人教B版高中数学必修第一册 2.2.3一元二次不等式的解法教学设计

第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计
本节内容为一元二次不等式的解法。教材主要给出了因式分解法、配方法。
【教学目标】
1、掌握用因式分解法解决一元二次不等式.
2、掌握用配方法解决一元二次不等式.
【核心素养】
逻辑推理：一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方法、因式分解法.
数学运算: 掌握一元二次不等式的的运算法则，探究运算思路，选择相对应的运算方法。
数据分析：一般一元二次不等式有两个解，需要验证其有效性。
【教学重点】
1、掌握用因式分解法解决一元二次不等式.
2、掌握用配方法解决一元二次不等式.
【教学难点】
对特殊的一元二次不等式进行变形
回顾所学的一元二次方程的解法。
【情境与问题】
不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式
即
一般地，形如
ax2+bx+c>0
的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等
如何求一个一元二次不等式的解集呢？
让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.首先来看一元二次不等式
x（x一1）>0. ①
【尝试与发现】
注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当
a>0， 或 a<0，
b>0 b<0.
因此，不等式①可以转化为两个不等式组
x>0， 或 x<0，
x-1>0 x-1<0.
解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集为
（一∞，0）∪（1，+∞）.
用类似的方法可以求得不等式
（x+1）（x-1）<0 ②
的解，但此时的依据是：ab<0当且仅当
a<0， 或 a＞0
b>0 b＜0
因为不等式②可以转化为两个不等式组
x+1<0， 或 x+1>0，
x-1>0 x-1<0.
不难解得x∈ 或-1＜x＜1，因此不等式②的解集为
（-1，1）
一般地，如果x1（x1，x2），
不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是（一∞，x1）∪（x2，+∞）
【典型例题】
例1 求不等式x2-x-2>0的解集.
解 因为
x2-x-2=（x+1）（x-2），
所以原不等式等价于（x+1）（x-2）>0，因此所求解集为
（一∞，一1）U（2，+∞）.
回到情境与问题中的不等式，v2-10v-600>0可以化为
（v+20）（v-30）>0，
因此甲车的车速v>30；而v2-10v-2000>0可以化为
（v+40）（v-50）>0，
因此乙车的车速v＞50.由此可见，乙车肯定超速了.
上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？
【尝试与发现】
因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中（1）的解集为 ，（2）的解集为R
对于x2<9.来说，两边同时开根号可得，即
|x|<3，
因此-3这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.
例2 求下列不等式的解集：
（1）x2+4x+1≥0；（2）x2-6x-1≤0；
（3）-x2+2x-1<0；（4）2x2+4x+5>0.
解（1）因为
x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3，
所以原不等式可化为（x+2)2-3≥0，即
（x+2)2≥3，
两边开平方得|x+2|≥，从而可知
x+2≤ -或x+2≥，
因此x≤ -2-或x≥-2+，所以原不等式的解集为
（一∞，-2-]∪[-2+，+∞）.
（2）因为
x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，
所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0，即
(x-3)2≤10，
两边开平方得|x-3|≤，从而可知
-≤ x-3 ≤，
因此3-≤x≤3+，所以原不等式的解集为
[3-，3+].
（3）原不等式可化为
x2-2x+1>0，
又因为x2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化为
（x-1)2>0.
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为
（一∞，1）U（1，+∞）.
原不等式可以化为
因为
所以原不等式可以化为
即
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.
由上可知，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通过配方总是可以变为
(x-h)2>k或(x-h)2的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。
例3 求不等式 的解集.
解 由题意知x-2≠0，因此（x-2)2>0，原不等式两边同时乘以(x-2)2可得
(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0，
即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为
（-∞，-3]U（2，+∞）.
例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解，请读者自行总结其中的规律。
本节内容需要学生掌握因式分解法、配方法，对学生的运算能力有一定要求。