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学考达标练：不等式及其性质
1．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D.≤
3．设0<α<，0≤β≤，则2α－的范围是( )
A．0<2α－< B．－<2α－<
C．0<2α－<π D．－<2α－<π
4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
5．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋>b＋ B．a＋≥b＋
C.> D．b－>a－
6．若x∈R，则与的大小关系为________．
7．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得<成立的是________(填序号)．
8．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
9．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
10．(1)已知a
(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
参考答案
1.解析：选A 因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.
2.解析：选B 由a，b，c∈R，且a>b，可得a－b>0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.
3.解析：选D 由已知，得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
4.解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
5.解析：选A 因为a>b>0，所以>>0，所以a＋>b＋，故选A.
6.解析：∵－＝＝≤0，∴≤. 答案：≤
7.解析：< <0，所以①②④能使它成立． 答案：①②④
8.解析：若ab>0，>成立，不等式－>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，即①② ③；
若bc>ad，ab>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0，即③① ②；
由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0，即②③ ①.所以可以组成3个正确命题．答案：3
9.解：∵x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2，当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上可知，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时等号成立．
10.证明：(1)由于－＝＝，∵a0，ab>0.
∴<0. 故<.
(2)∵<，∴－<0，即<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.
2 / 2《不等式及其性质》高考达标练
1.（2019·北京101中学高三模拟）若a，b为非零实数，且则下列判断正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2019·湖北襄阳五中高三模拟）若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2019·福建莆田一中高一期末测试）设，定义运算“”和“”如下：若正数a，b，c，d满足，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2019·甘肃西北师大附中高三适应性测试）如图，在一个面积为的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述中的不等关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2019·河南郑州一中高一期末测试）若恒成立，则实数a的取值范围是_______.
6.（2019·浙江杭州二中高一期末测试）把下列各选项中的“=”全部改成“<”，结论仍然成立的是（ ）
A.如果
B.如果
C如果
D.如果，那么
7.（2019·浙江镇海中学高三模拟）若，则A，B的大小关系为________.
8.（2019·江苏徐州一中高一期末测试）若，则的取值范围为________.
9.（2019·海师附中高三适应性测试）设x，y为实数，满足，则的最大值是________.
10.（2019·广西柳州模拟）设，试比较的大小.
11.已知，若，试比较的大小.
参考答案
1.
答案：C
解析：对于选项A，取不成立；对于选项B，当时，；对于选项C，a，b为非零实数，且，化简得；对于选项D，取.故选C.
2．
答案：A
解析：令，排除B与D；再令，排除C，故选A.
3.
答案：C
解析；事实上本题的“”和“"运算就是取最小值和最大值运算，而，则a，b中至少有一个大于或等于2，否则，；同理，，则c，d中至少有一个小于或等于2，，故选C.
4.
答案：C
解析：仓库的长a大于宽b的4倍，.又矩形地基的面积为，，故选C.
5.
答案：
解析：因为恒成立，所以.
6.
答案：D
解析：由不等式的性质可知只有D项成立.
7.
答案：
解析：由题意得，，所以.
8.
答案：
解析：，
.
9.
答案：27
解析.①
.②
由①②可得，即的最大值为27.
10.
答案：见解析
解析：
.
，
.
11.
答案：见解析
解析：
，
.
，
即时，.
综上所述，；当；当.
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高考通关练：不等式及其性质
1．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d则将a，b，c，d按照从小到大的次序排列为________．
2．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．
3．已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
4．已知a>b>0，c参考答案
1.解析：由②得a＝c＋d－b代入③得c＋d－b＋d2.解析：由|a|<1，得－10,1－a>0.即＝
∵0<1－a2≤1，∴≥1，∴≥1－a.答案：≥1－a
3.解：令4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，∴解得
又∵1≤a－b≤2，∴3≤3(a－b)≤6，又∵2≤a＋b≤4，∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，即5≤4a－2b≤10.故4a－2b的取值范围为[5,10]．
4.证明：∵c－d>0，∴0<－<－.
又∵a>b>0，∴－>－>0，∴ > ，即－>－，
两边同乘以－1，得<.
1 / 2《不等式及其性质》基础训练
单项选择题
1.已知，那么的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.设，则下列不等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知a，b分别对应数轴上的A、B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.设，则的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.若，则的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.由a的取值确定
二、多项选择题
6.当时，下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
E.
三、填空题
7.已知，求证：用反证法证明时，可假设_______.
8.若，则实数a的取值范围是_______.
四、解答题
9.已知试用两种方法证明.
10.设，试比较的大小.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：用数轴表示a与b的关系，如图所示，
则.
2.
答案：D
解析：由，得，又，则，故A选项错误；由，得，又，则，即，故B选项错误；由，得，故C选项错误；由，得，则，故D选项正确.故选D.
3.
答案：D
解析：由题意可知，，故A不成立；B、C两项均取决于a，b的数值大小，故都不一定成立；D移项后得，即，恒成立，故D成立.
4.
答案：D
解析：因为，所以.
5.
答案：C
解析：当时，，故猜想当时，.证明如下：要证，只要证，即证，即证，即证，成立，成立.
二、多项选择题
6.
答案：ACE
解析：，故A成立；，故B不成立；，故C成立；，故D不成立；，即，故E成立.
三、填空题
7.
答案：
解析：用反证法证明结论成立时，首先假设结论的否定成立即假设成立，进而推出矛盾.
8.
答案：
解析：且，故实数a的取值范围是.
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：证法一：，.又.
证法二：要证，只要证，
只要证，，只要证，而成立，成立.
10.
答案：见解析
解析：
.
1 / 5《不等式及其性质》提升训练
单项选择题
1.设，且，则四个数中最小的数是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.设，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.设，且，则的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.设，则“”是“”成立的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.要证，只需证明（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
6.若，则下列结论不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
E.
三、填空题
7.下列命题中是真命题的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
8.若规定，则与的大小关系为_____.
四、解答题
9.用反证法证明：.
10.已知，试求下列各式的取值范围：
（1）；
.
参考答案
一、单项选择题
1.
答案：B
解析：取特殊值，令，则，四个数中最小的数为a.
2
答案：D
解析：由，不一定能得到，故A选项不成立；设，则，故B、C选项都不成立；
当时，，故D选项成立，故选D.
3.
答案：C
解析：由题知，，
，即.
4.
答案：C
解析：由题知，则；若，则，则，可推出.故选C.
5.
答案：D
解析：由分析法知选D.
二、多项选择题
6.
答案：DE
解析：A，B，C中结论均正确；D中结论不正确；当时，E中结论不正确.
三、填空题
7.
答案：①③
解析：对于①，，正确；对于②，令满足，但，此时不正确；对于③，正确；对于
④，令，此时，不正确.
综上可知，①③正确.
8.
答案：
解析：由题得，，，
.
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：假设，则，，，，，假设不成立..
10.
答案：见解析
解析：.
，，，
的取值范围是.
.
，
，
，的取值范围是.
1 / 3《不等式及其性质》学考通关练
1.（2019·湖北荆州中学高三模拟）若且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2019·广西柳州高中高三适应性考试）已知，且
，则M，N的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.不能确定
3.（2019·人大附中高三适应性测试）下列说法正确的是（ ）
A.某人的收入不高于3000元，可表示为“”
B.小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C.某变量x至少是a，可表示为“”
D.某变量x不超过a，可表示为“”
4.若，下列式子：；③，其中恒成立的不等式的序号是__________.
5.（2019·山西实验中学高一期末测试）若，则实数a的取值范围是_______.
6.（2019·辽宁育明高中高三模拟）某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400和500.若设每个月加工甲种产品x件，加工乙种产品y件.写出满足上述所有不等关系的不等式.
7.（2019·黑龙江大庆中学高三模拟）（1）若，试比较的大小.
（2）若，求证：.
参考答案
1.
答案：D
解析：对于A，a，b一正一负不成立；对于B，时不成立；对于C，时不成立；对于D，无论a，b取任何非零数，均成立，故选D
2.
答案：A
解析：本题考查作差法比较大小.
3.
答案：C
解析：A项应为“”，B项应为“”，D项应为“”.
4.
答案：②④
解析：.故①不成立；②成立；③⑤中由于不明确x，y，a，b的符号，故③⑤不成立；④中由于，则，因此④成立.
5.
答案：
解析.
6.
答案：见解析
解析：由题意可知
7.
答案：见解析
解析：（1）方法一：利用特殊值法.取，从而可得，从而.
方法二：.
.
.
（2），
，
.
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