基本不等式专项练习（解析版）
基本不等式使用条件的判断
1、下列不等式恒成立的是（ D ）
A． B．
C． D．
2、已知，，，则在下列不等式①；②；③；④其中恒成立的是( C )
A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
3、不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是( D )
A．a＝4 B．a＝ C．a＝－ D．a＝±
4、若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5、“a，b为正数”是“a＋b>2”的( D )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、对于任意的a，b∈R，下列不等式不正确的是( C )
A．a2＋b2≥2ab B．ab≤
C．＋≥2 D．≤
7、下列不等式一定成立的是( C )
A.＞(x＞0) B．x＋≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R)
8、已知a，b为正实数，则“≤2”是“ab≤16”的( B )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
9、下列说法不正确的有( A )
A．若x<，则2x＋的最大值是－1
B．若x>－2，则≥4
C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x<1，则有最大值 －5
10、(多选)设a，b∈R，则下列不等式一定成立的是(ACD )
A．a2＋b2≥2ab B．a＋≥2
C．b2＋1≥2b D.＋≥2
11、(多选)下列不等式中正确的有（ BC ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12、(多选)设a＞0，b＞0，下列不等式恒成立的是( ABC )
A．a2＋1＞a B．≥4
C．(a＋b)≥4 D．a2＋9＞6a
13、(多选)已知，，则下列不等式成立的是（ ACD ）
A． B． C． D．
14、(多选)若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( BC )
A.＞ B．＋≥1 C.≤2 D．≥1
（若x＞0，y＞0，由x＋y＝4，得＝，故A错误；＋＝(x＋y)＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故B正确；因为x＞0，y＞0，x＋y＝4，且x＋y≥2，所以≤2，故C正确；因为≤2，所以xy≤4，所以≥，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以D错误．）
15、(多选)设a＞0，b＞0，则（ ACD ）
A． B．
C． D．
16、(多选)下列命题正确的是（ AD ）
A．，
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最小值为3
D．若，则的最大值为2
17、(多选)下列说法中，正确的有（ CD ）
A．的最小值是2
B．的最小值是2
C．若，，，则
D．若，，，则
不等式的证明
1、已知，求证.
解：∵，①
，②
，③
①+②+③得；.
∴(当且仅当等号成立).
2、证明：已知都是正数，求证：
解：都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号），
即.
3、已知，且abc=1.求证：；
解：，当且仅当时等号成立.
4、若，，求证：．
解：因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立．
又，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当，即时取等号．
5、已知都是正数，求证：
因为都是正数，
解：所以（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
所以（当且仅当时取等号），
即．
6、证明：（1）；（2）.
解：（1），
当且仅当时，即时，等号成立.
（2），
当且仅当时取等号，此时，
显然的值不存在，所以等号不成立，所以.
7、已知a，b，c均为正实数，abc＝1，证明：＋＋≤＋＋.
解：因为＋＋＝≥×，
又abc＝1，所以＝c，＝b，＝a，所以＋＋≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
8、设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
9、已知都是正数，求证：
(1)；
(2)若，则.
解：(1)
，
∵都是正数，∴，
当且仅当“”时等号成立，∴.
(2)
，
当且仅当“”时等号成立，∴.
10、已知a，b，c为正数.
求证：.
解：因为，同理，，
所以三式相加得，
所以，当且仅当“”时等号成立
11、已知a，b，c均为正实数，求证：
(1)；
(2)．
解：（1）证明：左边，
当且仅当时取“＝”．
故．
（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，
所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取取“＝”，②
，当且仅当时取“＝”．③
①+②+③，得，
当且仅当时等号成立．
三、利用基本不等式求最值
①直接法（基本不等式的直接应用）
1、若x<0，则x＋的最大值为( C )
A．－8 B．－6 C．－4 D．－2
2、若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取得最小值，则a＝( C )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
3、已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则xy的最大值是( C )
A. B．4 C. D．8
4、若x<0，则x＋( D )
A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
5、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( C )
A．80 B．77 C．81 D．82
6、已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy( C )
A．有最大值为1 B．有最小值为1
C．有最大值为 D．有最小值为
7、若x>0，y>0，且x＋y＝18，则 的最大值为( A )
A．9 B．18 C．36 D．81
8、设，则下列不等式中一定成立的是（ AB ）
A． B．
C． D．
9、已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝( D )
A．24 B．28 C．32 D．36
10、已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋的最小值是( C )
A．2 B．2 C．4 D．5
11、已知t>0，则函数y＝的最小值为( A )
A．－2 B． C．1 D．2
12、当x＝___±1_____时，x2＋取得最小值，最小值是___2_____．
13、设014、已知，，则的最小值为_____18______.
15、设x>0，则y＝3－3x－的最大值为___3－2_____．
16、已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为___3_____，取得最大值时y的值为_____2___．
②配凑法
1、若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为( D )
A．3 B．4 C．5 D．6
2、函数的最小值为（ D ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3、函数的最小值为（ D ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4、若－4＜x＜1，则( D )
A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1
5、3x2＋的最小值是( D )
A．3－3 B．3 C．6 D．6－3
6、已知0A. B． C. D．
7、若，则有（ D ）
A.最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
8、设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( C )
A．3 B．3－2 C．3－2 D．－1
9、已知x，y为正实数，则＋的最小值为( D )
A． B． C． D．3
（由题意得x>0，y>0，＋＝＋－1≥2－1＝4－1＝3.当且仅当x＝3y时等号成立．）
10、下列命题中不正确的是( B )
A．y＝x＋的最大值是－2 B．y＝的最小值是2
C．y＝2－3x－的最大值是2－4 D．y＝x＋最小值是5
11、若x>1，则x＋的最小值为___5_____．
12、函数y＝(x>1)的最小值为____2＋2____.
13、已知，则的最小值为__9_________.
（，
当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.）
14、函数y＝(x>－1)的最小值为____0____．
15、若x<2，则y＝2x＋的最大值为_____0___.
16、（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
解：（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9．
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
17、(1)已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；
(3)当x＞0时，求函数y＝的最大值．
解： (1)∵x＜，∴5－4x＞0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，
∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
(3)∵x＞0，∴＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．故y＝的最大值为1.
③常数的代换法
1、若正实数满足，则（ A ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最小值 D．有最小值2
2、若实数，，满足，以下选项中正确的有（ D ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
3、若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( C )
A．ab有最大值－ B．＋有最小值
C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
4、已知，，，则的最小值是（ C ）
A．1 B．2 C．4 D．6
5、已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋(AD )
A．取得最值时a＝ B．最大值是5
C．取得最值时b＝ D．最小值是
6、早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ AD ）
A．若，，，则
B．若，，，则的最小值为
C．若，，，则的最小值为
D．若，，，则的最小值为2
7、已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为( C )
A. B．2 C． D．
8、已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ C ）
A． B． C． D．
9、已知a，b>0，a＋b＝2，则下列不等式不一定成立的是( C )
A．ab≤1 B．＋≤2
C．＋≥＋2 D．a2＋b2≥2
10、已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
（p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立．）
11、已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为( D )
A．2 B．4 C．6 D．8
12、已知a＞0，b＞0，且＋＝4，则4a＋6b的最小值是( B )
A．4＋ B．4＋2 C．8＋2 D．4＋
13、已知，，且，则“”是“”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14、设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ A ）
A．上的最小值为2 B．的最大值为2
C．的最大值为4 D．的最小值为
15、已知a>0，b>0，a＋3b＝2，则＋的最小值为________.
16、已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为____9____．
17、已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为____＋____．
18、已知x，y∈R＋，x＋2y＝1，则＋的最小值为_____2＋2___.
19、已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为____18____．
20、已知，，且，则的最小值为_________
21、若，，，则当______时，取得最小值．
22、已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16.
变式1：条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值．
解：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10
≥2 ＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立，
∴x＋y的最小值是18.
变式2：条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求＋的最小值．
解：由＋＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当9x2＝y2即y＝3x，
得x＝，y＝时，取“＝”，
∴＋的最小值为16.
④消元法
1、已知正实数a，b满足，则的最小值是（ B ）
A．2 B． C． D．6
（由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.）
2、已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( B )
A．1 B．3 C．6 D．12
（∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3当且仅当＝，即x＝1时取等号．）
3、若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为___3_____．
（由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．）
4、已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.
（∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝.∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号．∴x2＋y2的最小值为.）
5、已知x＜0，且x－y＝1，则x＋的最大值是___－_____．
四、基本不等式中的恒成立问题
1、若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为( A )
A．a≥ B．a> C．a< D．a≤
2、已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ B ）
A． B． C． D．
3、已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，若≤对任意的x>0，y>0恒成立，则实数m的值不可能为 ( B )
A. B． C． D．2
4、若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为____1____.
5、若对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________
6、已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是______2_____.
7、设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的取值范围是__k≥－4______．
8、已知x>0，y>0且x＋y＝2.则＋的最小值为____8____；若8x＋2－mxy≥0恒成立，则m的最大值为____8____．
（＋＝·(x＋y)＝≥(10＋2)＝8，当且仅当y＝3x＝时取到等号，故＋的最小值为8，即＋≥8 ≥8，
而8x＋2－mxy≥0 8x＋x＋y－mxy≥0，即≥m，由≥8可知，m≤8，
故m的最大值为8.）
9、设010、已知正实数x，y满足x＋y＝1，
(1)求x2＋y2的最小值；
(2)若＋≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为x＋y＝1，有xy≤＝，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，即x2＋y2的最小值为.
(2)若a≤＋恒成立，则a≤，因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9当且仅当2x＝y时等号成立，所以＋的最小值为9，即a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9].
五、基本不等式的实际应用
1、某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( B )
A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥
2、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交半圆周于点D，连接OD.作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为( A )
A.≥(a>0，b>0) B.≥(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0) D．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
3、某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( C )
A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m
4、小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( A )
A．a＜v＜ B．v＝ C.＜v＜ D．v＝
5、某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，t∈N＋)的关系为s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为( D )
A．5 B．6 C．7 D．8
6、高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，，设物体的真实质量为，则( C )
A． B． C． D．
7、志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周长为8 cm.
(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；
(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．
解：(1)由题意可得AD＝(4－x)cm，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4.
则CE＝AE＝x－DE，在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，
即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，化简得DE＝4－(2＜x＜4)．
（2）S△ADE＝AD·DE＝(4－x)＝2≤2＝12－8，当且仅当x＝2时取等号，此时4－x＝4－2，即队徽的长和宽分别为2 cm，(4－2)cm时，△ADE的面积取得最大值．
8、2020年1月， 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设．某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．问：
(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？
(2)为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？
解：(1)设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则方舱医院的面积S＝xy，总造价z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy.
由条件知z≤188 000，即4x＋9y＋2xy≤18 800.
∵x＞0，y＞0，∴y≤.
令t＝9＋2x，则x＝(t＞9)，
∴S＝xy≤·＝
＝－＋9 418≤－2＋9 418＝－2×3×97＋9 418＝8 836，
当且仅当t＝，即t＝291时等号成立．
故S的最大值为8 836 m2.
(2)由(1)知，当S＝8 836 m2时，t＝291，t＝9＋2x，
∴x＝141，则y＝＝.
∴方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.
9、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解：设隔墙的长度为x m，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，
池底造价为200×80＝16 000元，
四周围墙造价为×400＝800×元．
因此，总造价为
y＝496x＋800＋16 000(0＜x＜50)
＝1 296x＋＋16 000
≥2 ＋16 000＝28 800＋16 000
＝44 800.
当且仅当1 296x＝，即x＝时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.
故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．
10、某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解： (1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
∴2022年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．
(2)∵当m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时，y取得最大值．
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
11、某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解： (1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
所以1＝3－k k＝2，
所以x＝3－，
每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
所以2023年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0).
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时，
ymax＝21.
故该厂家2023年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．基本不等式专项练习
1、基本不等式使用条件的判断
1、下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．a2＋b2≥2ab
2、已知，，，则在下列不等式①；②；③；④其中恒成立的是( )
A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
3、不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是( )
A．a＝4 B．a＝ C．a＝－ D．a＝±
4、若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5、“a，b为正数”是“a＋b>2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、对于任意的a，b∈R，下列不等式不正确的是( )
A．a2＋b2≥2ab B．ab≤
C．＋≥2 D．≤
7、下列不等式一定成立的是( )
A.＞(x＞0) B．x＋≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R)
8、已知a，b为正实数，则“≤2”是“ab≤16”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
9、下列说法不正确的有( )
A．若x<，则2x＋的最大值是－1
B．若x>－2，则≥4
C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x<1，则有最大值 －5
10、(多选)设a，b∈R，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2＋b2≥2ab B．a＋≥2
C．b2＋1≥2b D.＋≥2
11、(多选)下列不等式中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12、(多选)设a＞0，b＞0，下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1＞a B．≥4
C．(a＋b)≥4 D．a2＋9＞6a
13、(多选)已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
14、(多选)若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.＞ B．＋≥1 C.≤2 D．≥1
15、(多选)设a＞0，b＞0，则（ ）
A． B．
C． D．
16、(多选)下列命题正确的是（ ）
A．，
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最小值为3
D．若，则的最大值为2
17、(多选)下列说法中，正确的有（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是2
C．若，，，则
D．若，，，则
2、不等式的证明
1、已知，求证.
2、证明：已知都是正数，求证：
3、已知，且abc=1.求证：；
4、若，，求证：．
5、已知都是正数，求证：
因为都是正数，
6、证明：（1）；（2）.
7、已知a，b，c均为正实数，abc＝1，证明：＋＋≤＋＋.
8、设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
9、已知都是正数，求证：
(1)；
(2)若，则.
10、已知a，b，c为正数.
求证：.
11、已知a，b，c均为正实数，求证：
(1)；
(2)．
三、利用基本不等式求最值
①直接法（基本不等式的直接应用）
1、若x<0，则x＋的最大值为( )
A．－8 B．－6 C．－4 D．－2
2、若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取得最小值，则a＝( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
3、已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则xy的最大值是( )
A. B．4 C. D．8
4、若x<0，则x＋( )
A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
5、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
6、已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy( )
A．有最大值为1 B．有最小值为1
C．有最大值为 D．有最小值为
7、若x>0，y>0，且x＋y＝18，则 的最大值为( )
A．9 B．18 C．36 D．81
8、设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9、已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝( )
A．24 B．28 C．32 D．36
10、已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．5
11、已知t>0，则函数y＝的最小值为( )
A．－2 B． C．1 D．2
12、当x＝________时，x2＋取得最小值，最小值是________．
13、设014、已知，，则的最小值为___________.
15、设x>0，则y＝3－3x－的最大值为________．
16、已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．
②配凑法
1、若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2、函数的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3、函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4、若－4＜x＜1，则( )
A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1
5、3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．3 C．6 D．6－3
6、已知0A. B． C. D．
7、若，则有（ ）
A.最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
8、设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2 C．3－2 D．－1
9、已知x，y为正实数，则＋的最小值为( )
A． B． C． D．3
10、下列命题中不正确的是( )
A．y＝x＋的最大值是－2 B．y＝的最小值是2
C．y＝2－3x－的最大值是2－4 D．y＝x＋最小值是5
11、若x>1，则x＋的最小值为________．
12、函数y＝(x>1)的最小值为_______.
13、已知，则的最小值为___________.
14、函数y＝(x>－1)的最小值为________．
15、若x<2，则y＝2x＋的最大值为________.
16、（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
17、(1)已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；
(3)当x＞0时，求函数y＝的最大值．
③常数的代换法
1、若正实数满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最小值 D．有最小值2
2、若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
3、若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值－ B．＋有最小值
C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
4、已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
5、（多选）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋( )
A．取得最值时a＝ B．最大值是5
C．取得最值时b＝ D．最小值是
6、（多选）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则的最小值为
C．若，，，则的最小值为
D．若，，，则的最小值为2
7、已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为( )
A. B．2 C． D．
8、已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
9、已知a，b>0，a＋b＝2，则下列不等式不一定成立的是( )
A．ab≤1 B．＋≤2
C．＋≥＋2 D．a2＋b2≥2
10、已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
11、已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
12、已知a＞0，b＞0，且＋＝4，则4a＋6b的最小值是( )
A．4＋ B．4＋2 C．8＋2 D．4＋
13、已知，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14、设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．上的最小值为2 B．的最大值为2
C．的最大值为4 D．的最小值为
15、已知a>0，b>0，a＋3b＝2，则＋的最小值为________.
16、已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
17、已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________．
18、已知x，y∈R＋，x＋2y＝1，则＋的最小值为________.
19、已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
20、已知，，且，则的最小值为_________
21、若，，，则当______时，取得最小值．
22、已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
变式1：条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值．
变式2：条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求＋的最小值．
④消元法
1、已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
2、已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3 C．6 D．12
3、若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________．
4、已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.
5、已知x＜0，且x－y＝1，则x＋的最大值是________．
四、基本不等式中的恒成立问题
1、若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≥ B．a> C．a< D．a≤
2、已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3、已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，若≤对任意的x>0，y>0恒成立，则实数m的值不可能为 ( )
A. B． C． D．2
4、若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________.
5、若对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________
6、已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
7、设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的取值范围是________．
8、已知x>0，y>0且x＋y＝2.则＋的最小值为________；若8x＋2－mxy≥0恒成立，则m的最大值为________．
9、设010、已知正实数x，y满足x＋y＝1，
(1)求x2＋y2的最小值；
(2)若＋≥a恒成立，求实数a的取值范围．
五、基本不等式的实际应用
1、某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥
2、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交半圆周于点D，连接OD.作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为( )
A.≥(a>0，b>0) B.≥(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0) D．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
3、某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )
A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m
4、小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜ B．v＝ C.＜v＜ D．v＝
5、某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，t∈N＋)的关系为s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
6、高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，，设物体的真实质量为，则( )
A． B． C． D．
7、志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周长为8 cm.
(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；
(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．
8、2020年1月， 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设．某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．问：
(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？
(2)为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？
9、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
10、某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
11、某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
