．该图象的斜率大小等于场强，P点电势为零，P点图象的斜率不等于零，则电场强度不为零，故B错误；
C．根据顺着电场线方向电势降低，可知两电荷之间连线上各点的场强方向都指向x轴的正方向，故C正确；
A．由
可知，在点电势为
在点电势为
而点电势为0，则有
故
故A错误。
8．如图所示,平行于匀强电场区域中,有A、B、C、D四点恰好位于一平行四边形的四个顶点上,已知A、B、C三点电动势分别为φA=1 V,φB=4 V,φC=0,则D的电势φD大小为 (　　)
A.-3 V　　　B.0　　　C.2 V　　　D.1 V
【答案】A
【解析】在匀强电场中,根据U=Ed知,沿电场方向相同距离电势差相等,根据平行四边形的特点知,AB与DC平行且相等,所以AB边与DC边沿电场方向的距离相等,AB间的电势差与DC间的电势差相等,即有φA-φB=φD-φC,解得:φD=φA-φB+φC=1 V-4 V+0=-3 V,故选项A正确。
9．如图所示，在一个匀强电场中有一个三角形，的中点为M，的中点为N。将一个带正电的粒子从A点移动到B点，电场力做功为。则以下分析正确的是（　　）
A．若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功有可能小于
B．若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功有可能大于
C．若A、B之间的距离为，粒子的电荷量为，该电场的场强大小一定是
D．若粒子的电荷量为，则A、B之间的电势差为
【答案】 D
【解析】
AB．在匀强电场中沿相同方向移动同种电荷，电场力做功的正、负相同，M、N分别为、的中点，因此长度为的一半，无论电场强度方向如何，M、N间电势差为A、B间电势差的一半，则有
所以AB错误；
C．由于电场强度方向未知，当电场强度沿方向时，电场强度最小，由
可知最小场强
所以匀强电场的场强
所以C错误；
D．若粒子的电荷量为，由
得A、B间的电势差为
所以D正确；
10．匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1m，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14V、6V和2V。设电场强度大小为E，电量为1×10-6C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则（　　）
A．W=8×10-6J B．W=6×10-6J C．E≥8V/m D．E＜8V/m
【答案】 A
【解析】
AB．由题匀强电场中，由于D为AB的中点，则D点的电势
电荷从D点移到C点电场力所做的功为
故A正确B错误；
CD．AB的长度为1m，由于电场强度的方向并不是沿着AB方向，所以AB两点沿电场方向的距离d<1m，匀强电场中两点电势差与两点沿电场方向的距离成正比，即
所以
故CD错误。
三、培优练习
1．（多选）如图所示，图中五点均在匀强电场中，它们刚好是一个圆的四个等分点和圆心，已知电场线与圆所在平面平行，下列有关圆心O和等分点a的电势、电场强度的相关描述正确的是（　　）
A．a点的电势为6V
B．a点的电势为－2V
C．O点的场强方向指向a点
D．O点的场强方向指向电势为2V的点
【答案】 AD
【解析】
AB．在匀强电场中，任意两平行直线上相等距离的电势差相等，所以，a点电势比10V低4V，即为6V，故A正确，B错误；
CD．a点的电势为6V，根据电场线应与等势面垂直，且沿电场线电势依次降低，O点的场强方向应指向图中电势为2V的点，故C错误，D正确。
2．（多选）在匀强电场中，一电荷量为的粒子（不计重力）以初动能由点沿某一方向射出，通过点时其动能为；若将该粒子还以初动能由点沿另一方向射出，粒子通过点时动能为。如图所示，三点构成直角三角形且，匀强电场平行于所在平面。分别表示两点与两点间电势差，已知，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．匀强电场的电场强度大小为
D．匀强电场沿方向
【答案】 BC
【解析】
解析：
AB．带电粒子由A到的过程，由动能定理得
带电粒子由A到的过程，由动能定理得
解得
故A错误，B正确；
CD．由分析可知，点的电势比点的电势高，且在上与点电势相等的点为点，点为的四等分点，如图所示
由几何关系知，因此电场强度的方向由A指向，又，则
故C正确，D错误。
3．有一静电场，其电场强度方向平行于x轴，其电势φ随坐标x变化的图线如图所示，则下图中能正确表示该静电场的场强E随x的变化图像是（设场强沿x正方向取正值）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】
电场强度方向平行于x轴，电势φ随坐标x变化的图线的斜率的意义反映了电场强度。沿着电场线方向电势降低，则x轴上0-2m间场强
沿x轴正方向电势升高，方向沿x轴负向；
2-10m间场强
沿x轴正方向电势降低，方向沿x轴正向；
10-12m间场强
沿x轴正方向电势升高，方向沿x轴负向。
4．如图所示匀强电场的区域内，在点处放置一点电荷。、、、、、为以为球心的球面上的点，平面与电场方向平行，平面与电场方向垂直，则下列说法中正确的是（　　）
A．、两点的电场强度相同
B．点的电势等于点的电势
C．点电荷在球面上任意两点之间移动时，静电力一定做功
D．将点电荷在球面上任意两点之间移动，从点移动到点电势能的变化量一定最大
【答案】 D
【解析】
A．点电荷在点产生的电场强度方向竖直向上，在点产生的电场强度方向竖直向下，匀强电场方向水平向右，根据平行四边形定则可知，点的合电场强度斜向右上方，点的合电场强度斜向右下方，两点电场强度大小相等，方向不同，电场强度不同，故A错误；
B．将一个正试探电荷由点移动到点，点电荷的静电力不做功，匀强电场的静电力做正功，故合力做正功，电势能减小，电势降低，故B错误；
C．当点电荷沿着球面上的移动时，匀强电场的静电力不做功，点电荷的静电力也不做功，故合静电力不做功，故C错误；
D．将点电荷在球面上任意两点之间移动，点电荷的静电力不做功，从点移动到点，匀强电场的静电力做功最多，故电势能的变化量最大，故D正确；
5.在某匀强电场中有M、N、P三点,在以它们为顶点的三角形中,∠M=30°、∠P=90°,直角边NP的长度为4 cm。已知电场方向与三角形所在平面平行,M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V。则电场强度的大小为(　　)
A.150 V/m B.75 V/m
C.225 V/m D.75 V/m
【解析】选A。过P点作斜边MN的垂线交MN于O点,如图所示
由几何知识可知N、O间的距离NO=2 cm,M、O间的距离MO=6 cm,故O点为直线MN的四等分点,由匀强电场的特点得O点的电势为φO=12 V ,即O、P在同一等势面上,由电场线与等势面的关系和几何关系知:E===150 V/m,故A正确。
6．（多选）如图所示，水平面内有、、、、、六个点，它们均匀分布在半径为的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场。已知、、三点的电势分别为、，，下列判断正确的是（　　）
A．电场强度的方向由指向
B．电场强度的大小为
C．该圆周上的点电势最高为
D．将电子沿圆弧从点经点移到点，静电力始终做负功
【答案】 BC
【解析】
A．由于圆周处于匀强电场中，，，设AE中点为G，如图
则中点G电势为，等于点电势，连接点和点的直线与弧的中点在同一等势线上，和等势线垂直，故电场强度方向由指向，故A错误；
B．EA间的距离为
则电场强度的大小为
故B正确；
C．沿着电场线方向电势逐渐降低，因此H点电势最高，先算
UHO=E×R=2V
而
即
解得
故C正确；
D．电子从点沿圆周经点到点，电势先升高后降低，电子的电势能先减小后增大，故静电力先做正功后做负功，故D错误。
7．（多选）如图甲所示,有一绝缘的竖直圆环,圆环上分布着正电荷.一光滑细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环,细杆上套有一质量为m=10 g的带正电的小球,小球所带电荷量q=5.0×10-4 C,让小球从C点由静止释放.其沿细杆由C经B向A运动的v-t图象如图乙所示,且已知小球运动到B点时,速度图象的切线斜率最大(图中标出了该切线),下列说法正确的是 (　　)
A.由C到A的过程中,小球的电势能先减小后增大
B.在O点右侧杆上,B点场强最大,场强大小为E=1.2 V/m
C.沿着C到A的方向,电势先降低后升高
D.C、B两点间的电势差UCB=0.9 V
【答案】BD
【解析】　从C到A电场力对带正电的小球一直做正功,故电势能一直减小,电势一直减小,选项A、C错误;由乙图可知,小球在B点的加速度最大,且加速度只由电场力提供,故B点的电场强度最大,由乙图可知a==0.06 m/s2,又a=,代入数据解得E=1.2 V/m,选项B正确;由C到B电场力做功为W=m-0,所以C、B间电势差为UCB==0.9 V,选项D正确.
8.(多选)如图所示,纸面内有匀强电场,一带正电的质点(重力不计)在一恒力F的作用下沿图中虚线由A匀速运动至B,已知F和AB间夹角为θ,点A、B间距离为d,质点所带电荷量为q,则下列结论正确的是 (　　)
A.匀强电场的场强大小为
B.A、B两点间的电势差UAB=-
C.带电质点由A点运动至B点的电势能增加Fdcosθ
D.若带电质点由B点向A点做匀速直线运动,则F必须反向
【答案】BC
【解析】质点沿AB做匀速直线运动,所以质点所受电场力与力F大小相等、方向相反,匀强电场的场强大小为,方向沿F的反方向,故A点的电势小于B点的电势,A、B两点间的电势差为UAB=-Edcosθ=-,A错误,B正确;带电质点由A点运动至B点的过程中电势能增加了ΔEp=-W电=-qUAB=Fdcosθ,C正确;若带电质点由B点向A点做匀速直线运动,仍应受平衡力作用,所以F方向不变,D错误。
9.如图所示是某电场中的三条电场线,C点是A、B连线的中点。已知A点的电势是φA=30 V,B点的电势φB=-20 V,则下列说法正确的是 (　　)
A.C点的电势φC=5 V
B.C点的电势φC>5 V
C.C点的电势φC<5 V
D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
【答案】C
【解析】由题图看出,AC段电场线比BC段电场线密,则AC段场强大,根据公式U=Ed可知,AC间电势差UAC大于BC间电势差UCB,所以 UAC>UAB=25 V,即φA-φC>25 V,又φA=30 V,可知φC<5 V,故C正确,A、B错误。负电荷在电势低处电势能较大,故D错误。
10．如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，A处的电势为6V，B处的电势为3V。求电场强度的大小，并在图中标出电场强度的方向。请总结根据电场中的电势确定电场强度的方法。
【答案】 ；200V/m；在x轴上找一电势为3V的点，将该点与B点连接，该连线为等势线，求出OB沿电场线方向上的距离，根据求出电场强度的大小。
【解析】
OA的中点C的电势为3V，将C点与B点连接，如图所示
电场线与等势线垂直，有
则
根据几何关系OB沿电场线方向上的距离为
所以电场强度为
方法：在x轴上找一电势为3V的点，将该点与B点连接，该连线为等势线，求出OB沿电场线方向上的距离，根据求出电场强度的大小。
11.如图所示,a、b、c、d为某匀强电场中的四个点,且ab∥cd、ab⊥bc,bc=cd=2ab=20 cm,电场线与四边形所在平面平行,已知φa=20 V,φb=24 V,φd=8 V。则:
(1)在图中用虚线画出通过a、b、c点的等势线并用实线作出通过b点的电场线的方向;
(2)求电场强度E的大小;
(3)求将一个电荷量为1.8 C的负电荷,从c点开始沿图中边线经过d、a到b点,电场力所做的功是多少。
【答案】(1)
(2)40 V/m　(3)14.4 J
【解析】(1)连接bd并找出其四等分点,则相邻两点之间的电势差为4 V,连接等势点如图;根据匀强电场的性质可知,电场线与等势线垂直且由高电势点指向低电势点,则场强方向由b指向d。
(2)电场强度E的大小E== V/m=40 V/m
(3)电场力做功与路径无关,则整个过程中电场力做功为W=Ucbq=(16-24)×(-1.8) J=14.4 J
12．如图所示，在水平方向的匀强电场中有相距6cm的A、B两点，且UAB=150V。
（1）求电场强度的大小和方向。
（2）电场中A、C两点相距14cm，A、C两点连线与电场线方向的夹角为37°，则C点与A点的电势差UCA为多少？
【答案】 （1），方向水平向右；（2）
【解析】
（1）因为AB的电势差为正值，知A点的电势高于B点，所以电场强度的方向水平向右
电场强度
（2）间的电势差，等于，因为点电势高于点电势，所以
13．如图，在匀强电场中，将电荷量为-6×10-6 C的点电荷从电场中的A点移到B点，静电力做了-2.4×10-5 J 的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10-5 J的功。已知电场的方向与△ABC所在的平面平行：
（1）A、B两点间的电势差UAB和 B、C两点间的电势差UBC分别为多少？
（2）如果规定B点的电势为 0，则A点和C点的电势分别为多少？
（3）请在图中画出过B点的电场线方向，并说明理由。
【答案】 （1）UAB = 4V；UBC = -2V；（2），；（3），电场线方向从F指向B
【解析】
（1）A、B两点间电势差
B、C两点间的电势差
（2）如果规定B点的电势为 0，则
故A点和C点的电势分别为
，
（3）取AB中点D，则，连接CD，为等势线，从B作CD的垂线，F为垂足，如图，则BF为电场线（电场线方向从F指向B）。
14.如图所示，A、B为水平正对放置的平行金属板，板间距离为d，一质量为m的带电油滴在两金属板之间，若两金属板间加电压UAB＝U，油滴将保持静止．若两金属板间的电压减为原来的一半，经一段时间，油滴在空气阻力的作用下最后以速率v匀速下降．设油滴在运动过程中质量和电荷量均保持不变，空气阻力与速度大小成正比(重力加速度为g)．求：
(1)油滴所带电荷量；
(2)油滴以速率v匀速下降时受到空气阻力多大？
(3)若要让油滴以速率2v匀速上升．则两极板的电压应为多少？
答案　(1)　(2)mg　(3)2U
解析　(1)q＝mg
解得q＝
(2)Ff＝kv＝mg－q＝mg，
(3)q－mg＝k·2v，
解得U′＝2U.
15.如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力的大小；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大)
解析　(1)作电场线如图(a)所示。
(a)
由题意知，只有小球受到向左的静电力，静电力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示。只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。由图(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝。
(2)由图(b)知，F合＝＝mg。
(b)
(3)由动能定理得－F合xm＝0－mv，
所以xm＝eq \f(mv,2\r(2)mg)＝eq \f(\r(2)v,4g)。
答案　(1)正电荷　　(2)mg　(3)eq \f(\r(2)v,4g)
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