人教B版高中数学必修第一册 《2.2.1不等式及其性质》(共37张PPT)

(共37张PPT)
2.2 不等式
第二章　等式与不等式
2.2.1 不等式及其性质
学习目标
1.通过对比，理解等式和不等式的共性与差异.
2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
3.了解综合法，分析法和反证法证明不等式的性质
学习目标
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
不等式的有关概念 数学抽象 水平1 水平2 1.理解不等式相关概念，掌握两数或式的大小比较方法。 2.理解不等式的性质，注意成立的条件。 3.应用不等式的性质解决问题时，每步都要做到等价变形。 【考查内容】高考对于不等式及其性质的考查，基本上是与函数单调性相结合的。【考查题型】选择题或填空题
【分值情况】5分
不等式的性质 数学抽象 水平1 水平2 不等式性质的应用 数学建模 水平1 水平2 要比较两个实数a，b的大小，只要考察它们的差与0的相对大小就可以了，即
a－b>0 _______ ；
a－b＝0 _______ ；
a－b<0 _______.
知识点一　实数大小比较的基本事实
(一)教材梳理填空
一、自学教材·注重基础
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
1．判断正误
(1)任意两个实数都能比较大小． (　　)
(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2. (　　)
(3)若a√
知识点一　实数大小比较的基本事实
√
√
2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为 (　　)
A．T<40　　　　　B．T>40 　　　C．T≤40 　　D．T≥40
解析：限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.
C
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
知识点一　实数大小比较的基本事实
3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 (　　)
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析：依题意得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
D
4．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________.
解析： m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.
m≥n
不等式的性质与推论
性质1　如果a>b，那么___________.
性质2　如果a>b，c>0，那么___________.
性质3　如果a>b，c<0，那么___________.
性质4　如果a>b，b>c，那么___________ (不等式的传递性)．
性质5　a>b ___________.
知识点二　等式与不等式的性质及推论
(一)教材梳理填空
一、自学教材·注重基础
推论1　如果a＋b>c，那么___________.
推论2　如果a>b，c>d，那么___________.
推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么___________.
推论4　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)．
推论5　如果a>b>0，那么.
知识点二　等式与不等式的性质及推论
(一)教材梳理填空
一、自学教材·注重基础
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
1．判断正误
(1)若a>b，则ac>bc一定成立． (　　)
(2)若ac2>bc2，则a>b. (　　)
(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d. (　　)
知识点二　等式与不等式的性质及推论
×
√
×
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
知识点二　等式与不等式的性质及推论
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析：法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，∴a>－b>b>－a.
法二：设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.
C
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
知识点二　等式与不等式的性质及推论
A
3．下列命题正确的是 (　　)
A．a>b，c≠0 ac2>bc2
B．aC．a>b且cb＋d
D．a>b a2>b2
解析：∵c≠0，∴c2>0，又∵a>b，∴由不等式的性质可得ac2>bc2，故选A.
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
知识点二　等式与不等式的性质及推论
4．若a>b>0，n>0，则_______.(填“>”“<”或“＝”)
解析：∵a>b>0，n>0，∴an>bn>0.∵，
∴.
<
知识点三　不等式的证明方法
(一)教材梳理填空
一、自学教材·注重基础
（1）作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小.
（2）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法.
（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.
（4）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立.
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
1．设，那么a，b，c的大小关系是 (　　)
A．a>b>c　　　　　　　 B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
解析：由已知，可得出，
.
知识点三　不等式的证明方法
B
(二)基本知能小试
一、自学教材·注重基础
2．若0解析：.
因为0所以.
知识点三　不等式的证明方法
3．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．
证明：∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
题型一　数、式大小的比较
例1、(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
解析
二、提升新知·注重综合
(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0，
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.
题型一　数、式大小的比较
例1、(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
解析
二、提升新知·注重综合
(2).
∵a>0，∴当a>1时，，有；
当a＝1时， ＝0，有a＝ ；
当0综上，当a>1时，a> ；当a＝1时，a＝ ；
当0方法总结
二、提升新知·注重综合
(1)作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差；
(2)变形：对差进行变形
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号
(4)作出结论
[提醒] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是日的，“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
比较两个代数式大小的步骤
题型一　数、式大小的比较
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型一　数、式大小的比较
1．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则的大小关系是____________．
解析：法一：(特值探路)取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，则p＝，q＝2，r，
则p＜r＜s＜q.
法二：(作差法) .
,
.
.
∴p＜r＜s＜q.
p＜r＜s＜q
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型一　数、式大小的比较
2．已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
解：(x3－1)－(2x2－2x)
＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1) .
,
,
∴x3－1＜2x2－2x.
二、提升新知·注重综合
题型二　不等式的性质及推论的应用
例2、(1)如果a，b，c满足cA．ab>ac　　　　　　 B．c(b－a)>0
C．cb2(2)已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
解析
(1)选C　由于ac<0，且c0，c<0，b的符号不确定，则不一定成立的不等式可能与b有关．不难发现，当C中的b为0时，不等式cb2(2)∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
C
二、提升新知·注重综合
题型二　不等式的性质及推论的应用
方法总结
1．利用不等式判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
二、提升新知·注重综合
题型二　不等式的性质及推论的应用
方法总结
2．利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[提醒]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
二、提升新知·注重综合
题型二　不等式的性质及推论的应用
方法总结
3．利用不等式的性质证明不等式应注意的事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．　　
二、提升新知·注重综合
题型二　不等式的性质及推论的应用
变式训练
1．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是 (　　)
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
C
解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，所以ab>ac.
变式训练
二、提升新知·注重综合
2．下列命题：
①c－ab；
②a＜0＜b ；
③，且c>0 a>b；
④ (n∈N，n>1) a其中真命题是________．(填序号)
题型二　不等式的性质及推论的应用
解析：①c－ab.
②.
③，
∵c>0，∴有或即或∴③不正确.
变式训练
二、提升新知·注重综合
2．下列命题：
①c－ab；
②a＜0＜b ；
③，且c>0 a>b；
④ (n∈N，n>1) a其中真命题是________．(填序号)
题型二　不等式的性质及推论的应用
解析：④中无论n为奇数或偶数，
均可由.
∴①②④正确．
①②④
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型二　不等式的性质及推论的应用
解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
解得.
又，
所以.
故a＋3b的取值范围为.
3．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
题型三　不等式的证明
证明
二、提升新知·注重综合
例3、已知a>b>0，c法一(综合法)：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴.
∵e<0，∴上式同乘e得，不等式得证．
法二(作差法)：.
∵a>b>0，c－d>0.
∴a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0.
∵e<0，∴，
∴.
方法总结
二、提升新知·注重综合
利用不等式的性质证明不等式应注意的事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
题型三　不等式的证明
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型三　不等式的证明
1．已知c>a>b>0，求证：.
证明：∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0，
由
.
变式训练
二、提升新知·注重综合
题型三　不等式的证明
2．用反证法证明.
证明：假设 ，
则5＋2≤ ，
这与实际相矛盾，因此假设不成立，
故.
当堂练习
一、基础经典题
三、训练素养·注重应用、创新
D
1．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则 (　　)
A．b＜0，c＜0　　　　　　　 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
D
2．若，则下列结论中不正确的是 (　　)
A．a2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：∵ ，∴b∴b2>a2，ab∴A、B、C均正确，
∵b故D错误．
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
B
3．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是 (　　)
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，cD．若a2>b2，则－a<－b
解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才成立．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
当堂练习
三、训练素养·注重应用、创新
4．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
解析：∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)
＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
当堂练习
解析：(1)因为0则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2(2)因为2ab－ ＝2a(1－a)－
＝－2a2＋2a－
＝－22<0，
所以2ab< .
二、创新应用题
三、训练素养·注重应用、创新
5．已知0(1)a2＋b2与b的大小；
(2)2ab与的大小．